Xl.2.3.../t'Xl.2.3...ii"x

n, n\ n!\,.. étant tels nombres entiers positifs qu'on voudra, pourvu que leur somme soit égale à m. De sorte qu'on obtiendrait tous les termes du développement dont il s'agit en dopnant , dans cette formule, à n, n', »",... toutes les valeurs entières et positives pi satisfont à la condition

Remarque, Quand on fait un de ces nombres égal à zéro, V prend une forme illusoire. Par exemple, soit 7i=0, la suite 1.2.3.. .n placée au dénominateur ne peut plus avoir de sens : car en pre nant des facteurs croissants à partir de 1 , on ne peut pas rencontrer le facteur zéro. Pour lever cette difficulté , remontons au terme général [a\ du développement de {a-^-xy^^ et remarquons que l'hy-

pothèsftù/i = 0 le réduit à . . . , . Mais , d'un autre côté , l'bypo-

thèse n = 0 devrait donner, dans* ce développement, le terme qxii ne contient point ^, et ce terme est jc* j donc, pour que ce terme puisse se déduire de la formule [a] , il suffit de considérer la suite 1.2. 3. ..71 comme équivalente à 1 dans le cas particulier de 7z=0. La môme observation doit s'étendre aux autres suites de facteurs contenues dans le dénominateur de V; et alors V donnera, sans aucune exception , tous les termes de la puissance du polynôme Û+6+C4- etc.

Racines quelconques des nombres et des polynômes.

222. Supposons, par exemple, qu'on ait à extraire la racine cinquième d'un nombre.

On formera d'abord le tableau des puissances cinquièmes des neuf premiers nombres, et l'on s'en servira pour obtenir, à une unité près , la racine des nombres moindres que 10', c'est-à-dire qui n'ont pas plus de cinq chiffres.

Quand un nombre a plus de cinq chiffres, sa racine cinquième en aura plus d'un, et on peut la décomposer en deux parties a-hb,a étant les dizaines et b les unités. Alors on examinera comment se compose la puissance 5' de a -f 6 ; mais, comme on ne se servira que des deux termes qui renferment les plus hautes puissances de ^^ , on posera seulement '^

{a+bf=:a'+5a^b^ etc.

Ces raisonnements et ceux qui restent encore à faire sont tellement semblables à ceux qu'on fait pour trouver la racine cubique, que je crois inutile de m'y arrêter davantage.

223. Quand le degré de la racine est un nombre composé de plusieurs facteurs, elle peut s'extraire au moyen de racines successives dont les degrés sont ces divers facteurs. En effet , d'après la 2* règle dun''202,ona

l/a/^p = a^p^ [/a'P = ap^ \/aP = a .

Or, si on voulait extraire de rt""»/» la racine de l'ordre mnp^ cette racine serait évidemment a : c'est-à-dire la môme qu'on trouve en extrayant d'abord la racine m , puis la racine n , puis encore la racine p.

On pourra donc obtenir la racine 4* au moyen de deux racines

carrées, la racine 8* au moyen de trois, la racine 16« au moyen deqnatre, et ainsi de suite : c'est-à-dire que toute racine dont le deg^ré est une puissance de 2 peut s'extraire par des racines carrées successives. Au reste, quand on a besoin d'extraire des racines de degré élevé , il est toujours plus commode de faire ces opérations par logarithmes.

224. Passons aux polynômes. La question à résoudre est celle-ci : On suppose qu'un polynôme donné P est la puissance m (TunpO" lynome inconnu p , et il s'agit de retrouver p.

Considérons les deux polynômes comme ordonnés selon les exposants décroissants d'une même lettre x^ et nommons a, 6, c,... les termes inconnus de la racine p : ils devront être tels qu'en élevant a+fr+c... à la puissance m, on retrouve tous les termes qai composent P. Or, si on imagine qu'on effectue cette puissance par multiplications successives, il est clair que, dans le résultat, le terme où x aura le plus haut exposant sera la puissance m de ^ ; donc on connaîtra le 1«^ terme de la racine cherchée p en eX" trayant la racine m*"'* du l®*" terme du polynôme donné P.

Le l*"^ terme de la racine étant trouvé, il sera facile d'obtenir le 2"; mais je préfère montrer tout d'abord comment , lorsqu'on connaît plusieurs termes successifs de la racine à partir du 1'^'' , on peut déterminer le terme qui vient immédiatement après.

Soit u la somme des termes connus, et v celle des termes inconnus , on doit avoir P = (a-f j')'", ou , en développant ,

P = a» + mu"» - » t' 4- ku'^-^v'^ + Uw^—^if^ -f- etc.

