ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ ET QUESTIONS QUI EN DÉPENDENT

Résolution des pquâlion) du second degré à une seule inconnue.

176. Lorsque, par l'évanouissement des dénominateurs, ou par toute autre préparation , une équation ne renferme plus que des termes connus et des termes affectés du carré de l'inconnue, on peut toujours la ramener à la forme

i58 Leçofiâ û'ALOÉBas.

et alors sa résolution est facile. En effet , puisque le carré de x doit reproduire A, il s'ensuit que x est une racine carrée de A : or, cette quantité a deux racines carrées représentées par ±KÂ , et n'en a pas davantage (154) ; donc on aura tout^ les solutions de l'équation [1] dans les deux valeurs

Exemple I. Soit l'équation

^X - AX i

On chasse d'abord les dénominateurs , et successivement il vient

(26— 3a)a7'= haV^a^b , ,5fl6'+a'6 ^ "" 26— 3a '

' . ^/hab^^-a^b

Exemple II.

hx j:4-2'

Exemple III. 3o:"+17=5o:*+89,

177. Considérons maintenant l'équation la plus générale d 3* degré. Elle doit renfermer trois sortes de termes : les uns affec tés du carré x* de l'inconnue , d'autres affectés de x au premier d( gré, et d'autres entièrement connus. Après avoir transposé tous \ termes dans le premier membre , on pourra réunir en un seul toi ceox qui contiennent x*, aussi en un seul ceux qui contiennent j

et aussi en un seul ceux qui sont toul connus» Alors réquation prendra la forme /

ax^'+bx + c^ 0.

On fait encore subir à cette équation une simplification, qni cou* sisle à dégager le carré x* de son multiplicateur a. A cet effet, on divise tous les termes par a , et il vient

Si le terme en x" avait le signe — , on changerait tous les signes ;

déserte qu'on peut toujours ramener le premier terme à être x".

Soit fait , pour abréger, - =p^ - = y : on aura

et telle est la forme générale à laquelle on réduit les équations du second degré, p eiq étant des quantités connues. Par exemple , si Ton propose l'équation

on la changera successivement en celles-ci :

9a:j-2a:'=60 — 24jr,

— 2jc'+33x— 60 = 0,

x'— Vjf-f30=0.

Cette dernière équation est évidemment comprise dans rik[uation ^'+/'.rH-^ = 0, en faisant /?= — Wq=z^o, 178. Occupons-nous donc de résoudre Téquation générale

[2] x'-hpx+q^O.

Ccl serait facUe si on pouvait lui donner la forme

m et n étant des quantités connues. En effet, dans celle-ci on voit Q qu'il faut choisir x de manière que le carré de x+m soit égal à n ; donc x-^m doit être une racine carrée de n. Or, il y a pour n

deux racines carrées , qu'où désigne par di Vn j donc on doit avoir

et par suite, en transposant m ,

Revenons à Téqualion [2] , et cherchons à la mettre sous la forme (j:+m)*= n. En transposant q dans le second membre, elle devient d'abord

af-^-px^ — q»

Maintenant rappelons que le carré d'un binôme se compose du carré du V^ terme, plus le double produit du 1*"^ par le 2% plus le carré du 2*. Il suit de là qu'on peut regarder x'^-^-px comme les deux premières parlies du carré de x+î/? : car x"" est le carré de a: , et px est le double produit de x par {p. Le premier membre x^-^-px sera donc le carré de x^~p , si on lui ajoute le carré de {p ou 4/?\ Or, on peut en effet lui ajouter ce carré, pourvu qu'on l'ajoute aussi au second membre j et de cette manière l'équation deviendra

^Alors, en raisonnant comme pour l'équation {x^mf=tît^ on eH tire d'abofd

et par conséquent

On a ainsi» Jeux valeurs pour x. Il n'y en a pas d'autre : car^ pour que (r + [ pf soit égal à \p^—q , il faut que x+ ^^/lisoit çgal à la racine carrée de ^/>' — q ; ca:, nous savons que cette wfthfe. n'a. que les Ao^iJi valeurs désignées. par ±.V -^p" — q\ doilct§!|MJi valeurs de x doivent sf tirer de l'équation [3]. *

