partie réelle et en partie imaginaire

196. Nous nous fTOfOSCTOiï&A'dLhOTd d'extraire la racine carrée d'une quantité en partie commensurahle et en partie incommensurable.

Si on fait le carré de P^a+ V^b^ acib étant des qoailtités rationnelles, on trouve un résultat de la forme A+ i/\ dans lequel A et £ sont des quantités rationnelles. De là on conclut réciproquement que la racine carrée d'une expression de cette dernière forme peut aussi, dans certains cas, se ramener à la première; c'est cette transformation qu'il s'agit ^effectuer, lorsqu'elle est possible. Il faut donc considérer A et B conune des quantités rationnelles, (/S comme une quantité irrationnelle, et déterminer, pour a et 6, des yaleurs rationnelles telles qu'on ait

En développant le carré, il vient

a+b+l/îâb=A+l/B.

Sans le l*'^ membre, a-\-b doit être un nombre rationnel, et il n'y a que la partie l^iâb qui puisse être un nombre irrationnel : or je dis qu'on doit avoir séparément les deux égalités

Supposons qu'il en soit autrement, et isolons 1/Tab dans le 1' m^Dcibrc -, il viendra

Faisons A—a—b^zk afin d'abréger, puis élevons au carré. On aura

4a6 = A^ + B+2AklB, ou 4a6— A'»— B=2i|/5 :

*-| égalité absurde , car uniB quantité rationnelle n'est jamais égale à *l une quantité irrationrielle. L'alfturdité ne peut cesser qu'en posant c4 Jh=o, ou, ce qui est la même chose, a+^=A. Alors la dernière 1 4 ^té se réduit à 4(û^— B=0 ou 4ai=Bî et l'on est ainsi ramené Ajix équations [1 ] et [2] .

Si on élève la 1'' de ces équations au carré, et qu'on en retran la 2% le premier membre de Téqualion résaltante sera le carr<! a — h\ donc

Il est permis de supposer que a est la plus grande des deux qu tUés a j(^ ^ , et pour cette raison on prendra le radical KA"aycc le signe +.

Maintenant , on connaît donc par les équations [1] et [3 scNume et la différence des inconnuQS a et 6 ; par conséquent on a

û=iA+iKA^B, 6 = îA— :KÂ>-B.

La question exige que les valeurs de ^ et de A soient rationnel ér il est évident qu'il faut, pour que cette condition soit remp que A' — B soit égal à un carré C\ Alors il viendra

et par suite

Comme on suppose tacitement P^B positif, les radicaux ù membre doivent se prendre tous deux avec + , ou tous deux avec autrement, en élevant ce membre au carré, on ne reproduirait p terme +Kb, mais bien — l^B.

£ Cette explication môme prouve que si Ton avait K A— |/. faudrait prendre les deux radicaux avec des signes conlrairos en conséquence on écrirait

l/IZjTl^v/^./A:!:^.

Pour exemple, soit l'expression ri2^l/lÀÔ. On a A = B = 140, A^*— B = 4. Ce dernier nombre est un carré, et ïi C = 2 : on peut donc appliquer la formule [4] , et il vient

k'IiTk^ = V^ + \/iEi = j/7 + 1/5.

LEÇONS D'ALGÈËRE. 181

)il encore rcxprcssion k 1 — ^x\/i — x'. On aura A=l, 4jc' — 4j:*, KA' — J5 ou C = l— 2.r'. Puisque C est sansradiet que d'ailleurs le second radical de l'expression proposée a le c — , il y a lieu d'appliquer la formule [5] , et il vient

y^i-^IuVi — Jc^^ Vx — x^x.

X la même valeur de |/l — jc' qui entre dans les deux membres, outre, on doit observer qu'il faudra mettre le sifçne + devant le md , si on veut qu'il représente les deux vabîurs du premier. 97. Lorsque la quantité A' — B n'est pas un carré, les valeurs i et de ^ ne sont plus rationnelles ; mais il est clair qu'en les subuant dans \^a-\-]/b^ on n'en a pas moins une expression

livalente à k A-hP^B. w^eulement, comme elle est alors beauip plus compliquée, elle est plus rarement employée. Cepen-

at, quand \^\\ est imng^inaire, elle conduit à un résultat qui îritc de fixer l'attention. Changeons B en — B% A.+l^ devient f bJ/ — 1 ; et ce qu'il y a de remarquable , c'est que la racine carede A-+-Bj^ — î se ramène elle-ménie à une expression de la rmc a 4- bV^ — ï , dans laquelle ^ et ^ sont des quantités réelles , li peuvent d'ailleurs, ainsi que A et B, n'être pas rationnelles. Cette proposition devient évidente sur-le-champ en changeant en — B^ dans les calculs du n° précédent. Alors , au lieu de = ^/A'— B, on a C = Ka^+B^ ; donc ^ •*'

