NOMBRE ÉGAL AUX INCONNUES
Formules générales. — Règles d'après lesquellies elles se coniposenf.
126. Quelque diverses que puissent être des équations du 1" degré, on peut toujours les ramener à des formes générales qui permettent d'obtenir pour les inconnues des ybr/Tzz^/e^ dans lesquelles sont compris tous les cas particuliers qui peuvent se présenter. Ce sont ces formules que je me propose de chercher maintenant. On pourrait y parvenir par les méthodes expliquées chapitre III ; mais
je me servirai préférablement de celle qui est connue sous le nom de Méthode des indéterminées^ et qui a été employée par Bezout. Les coDsidéralions sur lesquelles elle repose méritent une grande attention , à cause des applications qu*elles reçoivent dans les recherches élevées de l'analyse.
Prenons d'abord deux, équations entre deux inconnues x et y. Par des préparations convenables , on saura toujours les ramener à la forme
[1] ax + lyy=^k^
Id a^ b^ k^ a\ l)\ k\ représentent des quantités connues qui pèsent être positives ou négatives. En mettant a\ b\ k, dans la seconde équation, pour désigner les quantités analogues aux quanlités ^{ , ^ , X:, de la première , on se rappelle plus facilement la signification de toutes ces lettres.
Désignons par m une quantité tout à fait indéterminée , dont on pourra disposer comme on voudra, multiplions la 1'^ équation par m, et ensuite retranchons-en la seconde : il viendra
( am — al ) .r 4» ( bm-^V ) y = km — k ;
4t comme la quantité m est arbitraire, on la choisira de manière qu'elle réduise à zéro le multiplicateur de l'inconnue qu'on veut éh'miner.
Si c'est y qu'on fait disparaître , on posera
bm=:b\ d'où m = -;
Téquation ne contiendra plus >-, et en y remplaçant m par cette va-\ leur, on aura
b^ W—hV
^~ aU , ~ ab'—ba''
Mais si c'est x qu'on veut faire disparaître , il faudra poser
a' am:=^a\ d'où /w b= - ,•
110 uçoNS d'aloébri.
et réciuatioa donnera
a kd — aV
^"^ ba! ^ ^ bd—aW a
Les dénominateurs de x et de j^ sont égaux , maïs de signes contraires. Pour les rendre tout à fait semblables, je changerai les signes du numérateur et du dénominateur de>-, et alors les valeurs générales de jt et de ^ seront
^W'-blé al'- kat
Chacune d'elles peut immédiatement se déduire de Fautrc. En effet , il est évident que les mêmes calculs qui font trouver x^ doivent donner y en changeant partout « en ^ et ^ en ^ , sans d'ailleurs toucher aux accents. Donc, en .effectuant ces changements dans la valeur de jc, on doit trouver celle dejK- Une remarque analogue s'applique aux cas que je traiterai tout à Vheure.
Si on veut vérifier ces valeurs, il suffit de les substituer dans les deux équations. Par exemple, en effectuant cette substitution dans la première , il vient
a{kU—bk)-^b{nk'--ka')
ab'—ba' "" '
{ab'—ba')k-ir[ab--ba]h
iib''—ba k = k.
127. Considérons maintenant trois équations générales entre trois inconnues. On peut les représenter ainsi :
ax + by + cz = k^ a'x + by + c'z:=k\ a"x+by+c''z=k".
