PUISSANCES ET RACINES EN GÉNÉRAL

Puissances et racines des monômes. — Exposants fractionnaires.

201 . Soit un produit/7(7r.. ., et ti un nombre positif quelconque : on a

{pqr,,.Y = pqr.,,Xpqr...Xpqr,..X etc.

=ppp,..X,qqq..,><: rrr,.,X etc.

donc on élevé un produit à une puissance en élei^ant chaque facteur à cette puissance.

S'il s'agit d'une quantité a"^ qui a déjà un exposant , on aura

(a"»)n = a™ Xût"* X^"* X ... = a"* +'"+'« + •••=:«'»" j

donc on élei>e à une puissance une quantité qui est déjà affectée d'un exposant, en multipliant cet exposant par le degré de la puissance.

* Si Ton veut élever à une puissance un mrmome quelconque, on peut le regarder comme un produit, et en conséquence élever tous les facteurs à celte puissance : or cela revient à élever U coeffi^ cient à cette puissance et à nmlii plier tous les exposaïUs par le degré de cette puissance^

Lorsqu'une quantité est positive , toutes ses puissances sont positives ; mais lorsqu'elle est négative , il est clair, d'après la règle des signes, qu'il y aura + devant la 2« puissance, — devant la 3% -H devant la 4% etc. Ainsi, en général, quel que soit le signe d'une quantité , les puissances paires do cette quantité ont le signe +, et les puissances impaires consentent le signe de cette quantité.

Au moyen des règles ci-dessus , on aurait

( ± 2aWc]'=^ 1 VHi''b'^c\ ( + 2a^b'c)'= ± 32a''b''c\

202. On peut renverser ces règles , et on obtiendra , pour r*extraction des racines , les règles suivantes :

1° On extrait la racine d un produit en extrayant la racine de chaque facteur,

2? On extrait la racine d'une quantité qui a un exposant en diifisant cet exposant par le degré ou l'indice de la racine,

3° Oji extrait la racine dun monôme quelconque en extrayant celle du coefficient , et en disfisant les exposants de chaque lettre par t indice de la racine.

4° Quand la racine à extraire est d'indice pair^ elle doit aifoir le signe ambigu i ; et quand elle est dindice impair^ elle a le même signe que la puissance.

Par ces règles on trouve

ly Si a''b''=z ± 3^^ b\ 1^320^'= 2a'b , iy—32a'b'' = '-2ab\

203. Quand le cocflicient d'un monôme n'est .point une puissance exacte de Tordre marqué par l'indice de la racine à extraire, ou que les exposants des différents facteurs ne sont point divisibles par cet indice, la racine du monôme s'indique d'abord au moyen du signe \/; puis on simplifie le radical , comme on l'a déjà fait pour le radical carré. l\ir exemple, soit vdi^a^^c". On observera que 96 = 2'x3,a'=a'Xrt%6"=:c"xc; donc

1^960^' = |^2WcS<li^ = 2aic" l^SÔV.

1S6 LEÇONS DALOÉBRB.

C'(.'St-à-dire que , pour simplifier un radical quelconque , on décompose la quantité sous le radical en deux facteurs , dont Vun ne renferme que des puissàTices exactes de même ordre que la racine à extraire, et dont Vautre n'en renferme aucune; puis

on extrait la racine du premier f acteur ^ et Von indique celle du second*

âO^. Aucune quantité réelle, soit positive, soit négative , quand on relève à une puissance paire, ne peut donner de résultat négatif; par conséquent, toute expression composée d'un radical de degré pair^ placé sur une quantité négatii^e , représente une quantité imaginaire.

Telles sont , en supposant que a ^ib soient des grandeurs positives par elles-mêmes.

Mais toutes ces quantités peuvent, de même que les radicaux carrés imaginaires (157) , se transformer en produits dans lesquels il n'entre d'autre imaginaire qu'une racine de — 1. Par exemple, il est clair qu'on a

205. De même qui latt division a conduit aux exposants négatifs, do même l'extraction des jacincs mène à l'emploi des exposants fractionnaires. D'après laYègle 2" du no 202 , si l'on veut extraire la racine 5*^ de a'°^ on doit diviser l'exposant par 5, et la racine cherchée est a*. Mais en se bornant à indiquer la division , on peut

écrire 1/ a' " :=a^.

