Dans l'équation générale supposons c=0, elle devient
«t comme alors elle admet évidemment la solution a: = 0 et 7 = 0 , formules générales seront
x = bt, y = — at.
[Si (m veut trouver directement ces résultats , on tirera de l'équa*
'Vnla valeur j^= ; puis on remarquera que a ci b élant
iers entre eux , les valeurs entières de x qui rendent y entier itétrc multiples de 0, Donc, i désignant un nombre entier [ue, on doit avoir x=:bt^ et par suite ^= — ai.
Exemple Six — 22^=0,
tara x=22t^ y^'^H-
140. Supposons c multiple de ^ ou de ^. Soit c=:bd: l'équation
iiésoudre sera
ax'\^by = bd,
a évidenunent pour solution j: = 0 , j^ = rf j donc les valeurs les seront
jM^'
130 LEÇONS d'alo6bri.
De Têquation on peut tirer x = -^ — — , et de là on condotqae
d^y doit être un multiple de a. On posera donc à—y^at^ et par suite on retrouve les fornjules y = d — at^x=:i bt.
Exemple 5^— 7^^ = 21.
Ici la solution évidente de Téquation est j?=^0,^r= — 3; et en conséquence les valeurs générales sont
141. J'indiquerai encore deux simplifications qui se rencontrent quelquefois dans les calculs. Un exemple les fera comprendre. Soit réquation
On en tire d'abord
Si on divise 80 par 17, ona 80 = 17x4'+tâ; vaisoomme le reste 12 surpasse la moitié du diviseur 17, je ferai remarquer qu'on peut écrire 80= 17 X (4 -f 1 ) + 12— 17 = 17x5 —5. C'est-à-dire qu'en augmentant le quotient d'une unité , on aura un reste négatif moindre que la moitié du diviseur, ce qui opère dans les nombres une réduction plus rapide. Quant à la division de 39 par 17, elle donne 39 = 1 7 X 2 + 5 , et il n'y a point lieu à changer le reste 5. En conséquence on aura
(17X5— 5)x— i7x2— 5 ' 5jr4-5 ^= ^ =5^-2 —.
Mais il se présente encore une autre simplification , laquelle résulto de ce que 5 est fiictour dans 5j: + 5. En effet, ce numérateur se décompose en 5(.r+ 1) , et comme le dénominateur 17 n'a aucun facteur con>mun avec 5, il s'ensuit que pour rendre le produit 5(jc + 1) divisible par 17, il faut prendre x+l égal à un multiple quelconque de 17. C'est pourquoi l'on posera l'équation auxiliairei
jT + 1 = 1 7^ ;
et par suite on trouvera
jc = 17/— 1, jK==80/— 7,
LEÇONS d'aLGAbRK. 131
ftèsolutîon de t'ûiualiuQ n»i-bymeic en nombrei entiers positifs. -• i()plinalion à des prohlètneiè
— Remarques sur les inégalités.
142. Quand on veut résoudre Féquation ax-\'by=cen nombres entiers positifs , on commence par faire les calculs comme si les nombres devaient ôlre entiers seulement ; et , d'après cequi précède, on a pour x et^, des expressions de la forme
Mais alors, au lieu d'^tribuer à t toutes les valeurs entières possibles, on ne doit plus cfimsir que celles qui rendent x et j^ positifs. De là résultent pour / certaines limitations qui sont toujours faciles à déterminer.
En premier lieu , considérons le cas où a et 2^ sont de même signe dans Véquation
ax'^by=c.
Je les supposerai positifs, parce que, s'ils étaient négatifs, on pour rait les rendre positifs en changeant tous les signes de l'équation. Je supposerai aussi c positif: autrement l'équation serait impossible en nombres positifs.
Écrivons les. valeurs générales dexdy sous cette forme ,
JC
pour rendre x positif, il faut et il suflSt qu'on prenne t<C y, ci
pareillement, pour rendre y positif, il faut et il suffit qu'on prenne
t > . Donc , pour n'avoir que des solutions positives et en-
re-l ^
^emltifares, on ne devrait ttribuor à t que les valeurs entières comprises icu&lntre les deux limites
jf a b^
itefois il faut remarquer que les signes > et < n'excluent pas légalité : c'est-à-dire qucsi la première limite, par exemple, était nombre entier n , on pourrait faire r = ti. La valeur corresponitedc j: serait j;=0.
i^il LEÇON» d\lGÂBH£.
De ce que i doit être entier et choisi entre deux limites , il s'aisait que le nombre des solutions de l'équation doit être limité ; et c'est ce qui est évident sur Téquation même. En effet, a et b étant positifs , si on substitue pour j: et j" des nombres positifs , les deux termes ax+ by seront toujours positifs ; et comme leur somme doit rester constamment égale à c , il est impossible qu'aucun des deux termes augmente indéfiniment.
Il pourra se faire qu'il n'y ait aucun noml^re entier entre les li- 1 mites assignées ci-dessus pour t : alors on conclura que l'équation j est impossible. C'est ce qui arriverait si ces limites étaient resser- 1 récs entre deux nombres entiers consécutifs , conmae sont celles-ci, ^>4'j et /<4}. D'ailleurs, elles ne pourront pas être contradiOf: toires, conune, par exemple, ^>4; et ^<3i : car il faudrait
qu'on eût -r < ; or, de là on tire a Ah- ftB< 0, et, d'un autre
côté , A et B doivent satisfaire à la relation ^A 4* 2^B = c , dans la-s quelle c est positif. ^
En second lieu, considérons le cas où ^ et & ont des signes œik^^traires. Supposons qu'il s'agisse de l'équation "^
ax — i^ = cr,
dans laquelle aeib représentent deux nombres positifs. Alors le^ valeurs générales de x et de y sont de la forme
Or, on peut les écrire ainsi
et sur-le-champ on reconnaît que , pour rendre x eiy positifs , . fil faut avoir à la fois
c'est-à-dire qu'on peut atlribucr à t toule^cs valeurs entières ailÇdessus de la plus grande dettes limites (sans exclure l'égalité , ^ cette limite est un nombre entier ).
Par-là on voit que Toqualion ax — i^s=c, admet toujocÀ un nombre inOni de solut.x^ns entières et positives, tandis 4^^
Féqoation ax + by^c n'ea a jamais qu'un nombre limité , et même peut n'en pas avoir du tout.
Appliquons ce qui précède à quelques problèmes.
143. Problâme I. Une société d!hommes et de femmes a dépensé ions une fête lOOOyr. Les hommes ont payé 19^/r. et les femmes Wfr. Combien y a\^ait'il d! hommes et de femmes?
Soit X le nombre des hommes et y celui des femmes : il faudra résoudre en nombres entiers positifs Téquation
Bnfiiisant les calculs comme dans le n» 136, et profitant des simpli* leitioDS indiquées par le n"" 141, j ai successivement
3jc — 1 = 11^,
llf+1 , 1 — < , j:= __ = 4^+-^ = 4/H-/\
lurenu à ce point, je remonterai à a: et y^ et il viendra
|AiDsi les formules générales , qui expriment x et j^ en ^, sont
Pour que x soit positif, il faut et il suffît qu'on ait ll/'<4 ou '< A ; et pour que ^ soit aussi positif, il faut et il suffit qu'on ait '> — 84 ou f'> — 4 ,V Donc on devra prendre pour /l'une valeurs
jt ' ;f=0, -1, -2, -^3, -4.
ices valeurs correspondent
ftonibre de» solutions est limité , et l'on devait s'y attendre ,