Après avoir multiplié la 1'" par une indéterminée m, et la 2® par une indéterminée n^ ajoutons-les, puis de la somme retranchons la 3^. Dans l'équation résultante, en pourra faire disparaître deux inconnues, en disposant des deux indéterminées de manière que les multiplicateurs de ces inconnues devienoeDt zéro \ et ensuite on
LEÇONS d'aLGÉBM. 111
en tirera la valeur de rinconnae restanle. L'équation résultante dont il s'agit est
(am + a'n-'a")x + {bm-^b'n—b")y+{cm + c'n—c")z
Si on veut faire disparaître ^ et z , il faudra déterminer meln par les deux équations
bm -h b'n = b'\ cm + c'îi = c^,
et Ton aura
am 4- an— a l| ^-J^
Les deux équations qui déterminent m et n se déduisent éTidem* ment des deux équations générales traitées dans le n^ précédent, en j remplaçant
les lettres x^ y, ^r*? ^^ «S ^S ^t par *«? 'ïî b^ b\ b'\ c, c', c"\
donc, pour avoir m et n , il suffit d*opérer les mêmes changements dans les formules qui terminent le n"" cité. De cette manière on a
^ c'b"--b'c" bc"-^cb" '^- Ud—cU ' ^^ uc'^cb''
et en mettant ces valeurs dans celle de x, il vient
]c(c'b"—b'c") + k'ibc^'—cb")-^F{b(^^cU) " '
^'^ a{c'b"—b'c")^a\Od'—cU') — a!\bd—cb')' ^^'^
Pour trouver ^9 on fera disparaître xQizt^n posant
am + a'n = a", cm + dn = c".
La comparaison de ces deux équations avec celles du n^ précédent donne
'» = — : Tï '* = — : r>
a c — ca «c — ta
et par suite on trouve
k{da!'-^n'd'^ -f V(nd''^ca")—l'\ad'^ca') .
113 LEÇONS d'alGÂBRE.
Enfin, pour connaître z, on posera
am + a'n = a'\ bni + i'« = b" ; de là on tirera
'"- ab'—ba! ' '^ "~ ab'—ba'' et par suite il viendra
c [b'a!'—a'b")-\'C'[ab"—ba")---c'\ab''-ba')
« En effectuant les multiplications indiquées dans les valeurs •r, ^, z, et en changeant les signes du numérateur et du dénon Dateur dans la préjnière et dans la dernière, on pourra écrire i trois valeurs comme il suit :
kb'c"-^kc'b"-hc^b"-'bk'c"+bc'e'-^cb'e' ^ — ab'</'^ac'b"+ca'b"--'ba'c"+bc'a"'-'Cb'a'"'
^ ~ ab'c''—ac'b"+ca'b"'-ba'c"^b(/a"—cbW'^ ablk!''-ak!b"^ka'b"-ba'V'.^bh!a:'^Wa"
^ "■ ab'c"'-ac'b"^ca'b"—ba'c"+bc'a"'-'Cb'a:''
Pour vérifier ces valeurs , il sera plus commode de les prenc telles qu'elles étaient d'abord , avant d'effectuer les multiplicatioi Si , par exemple, on fait les substitutions dans la première équ tion, et qu'on ait soin de changer les signes de la valeur de j^, a d'avoir un même dénominateur pour les trois inconnues, il vien(
[a{cb"'-b'c")^b[(/a!'^a'c")^c[b'a!'^db")]k +[a[bd' '^cU')-'b[ac" -^ca")^c{ab" '^ba")'\h! • ^[a[bc' --^cb' )—b{ac' -^ca! )+c{ab' —ba' )]k"
a[c'b"'--b'c") + a'{bc"-'Cb")-a"{bc'-'Cb')
Dans cette égalité on reconnaît , à la simple inspection, que \ multiplicateurs de k! et A/' se réduisent à zéro , et que celui de n'est autre que le dénominateur même ; donc l'égalité se réduil (4.= A:, et la vérification est opérée. Celle des deux autres équatic se ferait d'une manière toute semblable.
