CHAPITRE Vm

DU Cil^B£ ET DE LA RACINE G AÉRÉE Stt ' (^UAHTITÉS ALGÉBRIQUES.'.

CALCUL DBS RADICAUX DO ftBCOHD DEGRÉ.

V«liÉr«Mlr!|piê dk la raeiM carrée. •-> QtiiUltte tmagliudrcl.

154. La quantité qui , élevée ^n carré , rqproduit une ^qpuutité donnée , se nommèlâ racine cariie 4e cette quantité. En arith-* mélîque , où il n'y a point de quantités nègatiTes et où Ton na considère que les valeurs absolues des nombres^ une racine carrée ne peut avoir qu'une seule valeur. Il est évident, par eumple, q^e la racine carrée de 4 ne peut |Nia être autire que. S. K en «rt encore de même en géométrie tosqu'ra demande «pftel «t le oâl6 du carré dont la surface est donnée^ *

Mais il en est autrement par raf^p^t à l'algèbre , . qui adoMst également dans ses calculs et les quantités positives , et les quanti tés négatives, et d'autres encore que nous ferons bientôt connaître. Il est clair en effet que 4 est aussi bien le carré de — 2 que celui de +2; et^en général, si on convient de désigner par VK une certaine quantité dont le tarrèsoit A, la racine carrée de A. sera aussi bien — [^ que +KÂ. ,0n représente ces deux valeurs d'une manière abrégée en écrivant ±I^A. ^

. Une proposition importante doit être démontrée ici : c'est que la quantité A n'a^pas d'autre racine carrée que ces deuie-là. En. effet, les différentes racines carrées de A ne sont autres que lei

aleurs dex qui satisfont à l'équation x'=s: A, ou, ce qui est la' mcme chose, à celle-ci .

^* — A, on peut écrire .r* — (k A)*; puis , en décompo* •^nce de carrés en deux facteurs (41), on a

'—k^{jc—Vh,)[X'^\/'K).

Sous cette forme , on voit que toute valeur de x qui ne serait n{ 4- i^Aj ni — |/A, ne rendrait nul aucun des deux facteurs ; donc elle ne saurait rendre nul le produit jt' — A; donc la quantité A n'a point d'autre racine carrée que ±Ka. m

Ainsi la racine carrée d'une quar^ité a deux valeurs gui som ^uiLes et de signes contraires^ et elle n^en a pas davantage.

^Bl55. Â parler rigoureusement, l'expression Ka suiBt sans le wgne ± , pour représenter les deux racines carrées de A : car elle désigne indifféremment toute quantité dont le carré est A. Lors donc que, pour indiquer ces deux racines, on écrit ±1^, le radical est pris dans un sens restreint, lequel consiste à supposer que Ka ne désigne plus que l'une des deux valeurs. 156. Il peut arriver que la quantité placée sous le radical carré

soit négative, conmie dans Texpression K— 4. Or, il n'existe aucune grandeur positive ou négative dont le carré soit négatif; ^esl pourquoi l'on dit alors que les valeurs de radical dont imaginaires. A proprement parler, ce ne sont plus des quantités ; cefendant, comme on les soumet aux règles du calcul algébrique, OQ leur conserve cette dénomination ; mais la qualification [d'i/miginaires suffît pour 4ter toute équivoque* Par opposition , on appdle réelles les quantités positives ou négatives.

157. Tout radical carré imaginaire peut se transformer en un produit de deux facteurs, l'un réel, et l'autre égal à 1^—1. Soit

le radical imaginaire K — A. La quantité A étant positive par ellemême, elle doit avoir deux racines carrées qui soient réelles. Nonmions a Tune d'elles, ceUe qui est positive, par exemple , on pourra toujours représenter V—K par ay^ pourvu qu'on détermine j^ de manière qu'on ait (ay^=^ — A. Cette condition revient à ti/=^ — Aj ou bien, puisque A est le carré de a, à Ajy*= — A; ou bien encore , en divisant par A, à

y^-l, d'où y=±V^.

Or, pour avoir les valeurs de 1^— A, il faut multiplier a par celles dej^,- donc les valeurs de \^ — A peuvent s'exprimer par ± (M — 1.

158. Par ce qui précède on est conduit naturellement à distinguer, parmi les résultats qui se déduisent du calcul , deux espèces

de valeurs ovl déterminations : les unes, qu'on nomme arithmeti* ques parce qu'elles sont tout à fait de la nature do celles qu'on trouve pai;; les opérations de Tarif hmétique , c'est-à-dire essentiellement réelles et positives ; les autres, qu'on nomme algébriques l|brce qu'elles comprennent les valeurs négatives et les imaginaires , qui ne doivent Içur existence qu'aux tonabinaisons des sigc^ de l'algèbre. Ces dénominations ont le mérite d'avoir une conifl mité parfaite, avec les idées qu'elles sont destinées à rappeler. ^

Carré et racine jcarrée des monômes.