On élève une fraction à une puissance en y élevant son

numérateur et son dénominateur. Donc, si on divise k^ par 1^, la puissance m du quotient sera j ; donc

va •

donc on dit^ise Vun par Vautre deux radicaux de même indice en divisant tune par Vautre les quantités placées sous les radicaux, et en affectant le quotient du radical commun.

232. Considérons maintenant les puissances des radicaux. D'abord , par la règle de la multiplication (230) , il est clair qu'en pre-

nant n facteurs égaux à i^a , on a

m m m m "i ^ Rt

(k^" = va ]/^ l^.. . = V^aaa . . . = va^ ;

donc on élevé un radical à une puissance en élevant à cette puis" sance la quantité placée sous le radical.

On élève encore un radical à une puissance en divisant , quand cela est possible , Vindice du radical par V exposant de la puis^ «a/ice. Ainsi,

mn m.

mn

En effet , VZ est une quantité mn fois facteur dans a : on peut donc partager a en m groupes, chacun composé de n facteurs

mn «M»

égaux à Va. Or chaque groupe équivaut à (ka)" ; donc cette

dernière quantité est m fois facteur dans a ; donc enfin

mn m

Si l'exposant de la puissance , saùs être un diviseur de l'indice, a seulement avec lui un facteur commun, on pourra faire concourir les deux règles à la formation de la puissance. Par

mn I

exemple, soit (l/]â)«p. On remarquera qu'on peut faire la puissance np d'une quantité en élevant d'abord cette quantité à la puissance ti, et le résultat à la puissance j9. Or, d'après la seconde

ma m mm

règle, (y^y = |/S; et, d'après la première, \/^p = \/^'^ donc

mn m

(|/^ "/» = y OP.

233. Pour extraire une racine d'un radical , il n'y a qu'à ren-

verser les règles ci-dcsSus. D'abord on a

Ksra . D

car en élevant l^ à la puissance n , on retrouve l^a\ Donc on extrait la racine d'un radical en extrayant celle de la quantité qui est sous le radical.

Lors même que la quantité sous le radical n'est pas une puissance de même ordre que la racine à extraire , on peut encore appliquer cette règle, mais alors l%racine à extraire ne sera qu'indiquée. Par

exemple , on écrira

mn m

En second lieu , puisqu'on a (J/^)«= Va , on doit avoir aussi

\Vâ-.

mn

donc on peut extraire une racine d'un radical en multipliant C indice du radical par le degré de la racine à extraire.

Cette manière de prendre la racine d'un radical est la plus usitée. D'ailleurs , chacune des deux règles montre également que l'ordre dans leqpielon extrait deux racines successives est tout à fait indiflfê-

rent ; et il est dair que cette conclasion s'étend à un nombre quelconcpie de racines successives.

234. La multiplication et la division des radicaux de même indice, réduit ces radicaux à un seul. Il en sera donc de même pour des radicaux quelconques si on les ramène préalablement au même indice, et c'est ce qui est facile. Remarquons, d'un côté, qu'on élève un radical à une puissance en élevant h cette puissance la quantité placée sous le radical (232) ; et , d'un autre côté, qu'on extrait une racine d'un radical en multipliant Tindice du radical par celui de la racine qu on veut extraire (233). De là il suit que la pon UurcPun radical ne change point 91 on multiplie son indice par un nombre^ et qu'en même temps on éleife à la puissance marquée farce nombre la quantité placée sous le radical.

Cette remarque montre que plusieurs radicaux peuvent se ramener à un indice commun par les mêmes règles qui servent à réduire des fractions au même dénominateur. Ici les indices des radicaux remplacent les dénominatc^^'s des fractions.

Par exemple, soit le produit

p = J/^Z;' X Va^b' X Va'o.

Comme chaque indice est premier avec les deux autres , le plus petit nombre divisible par chacun d'eux est le produit 3x4x5 = 60 , et ce sera l'indice auquel je ramènerai les radicaux.

