CHAPITRE XL

CALCUL DBS BADICAUX ET DES EXPOSANTS FRACTIONNAI AES.

Calcul dei radicaux arithmétiquet.

227. Dans les c(»nmcncements de l'algèbre, on ne considérait que des grandeurs positives, et alors non-sculcmcnt les quantités ioos les radicaux étaient positives , mais les valeurs des radicaux étaient elles-mêmes regardées comme telles. Plus tard , lorsque les quantités négatives furent introduites dans le calcul , on remarqua qu'un radical de degré pair deviiit être précédé du signe ± ; et plus tard encore , après de nouveaux progrès , quand on y admit les

quantités imaginaires, on reconnut que les radicaux pouvaient aussi avoir des déterminations de cette espèce.

Sous Facception restreinte dont j'ai parlé d'abord, c'est-à-dire lorsque les radicaux ont des valeurs positives et qu'on rejette toutes les autres, ils seront très-bien désignés par la dénomination de radicaux arithmétiques; et , quand on leur donne toute l'extension , que permet l'emploi des signes de l'algèbre, par celle de radicaux algébriques.

Je vais exposer ici les règles de calcul relatives aux premiers : l'ordre à suivre sera le même que pour les radicaux carrés. ^ *

228. On a déjà dit (201) qu'on élève un produit à une puissance en y élevant tous ses facteurs, et que par conséquent on en extrait la racine en extrayant celle de chaque facteur ; donc

{/a'^b = a yH ;

donc, s^il y a sous le radical ufie puissance de même degré que le radical, on peut mettre la racine de cette puissance en facteur hors du radical \ et , réciproquement y un facteur placé devant un radical peut passer sous ce radical, en rélevant à la puissance marquée par V indice,

229. Lorsque plusieurs radicaux de degrés différents sont joints entre eux par les signes 4- et — , conune dans l'expression.

^aVo'b + b V^db" — a^\^2ab , ils ne donnent lieu à aucune réduction, mais il en est autrement lorsqu'ils ont le même indice, et. qu'en les simplifiant il reste la même quantité sous chacun d'eux. Par exemple, soit

si on simplifie les radicaux , il vient

Maintenant tous les radicaux sont semblables , c'est-à-dire qu'ils n^ diffèrent que par les facteurs placés en dehors; dès lors on peut le^ réduire à un seul , et écrire

LEÇONS d'aloëbrb. 205

m M ai

230. Soit le produit )/a\/b\/c. En relevant à la puissance m on trouve abc \ donc il est égal à la racine m**^ de abc , donc

M n ni m

Ainsi, on multiplie entre eux plusieurs radicaux de même degré m formant le produit des quantités placées sous les radicaux^ et en affectant ce produit du radical commun.