Soit un pcflynoiflé

dans lequel terme a^b^c^d représentent des quantités quelconques. Considérons tous If s termes, excepté le dernier, comme n'en forniant qu'un seul , et alors formons le carré de ce polynôme comme celui d'un binôme m + d : on aura

En formant de la même manière le carré de â^+fr+c, il vient

^ -f-2(<ï+64-c)rf+cP.

I[uiS| en f^s^nt le dlrré i^ a+b^

De là ou oondul ^e UP carré d'uti polynôme , qu^ que soit 1^ nombre de ses tèrme^ contient le carré du !«' terme^ plus le doubla prgduit dU V^ pdrle 2% plus le carré du 2*; et encore le doubla produit des deux premiers par le 3*, plus le carré du 3* ; et en^ core le double produit ^des trois premiers par le 4*, plus le carrS du¥'^et ainsi de -iuiteT^fS

Remarquons enr pssanjt que si on effectue tous les doubla^

/leçons d'algAme.] ^^ 151

produits énoncésJans cette règle , le psi^t du polynôme renfermera les carrée iQ tous les termes , plus tous les doubles produits de ces termes iiullipliés deux à deux.

166. Cette ^gle étant établie, proposons-nous d'extrairek racine carrée d'unpolynome quelconque, que je nommera! P. Supposons qu'on ait ordonne P de manière que les exposants de la lettre x .aillent endécroissant, et qu'alors ce polynôme soflfel^

Ksignons par a+h-\*c-^.„ la racine ordonnée de la même manière^ Son carré devra reproduire le polynôme P : or, d après la règle ci-dessus, parmi les termes qui composent le carré do cette racine, celui dans lequel x a le plus haut exposant est évidemment a ; donc A est le carré de a ; donc le 1«' terme de la racine s'obtient en extrayant la racine carrée du 1*' ternie du polynôme proposé.

Retranchons de P le carré de ce terme : le reste que je nommerai R, sera

et il devra contenir le double prodûil du l** terme de la racine par le 2e, plus le carré du 2*, etc. Or, TI est Facile de voir que le double produit du 1" terme par 1q 2^floil contenir x à un plus haut exposant que les autres parties de R, donc 1^ est ce double produit; donc le 2« terme de la racine se trouve en dii^isant le 1*"* terme du reste R par le double du 1" terme de la racine.

Maintenant que les deux premiers termes a+b de la racine soi^ connus, ajoutons ^ à 2a et multiplions 2a +^ par b -. le produit sera égal au double du l""" terme multiplié par le 2% plus le carré du 2*. Si on retranche ce produit du reste R, on aura donc un nouveau reste R', lequel ne contiendra plus que le double produit des deux premiers termes de la racine par le 3% plus le earré du 3% etc. En raisonnanUP^«âQmio tout à Theure, on reconnaît d'abord que, dans ce reste, le terme où x a le plus haut exposant est le double produit du 1«' terme de la racine par le 3«; et par suite on conclut que le 3" terme de la racine se troui^e- en divisant le 1" terme du reste R' par le double du 1" ternie de Ifi racine.

15â LEÇONS D^LGÈHRE'

Les trois premiers termes a-i-b+cée la racae feront trouver le 4% comme les deux premiers ont uni trouva le 3*. Ainsi, on ajoutera le terme c , qu'on vient de délermiher^ atdoublc ^a^^b des deux premiers, on muKipliera la somme 2^u2&*K par c, puis on soustraira le produit du reète R'. Par-là on iura un nouveau reste R"; et cest encore en divisant ' le 1" ttrme de ce reste par le Hquble du 1" terme de la racine qu'on obtiendra, le 4* terme de cette racine.

En continuant ainsi, on est sûr, quand le polynôme P est un carré, de découvrir successivement tous les termes de la r^çiqe : car chaque division en fait trouver un.

On doit déjà reconnaître que la pltSs grande analogie existe entre la règle qui sert à extraire la racine carrée d'un polynôme et celle qu*on emploie pour les nombres. Mais Tanalo^ie s'apercevra mieux encore sur un exemple.

1** reste.

Polynôme donné.

4x*+ 12x'+ 5jc'— 6a:+ 1 — 4x*

«a rcsMs» • • •

3« reste. . . .

—407*— 6x4-1 +4a*^+6jc— 1

Racine.

4jc'-f6a:— 1

On extrait la racine carrée du !•'' terme 4-3:^? et oA obtient' ainsi le 1*"^ terme 2x* de la racine.

Du polynôme donné on retranche le caA'é de ce terme , ce qui donne le 1" reste; puis on fait le doul?le kx^ dî ce terme, et l'on divise le T' terme du reste par ce double, c'est-à-dire, H-12a:' par 4x*. Le quotient + %x est le 2* terme de la racine. •

A côté de 4^:*, double du 1" t«rme de la racine, 6n ajoute le 2« terme +3a7, on multiplie la somme \x*-\*Zx par le 2* ternie 3ar, puis on retranche le produit du 1" reste , ce qui donne un 2* reste- On divise encore le 1" terme — 4x* de ce reste par le double 4x^ du 1" terme de la racine ; et le quotient — 1 sera le 3' terme de la racine.

Au. double des deux premiers termes de la racine on ajoute le 3", ce qui fait 4j:'4-6:c— -1 ; on nijiltiplie cette somme par le 3* ienne — 1, et on retranche le produit du 2e reste. On a zéro pour V reste; et de là on conclut que les termes trouvés 2x"+ 3jr -r- 1 X>niposent la racine carrée du polynôme donné.