A+J/a^+B» , A— KA^+B'

Le radical p^A' + B^ étant > A , la valeur fle a est positive, et celle le 6 est négative. Représentons-les par a" et — (5% on aura

<i par suite

[6] V/A4-Bk'^=±(a + pk^).

le prends a et (3 tous deux avec +, ou tous deux avec —, parce le produit 2i^ doit être égal à B, qui est supposé positif. S'il y

J90 LEÇONS d'algèbre.

fcricurcs. Ces calcals se préscotent comme il suit ;

+ ax +a*

x^+2éLX*+ ax + ax^ + 2dx 4- cù

La loi générale des exposants est évidente, mais celle des coq^ ficients ne Test pas. A la vérité, on voit bien que ceux du premier terme et du dernier sont égaux à Funité , et que ceux du second et de l'avant-dcrnier soûl égaux à l'exposant du binôme; et môme, pour les termes intermédiaires., on recounaît bien encore que les coefficients également éloignés des extrêmes sont égaux, mais leur composition ne s'aperçoit point.

Ces coefficients proviennent des réductions qu'entraînent les termes semblables. Or, en multipliant entre eux des binômes tels que x-\^a^ x-\-b, jc4^c, etc. dont les seconds termes sont différents, ces réductions n'auraient plus lieu , et il peut se faire qu'alors la composition des termes du produit se manifeste.

21:5. Considérons donc les produits successifs de ofe binômes. Voici les trois premiers :

(X'i^a) {X'{-0)=:^x''-\'a\x +abj

{x+a){x+b){x + c) =:x^+a\x*-\'ab

+ ^ ' -{-ac + c + bc

+ ^ +ac

+ c ^ bc

-f (l •\-ad

+bd

-hcd

x+abcj

x^+ abc +abd -i-acd -{-bcd

x+abcd.

LKÇ0N9 d'aL«AbRE. 183

égaux. En effet si a et b^ par exemple ^ claieut inégaux, ou aurait , par le n"" eité ,

et par conséquent

Dans le second produit, la somme des facteurs est la même que< dans le premier, c'est-à-dire, égale à/?. Donc le produit abcd,.., n'est point un maximum , à moins que tons ses facteurs ne soient égaux entre eux.

200. Le procédé du u'' 189, par lequel on a reconnu le produit maximum des deux parties d'un nombre, est susceptible d'une assez grande extension. Supposons qu'une fonction soit composée d'une quantité indéterminée ^, combinée avec des quantités données, et qu'on demande la valeur de x pour laquelle la fonction est un maximum ou un minimum. On raisonnera d'abord comme s'il fallait rendre cette fonction égale à une quantité quelconque z : on aura ainsi une équation de laquelle on tirera la valeur de x , et alors on cherchera s'il existe quelque valeur de z au delà ou an deçà de laquelle les valeurs correspondantes de x deviennent imaginaires. Dans le premier cas, cette valeur de z est un maximum que l'expression proposée ne peut point dépasser ; dans le second , c'est un minimum.

Par exemple , soit la fraction

2x—2 il En l'égalant à z , et en tirant la valeur ie x^ on a successivement

ni]

x'— 2(z+l)xH-2z+2 = 0,

Oq voit sur-le-champ qu'en faisant z = + 1 , on a x = 2 , et que les nleors de z un peu moindres que 1 rendent x imaginaire ; donc ^^ Feipresdon proposiée a une valeur minimum , laquelle est égale à 1 et correspond à x = 2.

Pareillement , en faisant z =— 1, on a a: = 0; et une valent négative de z un peu plus petite que 1 rendrait x imaginaire. Or, en algèbre , des quantités négatives qui , abstraction faite du signe — , vont en diminuant, doivent être regardées, quand on n'en sépare point le signe, comme croissantes : on peut donc dire que les valeurs de z un peu plus grandes que — 1 rendent x imaginaire; donc z = — 1 est un maximum de Texpression proposée, lequel correspond à 07=0.

^' Le caractère essentiel d'un maximum n'est pas de surpasser toutes les autres valeurs , mais seulement celles qui le précèdent et qui le suivent immédiatement. Une observation analogue doit se faire sur le minimum. Je n'insisterai pas ici sur la détermination des maximums et des minimums : jusqu'à présent elle a toujours été comprise parmi les applications du calcul différentiel.

IVV«\VVVV%VVVV\'VVV'«VVVVV%VVVVV%VVV\A.'%«/VVVV«VV\VV«'VV\\V^/V'V'\\\'\/VV'\AV\«\V\V\VVV\V'M\%%«^