De nouvelles pr^Rili?se présentent ici, qui recevront

plus tard une grande extension, et qu'il importe de remarquer

dès à présent

1" 11 est évident que les deux /acteurs du premier membre de

éjF£ia/<on x'' + px+q=:0 sont les différences qu'on obtient en

Tttranchant de x chacune des deux racines-, de sorte qu'en nom-

optent j/ et a/' ces racines, on a

a:^^px + q=: {x — x'){x — a/').

â» Si on effectue la multiplication (jc— x')(a:— a/'), on trouve

et, comme ce produit doit être identiquement égal à a:*+/?x+y, d s'ensuit qa'^n a

164 LEÇONS d'alGÂBRK.

Ces relations , qui peuTent d'ailleurs se vérifier immédiatement sur les valeurs [4], s'énoncent en ces termes : Dans toute équation du 2® degré , ramenée à la forme x%px4-q = 0, le coeffi^ cient p du second terme est égal à la somme des deux racines , prises avec des signes contraires , et' le terme tout connu q est égal au produit de ces racines.

Quand on sait que les deux racines d'une équation du 2^ degré sont réelles , les relations ci-dessus font connaître sur-le-champ la nature de ces racines. Par exemple , admettons que celles de l'équation j:*— 2 j:— 7=0 soient réelles: on conclura immédiatement qu'elles sont de signes différents , car leur produit est égal an . terme tout connu— 7; et , en outre, que la plus grande est positive , car leur somme est égale à + 2, coefficient de a: pris avec im signe contraire.

. 184. Maintenant discutons les racines de l'équatiM [SQ. I^;Ta<-

*^ leurs générales de ces racines sont •-'

[4] :r=-^lp±yif^q,

et l'on est assuré que le terme {^ est positif, quel que soit le signe dej».

$\ q est négatif dans réquatifl|flb^+/7^+^ = 0, la quantité

\]^-^q sera positive et '>\p^\ ^^^^^^ — ^ ^^^ ^'^^ quantité réelle et plus grande , en valeu^HHK , que {p; donc le terme — \py placé devant le radical , ne changera point les signes des deux valeurs de ce radical ; donc les deux valeurs de x seront de^ signes contraires entre elles. Il est d'ailleurs évident que la plus grande est de même signe que — \p^ et par conséquent de signa contraire à/>.

Si l'on a 3^ = 0, les deux valeurs de x sont jc = 0 et Jt'= — /?. Alors l'équation générale se réduit à j:"+/7^ = 0 oux(a:H-^) = 0 j et il est évident que ses racines sont en effet j: = 0 et j: = — p.

Si^ est positif et <Jf,p\ le radical Kj/?" — q sera encore réel, mais <Co/? ; donc les deux valeurs de x seront de même signe que le terme — \p placé devant le radical : c'est-à-dire qu'elles sont toutes deux positives quand/; est négatif, et toutes deux négative^ quand p est positif. <k

Si l'on a ^ = ;/?', les deux valeurs de x se réduisent à une

seule 5 a: = — ijw. Dans ce cas, puisque ^ =^ \p\ l'équation de* rient

Le premier membre est donc un carré, et alors on voit clairement ^e l'inconnue n'a en effet que la seule valeur x =—;/;: car aucune autre ne peut rendre ce carré égal à zéro.

Enfin, si q est positif et > 4/»', la quantité 4/7* — q placée sous te radical est négative , et les deux valeurs de x sont imaginaires. Changeons le signe de la quantité \p^— q^ et nommons r la racine carrée de ? — i/>*. On aura \p^ — <7 =— ^; donc (157)

donc le* valeim de x pourront s'écrire ainsi

ir

De jp* — 9 = — r^ on tire q = ip'+r\ et par suite Téquation générale devient

Le premier membre est alors la somme de deux carrés, et , sous cette forme , on reconnaît pourquoi les deux valeurs de x sont imaginaires : c'est qu'il n existe évidemment aucune valeur, soit positive , soit négative , qui , mise à la place de a:, puisse rendre nulle la somme de ces deux carrés.

Parlicalarilés à remarquer dans les équations Je la forme as* -}-&«-{- cmmo,