I.IÇONS u'ALGÙfiill
En dannant k x des valeurs entières positives qaelcmqaes, tous les nombres dont la division par 1 ^ laisse le reste 3 sont évidan* ment compris dans la formule
Semblablement, en prenant y entier et positif, les nombres qui, divisés par 17, donnent le reste 10 sont compris dans la formule
Par conséquent, la question consiste à résoudre en nombres entiers et positifs réquation
[2] ll.r + 3 = 17^+10.
En opérant conmie dans le problème précédent, on aura ces calculs:
^ L'hypothèse i' = 0 donne* /= — 1,^=— 3, a?= — 4; et alors on c6nclut«siir-le-champ ,
On ne doit pasïakeY négatif, ni même ^=;0 ; car\r et j^ deviendraîggt négatifs, idais on pourra faire ^==: 1* 2, 3, etc. jusqu'à rinûni.
Si on veut avoir des formules dans lesquelles on puisse donner à l'indéterminée toutes les valeurs entières positives à partir de zéro, il suffira évidemment de changer /' en 1 + 0, 0 étant la nouvelle indéterminée. Alors on aura
jc=13 + 17e, ^=8 + 110.
Au moyen de ces valeurs on trouve
N = lla:+ 3 = 11(13 + 170)+ 3 = 146 + 1870, N = 17^ + 10 = 17( 8+llô)+10=146 + 1870.
Ces deux expressions sont égales , et Ton devait s'y attendre , puisque Téqualion [2] a été formée on égalant les valeurs de N.
On voit qu'ily a une inûnitédc nombres qui remplissent les deux conditions de renoncé , et qulb sont tous représentés par la formule
dans laquelle B est une indéterminée qui peut recevoir toutes les valeurs entières positives , en commençant par zéro.
Il est d'ailleurs facile de s'assurer qu'elle satisfait à Ténoncé : c'est-à-dire que si on la divise par 1 1 le reste sera 3 , et que si ou la divise par 17 le reste sera 10. En effet, on a
N .„ .. . 3 . N ii/. 10 /i^tr
147. Problème V. Trouver un nombre tel qiCen le divisant par 11 il reste 3 , qu^en le divisant par 17 */ reste 10, et qu*en le divisant par 37 il reste 13.
Dans le problème précédent, on a trouvé la formule des nombres qui remplissent les deux premières conditions. En mettant x au Ûea de G , cette formule est
Mais pour que le nombre N remplisse la troisième condition , il doit être de la forme N = 37^ + 13 ; donc on a l'équation
n est bien entendu que x eXy doivent être entiers et positifs. 11 viendra d'abord
j: + ll = 37f,
Pour que x soit positif, on ne doit donner à t que des valeurs posiitives au-dessus de zéro. Mais en faisant ^ = 1 + 0 , on pourra attri- [ker ajoutes les valeurs entières positives, en commençant par zéro. jnS ce changement, x devient
Avec la yalenr ^ = 0, on aurait ]
01 7 ) t qu'on peut faire jr=0, 1, 2, 3. De là résultent, pour ^ les équations proposées , les^quatre solutions suivantes :
x= 0, /x= 1 fx=: 2 (j:= 3
z=20 jz =14 U = 8 )z= 2
a=20, Va=26, \tt=32, Va =38.
Avec la valeur ^= 1 , on aurait
et les seules valeurs admissibles de x sont a? =0 , 1, 2. De là résot tent les trois solutions
En0n , avec la valeur ^ = 2 on aurait
Les seules valeurs admissibles de x sont jc = 1, 2 ; et de là résul<* tent encore les deux solutions
En tout, neuf solutions. Il n'y en aurait plus que trois si on eicluait celles dans lesquelles une inconnue est zéro. 153. Comme exercice , je placerai ici les énoncés suivants :
Problème. Deux paysannes ont ensemble 100 œiifs. L'une dit à l'autre •• Quand je compte mes œufs par huitaines, il y a un surplus de 7. La seconde répond: Si je compte les miens par dizaines^ je trouve le même surplus de 7. Combien chacune as^ait" elle dœufs ?
Réponse. Nombre des œufs de la 1" = 63, 23 ; Nombre des œufs de la 2^ =37, 77.
LKÇONS D*ALGàBRE. 145
Problème. Troiwer trois nombres entiers tels que si on multiplie le i^ par 3, le 2* par 5, et le 3« par 7, la somme des produits soit 560, et tels encore que si on multiplie le V^pard, le 2^ par 25, et le ^"^ par 49, la somme des produits soit 2920.
Réponse: 1<» nombre :i015, 50;
m 2« nombre ==82, 40;
V' 3* nombre =15, 30.
Problème. Quelqu'un acheté 100 pièces de bétail pour 100 louisy sai^oir: ifes porcs à 3 louis [ lapiece^ des chet^res à 1 louis J-, et des moutoni'à l louis. Combien y av ait-il d animaux dé chaque tspece ? ,
RipoNSB : Nombre des porcs = 5, iO, 15;
Nombre des chèvres = 42, 24, 6; Nombre des montons = 53, 66, 79.
f Problème^ Un orfèvre a trois sortes d'argent ,• le marc de la
première contient 7 onces d^ argent fin ^ le marc de la seconde 5J, le marc iie la troisième 4^-. Il veut composer un alliage dont le marc contienne 6 onces d^ argent fin. Combien doit-il prendre , ea nombres entiers^ de marcs de chaque sorte pour que le nou- 9d alliage fasse un poids de 30 marcs?
KipoMSEzNomb. des marcs de lai '« sorte = 10, 12, 14,fl6, 18; Nomb. des marc5 de la 2* =20, 15, 10, 5, 0;
Nomb. des marcs de la 3^ = 0, 3, 6, 9, 1^.
Problème* Un fermier a acheté 100 pi ces de bétail pour 4000 yr., savoir: des bœufs à ^00 fr. la pièce, des vaches à 200 fr.j des veaux à 80 fr., et des moulons à 20 fr. Combien y avait^il d'animaux de chaque espèce ?
Réponse. En excluant les solutions qui renferment un zéro, le ]irot>lème admet les dix suivantes :
Bœufs 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4
Taches.... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, âj
Veaux.... 24,21,18,15,12, 9, 6, 3, 5, 2
Moutons.. 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92.
