Je ramènerai d'abord l'i^quation à la forme
A^à^ c étant des nombres entiers quelccmques, positifs ou légatiffl; |cf comme les facteurs a)mnuins à la fois à ces trois nombres pour- |Kiient être supprimés, je sup|)oserai qu*i]s Vont déjà été.
Cela posé, je ferai remarquer dès à présent un cas où il est imfOBsible de satisfaire à riHpiation avec do:!' valeurs enlières de a: et <e y : c'est celui où, après la suppression dont on vient de parler, « et 6 auraient encore un fadeur comnnm. En effet, quelques vdeors entières de a: et de y qu'on substitue alors , le premier ■embre sera divisible par le facteur commun à a cikb^ tandis faele second ne le sera point ; par conséquent légalité est imposable. C'est pourquoi je regarderai toujours dans la suite a et b fxmme premiers entre eux. On n'exigera pas d'abord que x et y niait entiers positifs, mais entiers seulement.
135. Pour le moment, la question est donc celle-ci : Étant ionnée l'écioation
[1] ax -^ by =z c ^
dans laquelle a^b^c sont des nombres entiers quelconques dont les deux premiers n'ont aucun facteur commun, on demande pour ^ et ^ tous les systèmes de valeurs entières qui satisfont à l'équation. Je ferai le raisonnement comme si a et ^ étaient positifs, mais on apercevra sans peine qu'il s'applique aux tatres cas.
La question n'aurait aucune difficulté si le coefficient d'une inconnue, de y^ par exemple, était égal à l'unité. L'équation donnerait sur-le-champ ^= c — ax^ et il est évident qu'en prenant pour X un nombre entier quelconque , la valeur correspondante de y tendt aussi entière.
i9l| LIÇONS D'ALGâBRI.
Sapposons que ni a ni Z^ ne soit égal à 1 , et que b soit <ja. JSk Véqnation on tire d'abord *
c — ax
Piriflons apar b^ nommons q le quotient, et rie reste; on anr^ tf 5= 6j 4-r, et par suite
c — (bq + r)x c^^rx
On veut que xeiy soient des nombres entiers ; or, en donnant à je une valeur entière quelconque, la partie — qx sera entière ; donc pour ffBte y ait aussi une râleur entière , il faut chercher la
valeurs entières de x propres à rendre — r — égal à un nombrl
entier. A cet effet , posons Téq nation
c — rx . '
[2] — 7 — =/ ou rar + 6/ = c,
t désignant une nouvelle indéterminée; la question' sera réduite 1 résoudre cette équation par des valeurs entières de x et de t. Si h reste r était égal à Tunité, la recherche serait donc terminée.
Supposons r>l : on résoudra Téquation ci-dessus par rapport à X , dont le coefficient est moindre que celui de r, et on aura
c — ht
En nommant q' le quotient de b par r, et r^ le reste, il viendra
c^(rq'+r')t , c—r't
x= Lï L ^^q't+——i
et comme t doit être un nombre entier, on voit qu'il faut choish* o nombre de manière que »— soit un nombre entier. C'est pour
quoi l'on pose
[3] =it! ou r'/+r/'=c,
t' étant une nouvelle indéterminée ; et la question est réduite . résoudre cette équation par des valeurs entières de ^ et r'. Tout pcchérchc serait donc terminée si Ton avait r = 1 .
LEÇONS d'âLGAbRB.
Hais soit r' > 1 : la dernière équation donnera
if OÙ, en nommant 9" le quotient de r par r^, et r'' le reste, on aura
/= ^ — = — Wh r^.
On posera de nouyrau
^i" ou /^Y+rr=<r,
ce
a itel
éCant encore une nouyellc indéterminée ; et Ton aura à chercher
scdutions entières de cette dernière équation.
La marche du calcul est maintenant assez évidente , et l'on voit
lirement que la question devra être regardée comme résolue, qu'on parviendra à une équation dans laquelle une indétermiaura pour coefficient l'unité. Or c'est ce qui ne peut manquer
Pirriver : car les coefficients r, r', r',... qui entrent dans les itkms auxiliaires [2], [3], [4]v« sont les restes successifs qu'on Il en opérant comme si on cherchait le plus grand commun ir de a et de b. %
Pour fixer les idées, supjjjosons V = i : l'équation [4] donne
[5] tl^ — r^-^^c.
raisonnements par lesquels on est passé ont montré que t, i^ f dent être des nombres entiers. Ici on voit qu'en donnant à 1!' valeurs entières qu'on voudra, ^' sera toujours entier; et iksrs il est clair que les indéterminées précédentes, en remon^ jusqu'à X et ^, seront aussi jsntières. Ainsi Tèquation proposée ^ une infinité de solutions en nombres entiers {*).
i 0 Si « et 6 n'étaieut point premier8%ntre eux , Kimpossibilité d'ayoir des
rs entières pour x et y serait mise eu évidence par la méthode même.
leiiet, alors dans la suite des restes r, K, r",... il y en a nn qui diyise
lexit le précédent, et qui est le plnft grand commun diyiseiw de a et 6 1
ms qae ce soit r'', et qu'on ait r'szAr". L*éqaation [4l donnera
jjt • - r"
hXk on conclut qu'il n'existe aucune râleur entière àe i" qui rende if en^ à moins que r" ne diyise aussi c. C'est préciséitient le cas ^^impossibilité 1 4éjà été remarqué (i34)-
iS6 LBÇOHS d'aL6£BBS. \^
Mais on peut se dispenser de calcoler les indéterminées intérm^ ' diaires ^ et ^ f car il est facile d'avoir des formules générales qui expriment immédiatement en fonction de t'^ les indéterminées pri-)^ mitives x et ^. Pour y parvenir, remarquez que les valeurs dé: x\j',t et t\ à cause des équations [2] , [3] , [4] , [5] , peuvent s'écrire ainsi , • 3
• JC = — q't +t\
et alors on voit qu'il faut substituer la valeur de i dans celle de t^: puis celles de^ et i^ exprimées en i\ dans celle de x-^ puis enfioilitA celles de x et.^» aussi exprimées en /', dans celle de y. 'i
Le succès de la méthode précédente est fondé sur la diminatioril progressive que la division opère dans les coejfidents des indéter>4i minées ; mais rien n'empêche de diviser aussi le terme constant qài> se trouve dans les équs^tions successive. De cette manière , le cal^ cul renfermera des nombres moins considérables, et cet avantagé^ n'est pas à négliger. i • fc