167. En général, ce qui avertira tout à la fois que le polynôme est un carré et que la racine est complète, c'est qu'alors on arrivera à un reste nul. En effet , par la manière même dont les calculs sont faits, chaque reste qu'on obtient n'est autre chose que lepcdynome proposé, diminué de toutes les parties qui composent le carré de la quantité trouvée à la racine par les opérations ipi ont précédé. Lors donc que la racine sera complète , on ne peut pas manquer d'avoir un reste nul ; et , réciproquement , dès qu'on parvient à un tel reste, il est évident que les termes écrits à la racine composent la racine exacte^^du polynôme proposé. ^

Fun autre côté, quand le polynôme donné ne sera point un carré, il est très-important de remarquer que les calculs en avertiront encore. Supposons toujours , comme on Ta fait jusqu'ici , ^'oQ ordonne de manière que les exposants de 2x: soient décroissants, et observons qu'à chaque soustraction le l'r terme delà qnaEtité sur laquelle se fait la soustraction est détruit : de là il sût que Texposant de x doit aller en diminuant dans le premier terme des restes successifs, et par conséquent aussi dans les termes de h racine.

Cela posé, nommons K le dernier terme du polynôme proposé P.^ c'est-à-dire le terme où x a le plus petit exposant; et ioit J: U racme carrée de K. Il est aisé de reconnaître que si P jttt nn carré, k devra être le dernier terme de la racine; par conséquent la narche progressive du ciilcul devra le faire trou- [Wr. Or, si cela liarrive pas, on est sûr que les calculs amèneïtmi à la racine ui terme de degré moindre que k ; donc alors \i sera évident que P, n'est point un carré. La conclusion serait

iméme si le calcul aliénait le terme k et que le reste suivant ne jiftpasnul. /

168. Toutes ks explications précédentes (166 et 167) semblent iicoomiDodées au cas où ir)n ordonne les polynômes de manière Iftt les exposants d'une leUe soient décroissants. Mais quand on

154 LEÇONS D'ALGÊfifil.

adopte Tordre contraire , elles subsistent encore , sauf une légèn modification dans le caractère auquel on reconnaît qoe le pol} nomi n'est pas un carré. ^

B'abord on aperçoit sans peine que là même marche de calcu fera encore connaître successivement tous les termes de la racine et lorsqu'on parviendra à un reste nul , on pourra encore conclur que le polyn(»ne est un carré, et que les termes trouvés sont ceu^ de sa racine.

Ensuite, pour modifier le caractère auquel on juge que le po lynome n'est point un carré, il suifit de remarquer que Texposali de la lettre , d'après laquelle on ordonne , va en croissant dans le termes qu'on trouve successivement à la racine, et que dans \ cas où le polynôme est un carré, le calcul doit amener un der nier terme égala la racine carrée du dernier terme de cepo lynome; donc, si en effet on arrive à un pareil terme, san trouver ensuite un reste nul, ou si on arrive à un terme d degré plus élevé, alors on pourra affirmer que le polynôme n'es pas un carré.

169. Quelquefois cette conclusion s'aperçoit à la simple inspec tion du polynôme : car nous avons dit que, dans le cas où fi serai un carré, la partie de ce polynôme qui renferme une lettre quel conque au plus fort ou au plus faible exposant doit être un carré par conséquent, dès que cette condition vient à manquer i regard de Tune des lettres , le polynôme ne saurait être un carré Si cette impossibilité ne se montre pas tout d'abord, elle peut encore se manifester dans le cours des opérations , quand il se trouva un reste dont le 1^' terme n'est pas divisible par le dou^e du 1« terme de la racine. 1

170. Je terminerai par une observation que le lecteur a saa doute déjà faite. Quand on ordonne les polynones par rapport ^ une lettre x , on peut rencontrer plusieurs t^nies où x ait 1» même exposant. Dans ce cas, on adoptera T^e des disposition prescrites pour la division (46) ; et il est cla** que nos raisonner ments subsisteront en entier, aussi bien qi6 les règles qui en on été déduites. On peut aussi considérer t'^s les termes qui contiennent une même puissance de x oxfim^ s'ils n'en fonuaicn qu'on seul, mais alors les opérations Partielles, devant, s'effeo' tuer sur des polynômes, ne pourroi? pl^ se Csdre à sîmpla vu9

LIIONS '^D'ALOfiBRB. ISft

et il Caadra les déyelqpper à part, comme dans Texemple d-

dessous.

? l— (4<ï6— 6tf)j:4-46*--12i+9

• f (4^6— 6fl— 8^?'-M26)a:" II— (4û6 — 6a)ar+46'— i264-9 r— (4a6— 6a— 86"+126)a:' (+ (4aA— 6a)ar— 46'+126— 9

Rtfline.

ra— 2fr)j:r^— aj?+2ft— 3

(2a— 46)jc'

(2a— 46)j::*— ax

(2a— 4ft)j:'— 2aj?+2ft— 3

!'« opération partielle.

—\ab+W +4aft-46'

a" opération partielle.

3« opération partielle.

Calcul des radicaux du second degré.

171 . Le plus soayent les racines, de quelque ordre qu'elles soient , ne peuvent pas s'exprimer exactement sans le secours des radicaux ; et par conséquent tous les calculs dans lesquels ces racines doivent entrer se trouvent aussi compliqués de radicaux. Notre objet est ici d'exposer les différentes transformations ou réductions qu'on opère

15(J LEçows. d'algèbbe.

sur les radicaux carrés. Elles sont , pour la plupart , déjà connues , et il suffira de les indiquer brièvement.

i72. On a vu que la racine carrée d'un produit s'obtient en extrayant celle de chaque facteur (160) ; dope on a

et réciproquement on a aussi

Par là on voit comment on fait passer un facteur hors d'un radical carré , et comment on le fait entrer sous ce radical lorsqu'il est eu dehors.