Pour exemple, soit réqtiati
Comme le multiplicateur de x est ici moindre que c:elui de yf^
c'est par rapport à x que je résous Péquation : il vient j
En divisant 8 par 3 on .trouve le quotient 2 avec le reste 2, et « ndi-
visant 43 par 3, on trouve le quc^ient 14 avec le reste i\ donc on fl
«■Il
en posant
De cette équation , on tire
3/— iir ^—1
y^—r^^t^—rz=^t^i.
LEçons d'aloKbbe. 127
cmarquanl que 3^=2 x 1 + 1, et en posant
me dans cette équation le coeificienl de t est Tunité, on aura
)n pourra donner à t' toutes les valeurs entières possibles. 1 moyen de cette valeur, on trouve
^=f + i'= 2^ + 14-^=3^+1; , en remontant à x , il vient
jr = 2j' + 14 + f = 2(3r'+i)H-U + 2^'+l = 8/'+i7. u, les formules qui expriment y ti x ^ en fonction de i\ sont
n donnant à i! les valeurs ^'=.0, 1, 2, 3,... on trouvera
r= \^ 4, 7, 10, etc.
jc=i7, 25, 33, 41, etc.
pourrait aussi donner à l' les valeurs négatives /'= — 1, — 2, J. etc.
37. Dans Texeniple ci-dessus , les valeurs de ^ et de x forât deux progressions ariilmétiques, dont la première a pour ion le nombre 3, coefficient de x dîms Féquation proposée; et it la seconde a pour raison le nombre 8 , qui est le coc^fficient y pris avec un signe contraire. On pourrait reconnaître que le proposition est générale , en eiïecfuant les substitutions suc* BÎTes dont il a été parlé à la un du n"" 135, mais la démonstration iraule est préférable, hr l'analyse du n'' cité , on est certain que Féquation
[1] ax + by = c
it admettre une inûnilé de solutions entières, quels que soient les lues et les grandeurs des nombres a et 6 , pourvu qu'ils soient Oûiers entre eux. Supposons qu'une de ces solutions soit
inombres devant satisfaire à l'équation [1], on aura
1S8 LBÇOHS vfM.Ot»tX,
Ed retranchant cette égalité de l'équation [1], il Tient
et de là on tire
Les valeurs de x doivent être entières , et telles que ^ soit aussi un nombre entier; donc le prodait a( A— x) doit être divisible par 6. Or a est premier avec b; donc A — x doit être un multiple de b (*). On posera donc
A — x=^btj t désignant un nombre entier quelconque ; et par suite on aura
j?=ssA — bt^ y=s:'B-^at.
Ces formules mettent en évidence la loi des valeurs qu'on obtieil pour X et ^, quand on donne à t successivement toutes les valeui entières. Si on prend /^rO, 1, 2, 3,... il vient
j:=A, A— 6, A— 2b, A— 3^, etc., ^ = B, B+^, B + 2a, B4-3^,etc.;
et si on prend / = —l, —2,— 3,... il vient
:r = A+ ft, A4- 26, A+ 36, etc., yrtzB — û,B — 2û,B — 3a, etc*
En général, quand t croît d'une unité y augmente de ^, et j augmente de — 6. Donc les solutions entières de téquatioi axH-by = c sont les termes correspondants de deux progrès sions arithmétiques. Dans la progression relative à chacune de indéterminées X e^ y, la raison est égale au coefficient de Vautr indéterminée. Mais il faut avoir soin de prendre Vun de ce coefficients avec le signe quHl a dans V équation ^ et ï autre avt un signe contraire.
(•) Si un nombre divise un produit de d€ux facteur, et s il est premier /m rapport à l'un de ces Jacleurst il devra diviser l'autre* On peut regarder cet" proposition comme connue pat rarithmétiqae ; et d ailleurs elle sera d montrée plus loin , chap. XXL
LEÇONS d'algâbre. 129
Il est d'ailleurs tout à fait iDdifférent que ce soit le coeflicient de r ou celui de y qu'on prenne avec un signe contraire : car, dans les formules qui expriment x et^-, on peut changer les signes des ternes -\ht et — ai , attendu que F indéterminée t peut recevoir toutes b valeurs possibles, positives et négatives.
138. La proposition qu'on vient de démontrer donne le moyen d'obtenir sur-le-champ toutes les solutions entières d'une équation le la forme ^zx+^^ = c, dès qu'on en connaît une seule. Ainsi,
Fèquation
7jc— 5^ = 9
étant proposée , on reconnaît, après quelques tâtonnements, qu'elle ' ttt satisfaite par a:=2, ^= 1 ; et dès lors, en observant que +7 et —5 sont les coefficients de x et de^ dans Téquation, on pourra poser ks formules générales
biaisant r==:0, 1, 2, 3,... et ; = — -1,— 2, — 3,... on aura les sohtions de l'équation.