Ces vérifications ne sont pas ici sans importance : car, po arriver aux valeurs générales de x , ^, z , on a employé des ^
LEÇO!<fS d'ALGABRI. tlS
leurs de met n qui renferment des dénominateors ; et par oonséqaent on pourrait craindre que , dans les cas où ces dénominateurs deviendraient nuls, les valeurs de j: , ^^ z , ne fussent en défaut. Mais la Térification écarte tous les doutes. 128, Soit encore les quatre équations générales
a"x+ V'y-\-d'z + ^'tt=F,
En multipliant les trois premières par trois indéterminées m, n, p^ puis les ajoutant , et retranchant la quatrième , on a une équation de laquelle on fera disparaître trois inconnues en égalant à zéro les multiplicateurs de ces inconnues. Il vient ainsi trois équations pour déterminer les valeurs -de /n , n , /? ; et alors au moyen de ces valeurs on aura celle de Finconnue restante»
129. Ces calculs ne sauraient offrir aucune difficulté et peuvent s'étendre à tant d'éqaations qu'on voudra. Mais en observant avec attention la composition des formules trouvées précédemment pour deux et pour trois équations, on a découvert des règles générales aa moyen desquelles on peut obtenir sans calcul les formules qui conviennent à un nombre quelconque d'équations.
Première règle. Avec les deux lettres atib formez les arrangements ab et ba^ puis interposez le signe — entre eux, on aura
ah — ba.
S'il n'y avait que deux équations à résoudre , on mettrait un ac-* cent à la 2' lettre de chaque terme , et le résultat aV — ba' serait le dénominateur commun des valeurs de x et de y.
S'il y a trois équations, on fera passer la troisième lettre c à toQtes les places dans chaque terme de l'expression ab — ba. En ayant soin d'alterner les signes, ab donnera abc — acb-\-cab; de Blême — ba donnera — bac + bca — cba : par conséquent il viendra
abc — acb + cab — bac + bca — cba .
Alors on mettra un accent à la 2» lettre de chaque terme , et deux à h 3* : on aura ainsi le dénominateur commun de :r , ^, s. S'il y a quatre équations, on prendra la lettre df, qui sert de ^'1 coefficient à la quatrième inconnue u , et on la fera passer à toutes
114 LKQONji D'ALGJki»|t.
les places dans chaque terme du sextinome ci-dessus ; on aura soin d'allerocr les signes dans les termes fournis par chacun d'eux , en commençant par + pour ceux qui viennent d'un terme précédé du signe +, et par — pour ceux qui viennent d'un terme précédé ^ du signe — ; enfin on mettra un accent à la â* lettre , deux à la 3% et trois à la 4^ On aura ainsi le dénominateur conmiun des quatre inconnues x,^, z, a.
S'il y a un plus grand nombre d'équations , on continuera de la même manière.
Deuxième règle. Quel que soit le nombre des équations , les numérateurs des inconnues pourront se déduire de leur dénominateur commun; et, à cet effet, il suffira d'y remplacer, sans toucher aux accents, la lettre qui, dans les équations, sert de coefi^ent à l'inconnue qu'on veut trouver, par la lettre k qui représente le terme connu placé dans le second membre. Ainsi , on changera a çjïk pour avoir le numérateur de j: ; ^ en ^ pour avoir celui ^ de y j etc. \
Xics deux règles que je viens d'exposer se vérifient sur les for* mules trouvées pour deux et pour trois équations ; mais une dé^ r monstratiou est nécessaire pour prouver qu'elles s'étendent à tous ; les autres cas. Je vais rapporter, à quelques changements près, celle qu'a donnée Laplace , Mcmoire de V Ac, des Sciences^ année 1771, ^ et qui a (Hé adoptée par M. Cadchy dans son Cours d Analyse à ^ V École polytechnique.
Démonstration des règles précédentes.
130. Je supposerai qu'on ait n équations du 1^' degré à n incon* nues ; et suivant la notation employée jusqu'ici , je représenterai ces r équationi ainsi :
/ ax-\- by'h CZ+ du-\-.,,=:k^ a'x-i- by+ &Z+ d'u+... = k^^ . . , a"x^ ly + c"z + d"u +. . . = k",
Les points placés après un terme tiennent lieu des termes qui doivent venir après lui; et pareillement les points écrits aa-
dessous de la 4' équation remplacent celles dont elle doit être suivie.