On nomme en général racines d'une équation tou^kSIKMhi^ de l'inconnue qui satisfont à cette équation. En consdÉriiMP dirons que les valeurs [4] sont les racines de l'éqUatij

LEÇONS d'aLG&BRE. 161

179. Si Ton veut vérifier ces valeors y il suffit de les substitiier onr à tour dans Féquation. En substituant la première , où le ralical a le signe +, il Tient

3t , réduction faite , on v>^it que le premier membre est identique-ment nul. La seconde vaieur de x se vérifie semblablement , sans autre changement que celui du signe qui précède le radical.

180. On a fréquemment à résoudre des équations du â* degré; pour cette raison, il est commode de traduire la formule [4] enlangage ordinaire et d'établir ainsi une règle applicable à tous les cas. En obseryant que p est le coefficient de x pris avec le signe dont fl est précédé dans Téquation [2], et que^ est le terme tout connu écrit dans le premier membre , la règle sera celle-ci :

Lorsqu'une équation du 2® degré est ramenée à la forme x'+px+q = 0, V inconnue est égale à la mX)itié du coejfficient.de ^ pria avec un signe contraire , plus ou moins fa racine carrée de la somme qu!on obtient en ajout{i^nt au carrelle cette moitié le terme tout connu , pris aussi opec un signe Contraire*

181 . Appliquons cette règle à quelques exemples. Exemple I. Soit Téquation ' '

n faut remarquer : 1"" qu'dle a déjà la forme prescrite dans la règle; 2** que le coefficient de j: est — 10, dont la moitié, avec un signe contraire , est +5; 3*^ que le terme tout connu est +9. Alors

la règle donne sur-le-champ ^«î,

«t les deux valeurs de jc sont

a: = 5+4=:9, et j:=5— .4=:1.

ExfiMTPLE II. Soit l'équation

On la ramènera d'abord à la forme x^+px-hq ^=0. Pour chasser

1(>^ LEÇONS D'ALÔAfiAfi.

les d^nomînateuw , oft multipliera tons les termes par ( en contintiant les calcnls , il viendra

3jr'+18 = 2JC+26, 3jc^—2x— 8=0,

x= I ±K|+.Vi,

^ = 3 il»

On a donc, ponr les valeurs de x^

or^— 6a;+9 =0,

Dans ce cas, les deux valeurs de a: se réduisent i, une s< Exemple IV. lOOxV- 100jc4-41 = 0.

% 1 4- i/n^ir

Les deux valeurs de x sont imaginaires à cause d |/— ^. Proûtant de la rémarque faite dans le n"* 157, j' la racine carrée de 7^ sans faire attention au signe remplacé ce radical par \\^ — 1.

'^'*-,s^omposition de Téquatlon du a» degré et de ses coefficients» — Discussion de:

' 182. On a décomposé, n*" 154, le premier membre d tion jc* — A = 0 en deux facteurs {x — V^) (x+ V h) : composition analogue peut s'opérer dans Féqualion gcnéi

[2] x'-^px-^q^O.

LEÇONS d'algèbre. Ifi3

Remplaçons x'^px par l'expression équivalente ( x + ; /; )'— - \ ^/ : on aara

et comme J/?* — q peut se changer en (k'jy/— //.^, on mettra en ^ évidence la différence dos carrés de Jr + ^y^ et de P^^// — q. Or, cette différence est égale au produit de la somme de ces deux quantités par leur différence ; donc

x^'^px^q ■^(^x^\p^y '-,p'^q){x^^\p^\/\f^q).

Telle (»t la décomposition que nous voulions faire connaître.-

Elle fournit un nouveau procédé pour résoudre Téquation [2]. En effet, elle montre que les valeurs de x doivent rendre nul le pn)tfvM 4BMb||I^. Or, ce produit devient nul en égalant à zéro rvdi ou rantre des facteurs , et en outre il est évident qu'il ne \^ saurait devenir nul si aucun des facteurs n'est zéro ; donc les valeurs de x, qui conviennent à Téquation [2], doivent se tirer des équations

lesquelles donnent les racii^ déjà connues (178),