En divisant 60 par les trois indices, on obtient les quotients 20, 15, i2 : c'est par ces nombres qu'on doit [multiplier respectivement les indices des trois radicaux , en même temps qu'on élèvera les quantités placées sous les radicaux aux puissances marquées par ces nombres. De cette manière il vient

p = |/^^'xK?V'X^^PV^;

puis, en effectuant la multiplication et simpliGant,

Soit encore le produit ^

Q = y^IiH^' X yUSu'b X K64^^

Ici le plus petit nombre divisible par chaque indice est 24. ObserYOl»

908 UQOIO D*AL(G;iBII.

en oatre qae les Ikcteurs numériques sons les radicanx sont puissances de 2, savoir : 32=2", 128= 2^, 64s9^. En rédi les trois radicaux à l'indice 24 , on aura

ICaIcdI des ttip^iiatfs fraeHonnaim.

irti ip. k^;!

235. Puisque les exposants fractionnaires ne font que des radeaux (205) , c'est du calcul des radicaux qu'on doit tirer lei règles du calcul de ces exposants. H est inutile d'avertir quliHael sera encore question ici que de radicaux arithmétiques. £

En parcourant les différents cas que peuv^t présenter la mulâr'^7 plication et l'élévaïion aux puissances , il vient

p q m n ail pn-^qm

a"» X <ï" = [^opI^ = [/aP^Tr^ = a "»* .

p m m , pq

/ pv y — ::r~ ""* ^

ya"" p = V Q^apy=: ]/api = a'»».

Tous ces résultats sont remarquables en ce qu'i/5 sont prçflsément les mêmes que si Von eut appliqué immédiatement aux exposants fractionnaires les règles établies pour les exposants entiers.

Cette analogie entre les deux sortes d'exposants a lieu encore dans ^ la division et dans rextraclioD des racines. En effet , dans ces opé- ^ rations les règles des exposants se déduisent de celles de la multiplication et de rélévation aux puissances; donc elles doivent, comme dans la multiplication et rélévation aux puissances, rester les mêmes pour les exposants fractionnaires que pour lc3 exposants entiers.

Par-là il devient évident que la division peut donner naissance à des exposants fractionnaires négatifs \ par conséquent la conven-

tk>n da n'' 58 s'étendra aussi à ces derniers, c'est-à-dire qoe/?,

étant entier ou fractionnaire , l'expression a-p est toujours équiva-

lente à —. De là il suit que, pour les exposants négatifs fractionnaires, les règles seront absolument les mêmes que pour les exposants négatifs entiers ; et comme, pour ceux-ci , on a vu qu'elles étaient les mêmes que pour les exposants positifs, on conclut que. tous les exposants, entiers ou i'ractionnaircs, positifs ou négatifs, entrent d'après les mêmes règles dans les diverses opérations de l'algèbre.

A la yérité, on n'a considéré (60, 61) les exposants entiers négatifs que dans la multiplication et la division , et non pas dans les élévations aux puissances ; mais la conclusion ci-dessus n'en est pas moins vraie. En effet , m et /t étant des nombres quelconques , entiers ou fractionnaires, il est facile de voir qu'on a

Va»»/ ut'"»

Cesrésultats montrent qu'on doit toujours, comme pour les exposants positifs, multiplier l'exposant de a par celui de la puissance. 236. En gé" éral, toute notation bien choisie doit être la représentation exacte de l'opération dont elle tire son origine ; et cette condition est si fidèlement remplie par les différentes sortes d'exposants, qu'il est toujours facile de transformer une expression, dans laquelle elles se trouvent , en une autre qui ne renferme que des exposants positifs et des radicaux. Pour qu'il ne puisse rester aucun doute à cet égard , j'effectuerai cette transformation sur la formule

X'</7sr

Ne considérons ponr un moment que la quantité placée entre

âlO LEçoirs d'algêbrb.

parenthèses, et posons

A Ganse du sens attaché au signe |/ , on doit avoir

à cause des exposants négatifs , cette égalité se change en celle-ci

— = — , d OU c" = ^y ;