Je nommerai R la quantité qu'on forme d'après la première règle, dans le cas.de ces équations, et je vais d'abord présenter à Tégard de cette fonction plusieurs remarques sur lesquelles repose toute la démonstration.
i"" Par la manière même dont la fonction R est composée, il est évident que l'ensemble de tous ses termes, abstraction faite des signes et des accents , renferme les différents arrangements qu'on peat former avec les n lettres a^byC^d,,., qui servent de coeflideata aux inconnues x, j^, z, u..., en écrivant ces n lettres les vues k la suite des autres et en les changeant d'ordre de toutes les manières possibles. *
ft II est évident aussi que dans chaque terme de R il y a une lettre sans accent , une lettre avec un accent, une lettre avec deux accents, et ainsi de suite.
3*" Les termes affectés du signe + sont ceux où , en comparant diaqiie lettre avec chacune de celles dont elle est suivie, on trou- Tera que les irn*ersions alphabétiques sont en nombre pair ; et les termes affectés du signe — sont ceux où le nombre de ces inversions est impair. Par exemple, si un terme contenait quatre lettres rangées dans l'ordre dacb, comme il renferme trois inversions par npp(H*t à ^, et une par rapport à c, ce qui fait quatre inversions en tout, il devrait avoir le signe +.
Lorsqu'il n'y a que deux inconnues, la vérité de cette remarque
est évidente : car alors, en faisant abstraction des accents, R est
ab—ba. Si on fait passer la lettre c à toutes les places dans ab^ le
1* terme abc n'aura point d'inversion , le 2* acb en aura une , et
k 3« c^z6 enaura deux : aussi le 1«' est-il précédé do +, le â"* de — ,
elle 3* de +. Quant à — Z>ût, le 1" terme qu'il fournira n'aura pas
pfais d'inversions que l^a , le 2* en aura une de plus , et le ^^ en aura
ienx : aussi le 1" est-U précédé de — , le 2* de +, et le 3* de — .
I S on fait encore passer la letlre d à toutes les places dans chacun
des six termes qu'on vient de former, comme chacun de ceux-ci est
[composé des lettres a^b^c ^ui précèdent d dans l'alphabet , on ne
changera pas le nombre de^nversions en mettant rf à la fin d'un
tarme : aussi alors le signe reste-t-il le même. En avançant d d'un
nng vers la gauche , il y aura une inversion de plus : aussi le signe
(buige-t-il. En l'avançant encore dune place, il s'introdvxtt. xMft
116 LliÇONS d'aLGÂBRE.
nouvello inversion, cl il vient un nouveau changem^t de sigfne. Ainsi de suite.
4'' Dans la fonction R , deux termes qui , abstraction faite des accents , ne diffèrent Tun de Tautre que par un simple échange entre deux lettres , doivent avoir des signes contraires. En effet j supposons que ces deux termes ne soient différents que par l'échange de aeic, tels que sont les termes adlb"c"' et cd'U'a!" : pour déduire le second du premier, on peut imaginer que la lettre a passe successivement après chacune des lettres qui la suivent pour venir se placer après c y et qu'alors la lettre c à son tour remonte succès-^ sivement jusqu'à la place qu'occupait a. Par-là l'échange des deux lettres ^z et c se trouvera effectué. Or, chaque déplacement successif amène évidemment une inversion de plus ou de moins, et par conséquent aussi un changement de signe ; d'un autre côté , la lettre qui descend doit parcourir une place de plus que celle qui remonte ; donc, définitivcfnent , les deux termes doivent être de signes contraires.
5*" Si , dans la fonction R , l'on ajoute ou Ton supprime un égal nombre d'accents à toutes les lettres semblablement accentuées , la fonction R deviendra nulle d'elle-même. Pour fixer les idées, supposons qu'on remplace partout a\ b\ c\,,. par a!"^ b"\ c"',,.. et que l'on considère en particulier le terme qui contient a' et c"'. Puisque tous les arrangements qu'on peut faire entre les n lettres a^b^Cy,. se trouvent dans R, il doit y en avoir un qui ne diffère de celui que nous considérons que par le changement de a' eu (/ ' et de c"' en a"'; donc, lorsque dans R on remplace a\ b\ c',... par a!"^ b"\ c"\,,, ces deux termes deviennent égaux. Mais, en vertu de la remarque précédente , ils doivent avoir des signes contraires ; donc ils se détruisent. Le même raisonnement s'applique à chaque terme de R; donc R doit devenir zéro.
