Pour résoudre l'équation ci^ 4 t > z
ax^^bx^c= 0, on la divise d'abord par a , afin de lui donner la forme ordinaire
|ob on tire , par la régie générale (180) ,
190. Cette conséquence se présente immédiatement lorsqu'on résout le problème proposé en prenant pour inconnue la différence des deux parties cherchées. Nommons z cette différence , a la plus grande parUe , 0^ la plus petite. Ckimme leur somme est /? , on aura (92)
et, d'après l'énoncé, on doit ayoir
ou, en effectuant la multiplication ,
Cette équation montre que la plus grande valeur du produit a lieu lorsque la différence z est nulle , ou , ce qui est la même chose, lorsque les deux parties sont égales entre elles. Pour troarer ^ et 2r, de l'équation ci-dessus on tire
= ±vf
et par conséquent on a
On devra prendre les signes supérieurs ensemble , ou bien les signes inférieurs ensemble : mais on n'a toujours q^ne seule solution , puisqu'on ne fait ainsi que changer Tordre des parties.
191. Problème m. Déterminer , sur la droite qui joint deuao lumières^ le point qui est également éclairé par chacune.
Je supposerai connu ce principe de physique , que les intensités d'une même lumière, pour des points qui en sont inégalement éloignés, sont entre elles en raison inverse des carrés de leurs distances à cette lumière : c'est-à-dire qu'à une distance, double, triple , etc., l'intensité de cette lumière sera 4 fois, 9 fois, etc., plus petite.
LEÇONS d'aLGÉBRK. 171
Je nommerai a rintcnsitc de la première lumière pour les points placés à l'unité de distance, et b l'intensité de la s|tonde pour les polo (s placés à la même dislance. GV^t par ces quantités que Ton compare les deux lumières entre elles, et Ton dit, pour cette raison, que /z et 6 en sont les intensités,
Soient A et B les deux Inmièrcs, et G le point cherché. Je
ferai AB = cî, AC = :?;, d'où BC = £? — x. D'après le principe dté, aax distances 2, 3, 4,.... l'intensité de la lumière A serait
-, -, 7^ ,.••; ^Oïic pour le point C, à la distance :r, elle est — ;• 4 9 lo X
Pareillement l'intensité de la lumière B, pour le même point G, 1 la distance d^x^ est j- — --t. Or, l'énoncé exige que ces deux iateiisités soient égales ; donc on a l'équation
Elle peut s'écrire ainsi
I et pour éviter d'introduire des radicaux dans le calcul, je mettrai «* au lieu du rapport de ^ à ^^ , ce qui vient à désigner par c la racine carrée de ce rapport. Alors Féquaiion à résoudre sera
m (^— x)*= ex\
On pourrait développer le carré de d—x , et miettré cette équation sous la forme x''-\-px-k-q = 0 ; mais on la ramème sur-le-champ au 1" degré en extrayant la racine carrée des deux membres. On frouve ainsi , en donnant à chaque racine le signe + . %
et, à cause de l'ambiguité des signes, cette équation équivaut aux quatre suivantes :
[c] -|-(^— j:) = + cjc, H-(rf— jr) = — cjc,
\d\ — (^— •^) = + ^j:^ , — [d^x) = — ex.
Ibis si on change tous les signes des deux dernières, on retombe
sar les deux premières ; par conséquent on se bornera à considérer les équafioil| [c],
; A ce sujet on peut remarquer d'une manière générale que toutes les fois qu^on extrait la racine carrée des deux membres d'une équation, il suffit de mettre le signe + devant Tun d'eux. Je résous donc les équations [c] , et j'en tire les deux valeurs '^'
Discussion. 1® Soit c<l. Comme c* représente le rapport — ,'!
cette hypothèse revient à supposer la lumière A plus intense queB. l^ Alors la première valeur de x est positive , <,d ef^^d. Donc il l,^ existe entre les deux lumières, et plus loin de A que de B, un point .„ C également éclairé par chacune. . '^
La seconde valeur de x est aussi positive , mais î> d. Elle déter- ' „ mine un point tel que C, au delà de B par rapport à A ; et il est fa* ^' cilede reconnaître qu'en ce point l'intensité de la lumière qui émane ; de A est la même que celle qui émane de B. En effet, on est certain ; que cette valeur de x satisfait à l'équation [a] ; donc , en la désignant par x\ on doit avoir
ou
égalité dont les deux membres sont précisément les intensités dont il s'agit.