Je n'ai point mis en évidence la composition des coefficients k^V^.. parce que cela serait inutile, ainsi qu'on va le voir. De cette égalité , ontbre

P — u"^ = mu"»-'^' + hv^-^v"^ + ku^^-^v"^ + etc.

D'une part , le 1er membre P — w» est une quantité qu'on peut calcnler, en formant la puissance m de la quantité connue u et en la retranchant du polynôme P. D'autre part, le second membre est une somme de produits au moyen desquels on peut facilement assigner la composition du 1" terme du reste P — W", et par suite découvrir le l*' terme de la partie inconnue f^.

D'abord, si on développe u"»-' , il est clair, d'après les seules règles de la multiplication , que le premier terme du développement,

âOâ LEÇONS d'algèbre.

c'est-à-dire celui qui renferme x au plus haut exposant , sera a^—^ ; 4onc, si on nomme y le 1"^^ terme de (^, le 1^^ terme du produit mur^—^v sera ma^—'f. Par mi raisonnement semblable, on voit que les premiers termes, dans les développements des autres produits ^ seront respectivement kar'-'\f'^ Â:'a'"~y*5,...Ces termes, abstraction faite des coefficients qui n'ont aucune influence sur le degré de j: , peuvent se déduire du terme ma""— 'feu y supprimant un ou plusieurs facteurs égaux à ^ , et en les remplaçant par autant de facteurs égaux à f. Or, f étant en x d'un degré inférieur à a, ces cbangements ne peuvent donner que des termes de degré inférieur à ma^-\f. Donc, après avoir soustrait du polynôme donné P la puissance m de la partie u trouvée à la racine, le l^'' terme du reste est égal au produit de m fois la puissance m — 1 du 1^^ terme a de la racine par le premier terme de ceux qui restent encore à trouver. Donc enfin, en divisant le 1^*^ terme du reste par m fois la puissance m—i du 1^' terme de la racine , on connaîtra un nouveau terme de cette racine.

Cette conclusion donne le moyen de découvrir successivement tous les termes de la racine une fois que le l^"" est connu. Pour avoir le 2® terme b, on retranche du polynôme donné P la puissance m du 1«^ terme a de la racine , puis on divise le l®*" terme du reste par ma™—' 5 pour avoir le 3* terme c de la racine , on retranche de P la puissance m de a+b, puis on divise le 1®*" terme du nouveau reste par ma™""' ; ainsi de suite.

225. Ce procédé fera toujours connaître si le polynôme donné est ou n'est pas une puissance exacte du degré m. En effet, pour peu qu'on fasse attention aux réductions qui doivent s'opérer en formant les restes successifs, on voit que le l®'^ terme de chaque reste contient la lettre a:, d'après laquelle on a ordonné, à un exposant, moindre que le l^** terme du reste précédent ; donc on finira ou par trouver un reste nul , auquel cas le polynôme donné est la puissance m de la quantité écrite à la racine, ou par trouver un reste dont le 1^' terme ne sera plus divisible par m fois la puissance m — i du \^^ terme de la racine, et alors on sera certain que le polynôme donné n'est pas une puissance exacte de degré m.

On peut aussi remarquer que si le polynôme donné est une puissance de degré m, la racine m^"""" de son dernier terme doit être 1 dernier terme de la racine de ce polynôme. Donc, si le calcul conduit à placer à la racine on terme dedegiré moindre, on sera enoore

aflRiré qae le polynôme n'est pas une puissance exacte de Tordre m, 226. Au lieu d'ordonner de façon que les exposants d'une lettre x uÂeai décroissants, on peut ordonner en sens contraire; et il est clair que les raisonnements qui font trouver la racine (224) subsisteront en entier. Alors , dans le premier terme des restes successifs , l'exposant de jc va en augmentant , et par conséquent il ne sera jamais un obstacle à ce qu'on puisse effectuer les divisions qui doivent donner les termes de la racine. Mais comme la racine du dernier terme du polynôme donné doit toujours être le dernier terme de la rsrdne cherchée, il s'ensuit que le calcul ne peut amener à la racine on terme de degré supérieur que dans le cas où le polynôme donné n'est pas une puissance exacte.

n serait superflu de parler des cas où la lettre x , d'après laquelle on ordonne, se trouve au même exposant dans plusieurs termes. Ce qui a été dit à ce sujet , en traitant de la division ou de la racine cariée, doit se répéter ici littéralement.

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