Maintenant revenons aux équations [1], Comme toutes les lettres a, b^ c,.,. se trouvent dans chaque terme de R, et chacune avec un nombre différent d'accents, on pourra mettre R sous ces. différentes formes,
R = Aû+AV+A%"-f..., l\ = Bb+h'b'+B"b"+..., R=-~Cc+CV+CV'+...,
LKÇOiNS i/aLGÂBRK. 117
A.', A'',... désignant des quantités qui ne contiennent plus la
e a, B, B\ B",.- désignant des quantités qui ne contiennent
la lettre ^; C, C, C",.-. désignant des quantités qui ne contien-
plus c; et ainsi de suite. Il résulte de là qu'en formanlb^ d'a-
les régies énoncées, les valeurs de jc, j^, z, on devra avoir
B^ + BT + R^T^-f...
te la question se réduit donc à démontrer que ces valeurs satisaux équations [1].
ibstituons-les d'a^prd dans la première : elle devient \
F+etc. = k.
bservons que Aa contient tous les termes de R où se trône le ;ur a , que Bb contient tous ceux où se trouve b ,.que Gcwn- Itous ceux où se trouve c , etc.; donc R=Aa+B&4-Cc+... *épétant un semblable raisonnement , on recoigialt que la'fonc- R peut encore s'écrire sous ces différentes -formes ,
R = A'û'+B'y+C'c'+..., R = A V+ B"^''+C V'+. . . , etc.
ela posé, il est évident que, dans Féquation [2], le premier lérateur est égal à R, et que les suivants ne sont autre* chose la quantité R où l'on aurait mis a, ^, c,... à la place de b', c',... ou de a'\ b'\ c",... etc. Donc, en vertu de la S^-reque, ces derniers numérateurs sont nuls d'eux-mêmes ; et par e l'équation [2] se Téimikk=:k. Donc les valeurs de a:, ik,z,... jfoat à la r® des équations [l]. Il est clair que la même vérifi-
118 LEÇONS d'alGÂBUE.
cation a lieu sur les autres équations ; par conséquent Fexactiti de ces valeurs se trouve démontrée.
DkeanioB das farmalet fournies par les équations générales da i» degré.
' 431. Dans les cas où le dénominateur commun des valeurs nérales des inconnues se réduit à zéro, on ne voit plus commen équations données peuvent être vériGées : je me propose d'cxa ner ici ces cas particuliers.
Reprenons les deux équations
[1] ax+bjr=k^
[2] a'x^byz=^^
d'où Ton tire les formules
f •• «^ - ay^bd ' ^ "" ab'-^ba'^
Premier cas particulier. Supposons que le dénominateur xéro, sans qu'aucun des numérateurs le soit. Alors on a
A. ., , , ^ kb'^bk ak'--ka'
au — ba=iO^ jc = — , j^ =
LesAleurs'de x et dej^ son%k)nc inGnies : c'est-à-dire que, p sati^ireaux deux équations données, elles doivent surpasser t(
grandeur assignable.
A^'- \»* i, f^» aV
;•■■ Be l'égalité ab'—bc^= 0 , on tire « = -r- ; et par suite Fée
tion [2], en y mettant cette valeur, devient
^x + b'Y=zk!, d'où b\ax+by)=zbh!.
Le premier membre n'est autre chose que celui de Téquation multiplié par b' ; donc il faudrait que la même relation eût entre les jecokids membres , pour que des valeurs de jt et de ^ ] sent vérîG^r à la fois les équations [1] et [2]. Donc on devrait a bk^kU où kif'—bk^^O] donc le numérateur de x serait égi zéro , ce qui est contraire aux hypothèses.