2° Soit c >1 : c'est-à-dire que l'intensité de la lumière B surpasse celle de A. H est clair qu'on doit trouver pour le point B ce qui vient d'être dit du point A , et réciproquement. C'est ce que les valeurs de X conGrment.
La première , qui est positive et <1 â ^7 montre qu'il existe entre A et B un point également éclairé par chaque lumière, mais qu'il est plus rapproché de A que de B.
La seconde valeur de x est négative : désignons-la par — x'. Comme elle doit toujours satisfaire à l'équation [a\ , on a
Or, si de l'autre côté de A on prend AC"=jr', le premier membre -^e l'égalité ci-dessus exprimera l'intensité de la lumière que le
LRÇONS d'algébrk. 173
point C" reçoit de  , et le second membre , celle de la lamière qa'il reçoit de B -, donc le point C" est également éclairé par A et par B. Ainsi, conformément au n° 104, la valeur négative de x indique un simple changement de position dans la distance que cette lettre représente.
d"" Soit r=l, ce qui suppose deux lumières d'égale intensité. Les ieuiC yaleurs de jc deviennent
La seconde étant infinie, il n'existe plus, à proprement dire, qn'un seul point également éclairé : il est déterminé par la première valeur, et c'est le milieu même de la ligne A B.
Pour montrer comment la valeur infinie peut convenir à la question , remarquons que dans le cas actuel , où c = 1 , Féquation \h'\ peot s'écrire ainsi :
Alors on voit qu'en donnant à x une très-grande valeur, le premier membre différera très-peu de l'unité , et que cette différence peut être rendue aussi petite qu'on voudra en prenant x suflBsamment grand. C'est là le sens qu'on doit attacher à la valeur infinie , laquelle a d'ailleurs ici le signe ambigu ±. 192. Pour exercice , je proposerai encore les énoncés suivants : Problème IV. Deux ouyHers employés à des prix différents ont été payés au bout d'un certain temps. Le premier a reçu 96 Jr.^ et le second , qui avait travaillé 6 jours de moins, a reçu 54 yr. Si le second avait travaillé tous les jours , et que le pre-^ mier eut manqué 6 jours, ils auraient reçu tous deux la même somme : on demande combien de jours chacun a travaillé-^ et le prix de sa journée. Réponse : le 1*' a travaillé 24 jours et gagnait 4 fr. par j<)ur ; le 2^ a travaillé 18 jours et gagnait 3 fr.
Problème V. Un marchand fait escompter par un banquier
deux billets \ Vun de ibll fr, 90 c, payable dans 3 mois ^ et
J^ autre de 2605 fr., payable dans 7 mois. Il reçoit pour le tout
\la somme de 4050 ^r. ; on demande le taux de V intérêt d après
)Tt| lequel V escompte a été réglé. Réponse : le taHx annuel de l'intérêt lel A^it de 7 fr. 20 c. pour 100 fr.
174 LEÇONS d'algi^brb.
Problème. YI. Trouver deux nombres x et y tels que si on Im multiplie respectivement par des nombres donnés di et h y la sonirm des produits soit égale à un nombre connu p; et tels encore qw si on multiplie leurs carrés par les mêmes nombres a e/ b , /^ somme des nouveaux produits soit égale^ à un autre nombn connu q. Réponse :
ap±yab[{a-^b)q'-'p''] bpi;:y ab[[a^-U),f^^ "^"^ a(a+b) ' '^"" b^a-i-b)
N. B. Si , à cause des deux inconnues, le lecteur trouve quelque diffîcolti à résoudre ce problème , il peut remettre à s'en occuper après le n^ 194.
Équations à une seule inconnue qu'on résout comme celle du ae degré. — Exemples qui renferment plusieurs inconnues et qui dépendent du a« degré.
193. Lorsqu'une équation ne contient qae deux puissances di l'inconnue , dont Tune a un exposant double de celui de Tautre on peut la mettre sous la fornae
[1] \r*"»+/?j:«4-gr=0.