Si l'exposant de a n'était point divisible par 5 , la racine ne pourrait plus s'extraire ; mais rien n'empêche d'indiquer encore la division de l'exposant , lequel aura alors pour dénominateur l'indice de la racine. Les algébristes ont en effet adopté cette convention , et en conséquence ils regardent comme équivalentes les deux

expressions ^ a»» et ^".

ArrangementSy permutations, combinaisons.

. 20G. Pour former une puissance quelconque d'un binôme, on sera conduit incidemment à résoudre une question qui exige quelques développements, et dont il est bon de connaître la solution d'avance.

LEÇO!HS d'a^gARRH. 187

Elle fait d'ailleurs pariîo d'une thôorio utile dans un ^and nombre de recherches, et surtout dans le oalcul des probabilités. Cette théorie, que je vais exposer ici, est celle àcs arraiigefuents ^ des permutations et des combinaisons, ^,/^^

207. arrangements. Plusieurs lettres, //, bj c, d^ e,... étani'données, imaginons qu'on les prenne deut à deux de toutes les manient; possibles, en sorte que choaque assemblage de deux lettres s^il (Tiiïérent des autres, ou par les lettres ((i!i le c(Hnposont, ou par l^^dre .dans lequel elles sont écrites : on aurait ainsi ce (faon nomme les 1 arrangements deux à deux des lettres données. On compr(»nd de même ce qu'on entend par arranç^i^mcnts trois à trois !^ quatre à quatre^ etc. Rien de plus simple que de comp(jscr ces différents arrangements et d'en déterminer le noml)re. J^<^ seul soin à prendre sera de suivre un ordre qui les fasse trouver tous sans en répéter aucun.

Pour avoir les arrangements 2 à 2 , il suffit de placer, à côté de . chaque lettre, alternativement cliacune des lettrcîs restantes. De cette manicro, on obtient des arrangements tels que

abj ac^ ady acj,,., ba, bcj bdj be^.,..

et en même temps on voit qu'en désignant par m le nombre des lettres a^b^c^.., et par Â, le nombre de leurs arrangements 2 à 2, on aura

On passera aux arrangements 3 à 3 en plaint, après chaque arnngement de deux lettres, alternativement chacune des lettres qui s'entrent pas dans cet arrangement. Il vient aqssi

abc, abd^ abe^,.., acb^ acd^ ace^^,,.

etc. ;

rt| en nonunant A, le nombre de tous ces arràn^ments 3 ' : , (ki '«

On s'élèverait semblablement aux arrange^ ..'!:. î '; 'r ri , pour

la connaître le nombre, ou aurait la for'-tul'

lesl

188 LEÇONS d'algèbrk.

Chaque fois qu'on s'élèvera à des arrangcmcnits qui auront une lettre de plus, il est clair qu'il s'introduira dans la formule un facteur de plus , lequel sera inférieur d'une unité au facteur placé avant lui. Dés lors on peut conclure avec certitude que Tcxpression générale du nombre des arrangements nhn devra renfermer n facteurs pris consécutivement dans la suite m^m — 1 , /w — 2 , etc. Le dernier facteur sera donc/» — (n — 1) ou m — » + i, et par conséqilp|t , en appelant A„ le nombre des arrangements de m lettres nhn^ on doit avoir ^

[1] »• An = /n{m — i){ni — 2).,..(w — /i + l).

En faisant n = 2, 3, 4, le dernier facteur m— w + l se réduit successivement à 7;i— 1 , m — 2, m — 3, et Ton retrouve les valeurs de A,, A3, A4.

208. Permutations, Après avoir placé plusieurs lettres les unes à côté des autres , si on change de toutes les manières possibles Tordre de ces lettres, on formera leurs permutations. Les permutations de n lettres ne sont donc autre chose que les arrangements de ces n lettres n à n, et par conséquent on peut calculer leur nombn» par la formule [1] en faisant m=^n. Si on représente par P„ le nombre jdes permutations de n lettres, on aura P„ = 7z(/i — \)[n — 2)...l, ou , en renversant l'ordre des facteurs,

On peut trouver cette formule directement comme il suit. Avec 2 lettres il n'y a que deux permutations. Celles de 3 lettres se formeront en plaçant alternativement, après chaque lettre, les permutations des deux autres, ce qui donnera 2.3 permutations. En continuant ce raisonnement, on voit que le nombre des perutations de 4 lettres est de 2.3.4, et qu'en général, pour n lettres, il serait 1.2.3.4....7Z.