De cette manière , F impossibilité de trouver les valeurs de . de jr qui satisfassait aux deux équaticxis à la fois est bien en
lëgoi^s d'algébrb. il9
dence ; mais elle est encore micax caractérisée par les valeurs fflfinies, lesquelles, tout en montrant celle impossibilité , font voir de plus qu'elle vient de ce que les valeurs des inconnues sont trop grandes pour être assignées. Et, en effet, on peut imaginer que ab' — bel' soit d'abord une très-petito quanlilé. Alors les valeurs de jret de ^ seraient très-grandes, mîiis elles satisferaient toujours aux équations; donc, au moment où ab' — ba devient zéro, si on ne peut plus opérer directement de vérification sur les équations, c'est uniquement parce qu'alors x et ^ surpassent toutes les grandeurs assignables (*). 41
Deuxième cas particulier. Supposons que le dénominateur soit nul en même temps que l'un des numérateurs : par exemple , qu'on ait*
Je dis d'abord que l'autre numérateur ak—kà est aussi égal à no. En effet, les deux égalités ci-dessus donnent
, aV ,. kb'
et par suite il vient, pour l'autre numérateur,
ak''-ka'=^
akb'
kV
Si d'abord on avait supposé ce numérateur égal à zéro , on aurait
irouvé semblablement que celui de x doit aussi être zéro.
De là il suit que, dans les hypothèses où nous sommes , on doit
svoir
hr eux-mêmes , ces symboles indiquent des quantités indélermir.iliées; je vais prouver, en remontant aux équations, qu'il doit en .^ItteÉet y avoir indétermination.
0 Considérées par rapport à la question dont les équations expriment les itxoni, les yalenrs infinies peuvent être quelquefois une yéritable soiude cette question. L'application de Tulgèbrc à la géométrie en fournit ^ j^-j preuves nombreuses : entre autres exemples, je citerai celui où un angle JbM inconnu , et où l'on trouve pour sa tangente une valeur infinie ; il est ^^^^- qa'alors l'angle sera droit.
lâO LEÇONS d'algèbre.
, Substituons dans Téquation [2] les valeurs de a! et K trouvées pins haut, elle devient
■7-a: + 6>=-r, d'où -- (aj:4-6r) = 7- A. b b b b
Alors on voit qu'elle peut se former en multipliant les deux mem-
bres de l'équation [1] par - ; donc toutes les valeurs de a: et y qui
satisfont l'une des deux équations doivent aussi convenir à l'autre. Or, si (wWonne à x successivement telles valeurs qu'on voudra et qu'on les substitue dans l'équation [1], on pourra, de cette équation , tirer les valeurs correspondantes de y ; et de cette nuinicre oh aura toujours des solutions qui conviendront à cette équation. Donc, puisqu'elles doivent aussi convenir à la seconde, on est en droit de conclure que les équations proposées admettent une inflnité de solutions. Ainsi , c'est avec raison que les formules de l'algèbre don* nent alors des valeurs indéterminées.
Toutefois il faut bien remarquer que l'indétermination ne va pas jusqu'à permettre de prendre telle valeur de x et telle valeur de y qu'on veut : car l'explication précédente montre que l'une des inconnues doit toujours se calculer au moyen de l'autre.
Le cas actuel comprend celui où l*on aurait /: = 0, A:'=0, aV — ba! = 0 : car alors x ei y deviennent l. Si on*remonte auxf équations proposées , elles se réduisent à celles-ci ,
ax-k-by^O^ a'x^b'y^^^O, Elles donnent respectivement
Or, de l'hypothèse ab'~-ba'=:0^ on tu-e 7=7-1; donc les deux
valeurs de y sont égales quel que soit x , et par conséquent il y a véritablement indétermination.
Cependant il est à remarquer que si on prend le rapport de y à JT , il sera déterminé : car on a
LEÇONS b'ALGÉBKI:;.