En considérant d'abord x"" comme l'inconnue, a?'»» en sera 1 carré, et l'équation se résoudra comme celles du 2* degré. On ; ainsi
Représentons d'une manière abrégée par a eib les deux valeui de .r"», on aura
x'^s^a et j:™=^;
et quand on saura résoudre ces équations, c'est-à-dire trouve toutes les valeurs de x qui satisfont à chacune d'elles , il est évi dent qu'on connaîtra toutes les solutions de Téquation [1].
Ces équations sont de la classe de celles qu'on nomme à deu. termes , et je remettrai à m'en occuper plus tard. Pour le momei je m'arrêterai au cas de w = 2. L'équation [1] est alors
en prenant x^ pour inconnue on en tire d'abord
LKço?is d\lgébrk. 175
et eusuiie , chacane de ces nouvelles éqoations donnant deax racines, réqualion [2] en admettra quatre , savoir :
Supposons, par exemple, qu^on ait l'équation particulière
On fera dans les formules précédentes /? = — 12, q= — 64 ; et elles donneront
x=± y^6+ J/36+6l= ± ^^6+k'lÔ0 = ±KÏ6'=±4,
Ainsi j l'équation dont il s'agit a quatre racines , deux réelles et deux imaginaires : x= ± 4, a:= ± 2 1^ — 1.
194. Les principes qui ont servi à résoudre les équations du l*' degré à plusieurs inconnues , Reçoivent aussi leur application dans le 2* degré.
Exemple I. Soient les équations
[3] jr+^ = flf, jf+y=b\
Pour les résoudre, de la 1'* on tire
(MOI substitue cette valeur dans la 2% laquelle devient successivement
2x'—2ax+a'=b\
X — tfj?= — - — .
Cette dernière donne deux valeurs pour :&, et en les portant dans l'expression y=^a — a: , on aura pour y deux valeurs correspondantes, n vient ainsi
x^\a±\VW'-a\
11 faut avoir bien soin de prendre les signes ^périeurs ensemble, et les signes inférieurs ensemble. Les deux solutions qu'où obtient
les mêmes, on est certain qne les valeurs déterminées par le second ne sont qu'une transformation de celles qu'on obtient par le premier. On expliquera toutàTheure (196) une méthode de calcul pour opérer les transformations de cette espèce , toutes les fois qu'elles sont possibles.
Exemple III. Soient les équations générales
dans lesquelles P, Q, P', Q', sont des fonctions quelconques de y. Par la soustraction , on en déduit celle-ci
(P— PO^+Q— Q'=0, d'où a: =
En mettant cette valeur de x dans l'une des équations [5] , dans la 1'*, par exemple , il vient
(0'-^)"-*- PCg-Q) (P— F) + Q(P— F)'=: 0 , ou , sous une autre forme ,
(Q'Q)t»+ (P— F) (PQ'-QP') = 0.
Cette équalion ne contient plus que la seule inconnue y^ et quand on saura la résoudre , elle fera connaître les valeurs de y. En les substituant dans l'expression de x écrite plus haut, on obtiendra les valeurs correspondantes de x,
195. Pour que l'analyse du 2® degré fiit complète , il faudrait considérer les cas où les inconnues sont en plus grand nombre que les équations. Le plus simple est celui d'une équation unique entre deux inconnues x et y. Si on la résout par rapport à une des inconnues, y^ par exemple , on trouvera , en général , une expression qui renfermera x sous un radical ; de telle sorte qu'en donnant à. cette inconnue x des valeurs rationnelles quelconques, on en trouverait , pour y^ qui seraient irrationnelles. On peut alors se proposer de rechercher les valeurs rationnelles de x pour lesquelles les valeurs correspondantes de y sont aussi rationnelles. Lîais la dilfi— cuUê de ce problème , à moins (ju'on ne le r.es(reij?iie à qiielci'vîes cafi fort simples, est supi'rioure à de simples èiéiueniS. Consultez Ifl Théorie des Nombres de Lkgendue.
LEÇONS d'algAbre. « 179
EUciiM carrée d'une quanlité en partie cominenturable et en partie incommenturable, ou bien eo
