Combinaisons. Lorsque parmi les arrangements n kn

'^onserve que ceux qui diffèrent entre eux par une ou plu-

''^s, ceux qu'on obtient ainsi sont désignés sous le nom

'.* ' ou de produits. Par exemple , les deux arran-

goi. ne forment qu'une seule combinaison ou

quun Sii

Parmi les a. v,i^ r, •' lettres n h iiy il est clair que cha-

que combinaison de n lettres doit se trouver répétée autant de fois qa'il y a de permutations possibles entre les n lettres de celte combinaison. Donc, eu divisant le nombre total des arran;^ements de m lettres n k n par celui des p(;rmutations de n lettres , on obtiendra le nombre des combinaisons de m lettres ii à n. Ainsi, ce dernier nombre étant désigné par C» , il sera donné par la formule

Si on veut avoir en particulier le nombre des combinaisons â à 2 , 3 à 3 , etc. , il faudra faire /^ == ^ , 3 , etc. ; et il viendra .

L'hypothèse /i = 1 donne Ci = w ; et en effet les combinaisons de m lettres une à une ne peuvent être que ces lettres ellesmêmes.

210. Le nombre dos combinaisons qu'on peut faire avec des lettres étant essentiellement entier, ii s'ensuit que la division indiquée dans la formule [3] doit s'eff(îcluer exactement. Donc un jfroduit den nombres entiers consécufif's est toujours illisible par le produit des n premiers nombres entiers.

Cinonic île !N'e\vt ,:« , dans le en*. i\o l>xporant entier posillF.

211. Tout binôme peut élre représenté par j:4-rt, et la question est de. trouver une formule générale au moyen de laquelle

OD paisse obtenir immédiatement une puissance quelconque de ^|p f+a sans passer par toutes les précédentes. La formule qui ïttant ce but est peut-(Mre la plus importante de l'analyse : on ^1 rappelle vulgairement binôme de Aewion^ du nom de son in- ^ Teatenr. Ir oim < \a %0^ t^ ,

I La première idée qui se présente est de faire les puissances suclossives A^x-\-a par voie de multiplication , et d'examinqr s'il est (ossible d'y apercevoir une loi qui permette de former immédiate- >e&t une puissance quelconque , sans passer par j^s puissances in-

On réduit cette formule à la règle suivante : Jpi^s aifoir formé

, ^ . m m— 1 m— 2 m--3 avec l exposant m les fractions -- , — - — , — — , — - — , etc. ,

prenez Vunité pour premier terme du déçfeloppement ; multipliez cette unité par la V^ fraction et aussi par z ; miiltipliez le résultat par la 2^ fraction et encore par z ; multipliez le nouveau ré" suitatparla Z" fraction et encore parz; et ainsi de suite. £Jnfin, ajoutez tous ces résultats' au premier terme 1, et vous aurez le dé~ veloppement de (l^-z)".

On verra plus tard que la formule [1] ne cesse point d*étre vraie quand l'exposant m est fractionnaire ou négatif. C'est surtout dans ces cas qu'il convient d'employer la règle ci-dessus, parce qu'elle a l'avantage de mettre en évidence la loi des coefficients numériques propres à chaque développement particulier.

Puissances des polynômes.

221. En considérant deux termes d'un trinôme comme n'en formant qu'un , on ramène au binôme les puissances de ce trinôme , et l'on en peut dire autant de tous les polynômes. Je vais montrer ici conunent on parvient par cette voie au terme général de la puissance

c'est-à-dire, au terme qui renferme les lettres ^, Z?, c,... à des exposants quelconques /?, n\ n'\... 0

Posons x=ib*\*C'\*d,,. ; la puissance ci-dessus sera égale à (a^xY^ et, d'après ce qui a été dit n° 216, la partie qui contient a"" dans le développement de (a+a?)"» peut s'écrire ainsi :

r , 1.2.3.4 mX^^J:^-**