SiDS la condition y ==^ j,i les valeurs de y n'eussent été égales
qa'en faisant x = 0 ; par suite on aurait eu j^ = 0 , et le rapport iejrkjc n'aurait plus été déterminé.
Dans ce qai précède, on s'est servi des valeurs a'== %- , *'= — =
et par conséquent on a admis tacitement que le coefficient b était
dilKrent de zéro. On pourrait aussi considérer les cas où il est nul;
miis je laisserai ces détails de côté.
132. Dans la discussion précédente j'ai considéré certaines formes
lières que prennent Jes valeurs générales de x et y^ et je me
■is attaché à rendre évident, surles équations proposées elles-
■émes , les résultats indiqués par une exacte interprétation de ces
formes. Une discussion analogue peut s'établir pour les formules
idstives à plus de deux équations; mais, quand on cherche à mettre
a évidence , dans les équations proposées , les cas d'impossibilité ou
findétermination indiqués par les formules, on rencontre des cal-
ods plus difficiles , auxquels je crois peu utile de m'arréter. Je me
■bornerai à placer ici des observations dont Tobjct est de prémunir
contre q[aelques fausses conclusions dans lesquelles un jugement
trc^ précipité poursait peut-être entraîner.
Dans le numéro précédent, on a pu remarquer que les inconnues
X et ^ devenaient à la fois toutes deux inCnics, ou toutes deux in-
Merminées. Or, une première erreur que l'on pourrait commettre
anit de juger par analogie que , si au lieu de deux équations on en
irait plusieurs , les valeurs des inconnues devraient aussi devenir
ila fois toutes infinies, ou toutes indéterminées. Supposons, par
aemple, qu'il s'agisse des trois équations
ax -hbjr -fez ; a!'x+by+c^'z
Le dénominateur commun de a:, ^, 2, est R=ab'c" — ac'b" ^ca'b"—ba'c"'bbc'a"-^cb'a"-j et il peut s'écrire de ces trois mancres ,
K—a(^b'c"—c'b" ) + a'{cb" —bc" ) + al' fie' —cb' ), R= t(c'a"— a'c") + b'{ac"—ca") + A"(ca'— flc'), R = c {a'b"— b'a") + e' {ba"— ab")+ c" {ab'— ba') .
122 LEÇONS d'algébrk.
Posons ^
b'c"=^c'b\ cb"^bd\ ••f^
■M De ces égalités on dédnit bd = cb', et par conséquent R devîem^^^ zéro. Alors le numérateur de x^ qui se forme de R en changeanfi^ic a, d,d\ en ^, â:', U\ devient zéro aussi. Mais comme le numé^^ïfii rateur de y se forme en mettant A, A', A" dans R , à la place d0*M i , b\ b", il n'y a aucune faison pour que ce numérateur devienne::?'' zéro , à moins qu'on n'établisse quelque nouvelle hypothèse. JA-m. même chose peut se dire de celui de z. Ainsi la valeur de x pem prendre la forme indéterminée ? , tandis que les valeurs de y et^ seront infinies. • '^\
Mais, relativement à cette forme indéterminée, une autre erife reur est encore à éviter : car il peut se faire (124) que Findcterm^j;^ nation ne soit qu'apparente. Pour en mieux juger, on n'aurf^, d'abord égard qu'à la seule relatibn * \^
Ud'=^c'W, d'Où c" = ^. f.
'{VU A cet effet, on subirtituera cette valeur de c" dans la valeur génér,-,
raie de x. Alors on reconnaîtra que le facteur bc' — c6' est colll-^
mun au numérateur et au dénominateur. Or,^ar les hypothèses , ^
ce facteur est zéro; c'est donc sa présence qui produit Tindétermi-^^
nation, et en le supprimant, on aura la vraie valeur de x ^ la-^^^
quelle cessera d'être indéterminée, à moins qu'on ne joigne quel- .,
ques nouvelles hypothèses aux hypothèses déjà faites.