S" al

et cette dernière, à cause des exposants fractionnaires, équiv à celle-ci

Or, en élevant les deux membres à la puissance n, il vient puis , en extrayant la racine m de chacun ,

mq

Z = l^aP"" :

donc enCn la formule proposée deviendra

ijr mq mq

237. On pourrait demander si les règles du calcul des exposa s'appliquent aussi aux exposants incommensurables ou imaginai]

Relativement aux exposants incommensurables , je ferai rem quer qu'ils n'ont absolument aucun sens par eux-mêmes , et q pour leur en donner un , il faut concevoir par la pensée qu'on remplace par des exposants commensurables qui en approct de plus en plus. De là il suit qu une formule dans laqueU entre des exposants incommensurables doit'élrc considérée con

lëçopis d'algAbre. Sll

représcnlant la limite vers laquelle tendent les yalcurs qu'on en déduit, en y remplaçant ces exposants par des nombres commensurables qui peuvent différer de ces exposants aussi peu qu'on voudra; et de cette manière, on comprend que l'expression pro* posée représentera exactement la même limite, après qu'on y aura exécuté, sur les exposants incommensurables qu'elle contient, les mêmes opérations que s'ils étaient commensurables.

Par exemple, m et n étant incommensurables, on doit toujours avoir

En effet, si on met au lieu de /n et n des nombres commensurables m et n\ m" et n'\,., qui approchent indéfiniment de m et de n, on

aura

Les premiers membres de ces égalités tendent donc vers la même limite que les seconds. Or, a'"Xa" représente la limite des uns, et a»'+« 'celle des autres; donca'«Xa"=^"*+".

Relativement aux exposants imaginaires, nous observerons d*ane manière générale qu'en iatroduisant des quantités imaginaires dand lescalculs, une convention tacite subsiste toujours : c'est de regarder comme équivalentes les expressions dans lesquelles on remplace cer'taJDes lettres, a^ b^ etc., par des quantités imaginaires, toutes les fois qu'il est démontré que ces expressions sont égales en y mettant pour ces lettres des valeurs réelles.

S'il s'agit, par exemple, de «'"X^", cette expression n'ayant abso- Imnent aucun sens lorsque m et n sont imaginaires, il est clair que, sans une convention expresse ou tacite, on ne pourrait point la regarder comme équivalente à a"»+'îi.

DE

Sur los valeurs multiples des radicaux algébriques.

1.238. Les radicaux n'ont encore été considérés que cooMne représentant des valeurs essentiellement réelles et positives ; maintenant je vais leur rendre toute leur généralité, c'est-à-dire que je les re- *'^4W'^crai comme désignant indistinctement toutes les valeurs qui coproduisent la quantité placée s^us le radical, quand^on les élève à h puissance marquée par l'indice de ce radical. Par-là nous sommes

Siâ LEÇONS d'algèbre.

ramenés à la distinction déjà établie ailleurs (158) entre les déter^

minations arithmétiques et les déterminations algébriques. Chaque radical n'en admet qu'une seule de la première espèce; et encore, pour cela , faut-il que la quantité soumise au radical soit réelle et positive. Quelques développements sur ce point ne seront pas inutiles.

239. Prenons un radical quelconque Ka, et supposons A successivement positif, négatif, imaginaire.

Lorsqiie A est positif, on sait trouveq|M:actement ou avec ap« proximation, par les méthodes connues^une quantité positive a dont la m'""^ puissance reproduit A. Or, toute autre quantité posi^ tive, élevée à cette puissance , donnerait évidemment un résultat >A ou <A; donc la valeur a est une détermination arithmétique du radical, et c'est la seule de cette espèce qu'il puisse avoir.

Lorsque A est négatif, on remarquera qu'il n'existe pas de grandeur positive dont les puissances soient négatives ; donc alors le radical ne peut avoir que des déterminations algébriques.

Enfin, lorsque A est imaginaire, comme il est évident que les puissances d'une grandeur réelle, positive ou négative, sont elles-mêmes des grandeurs réelles, il s'ensuit que toutes les déterminations du radical sont algébriques, et même imaginaires.

240. On peut encore considérer séparément le cas où l'indice m est pair et celui où il est impair.

Dans le premier cas, toutes les valeurs du radical sont deux à deux égales et de signes contraires. En effet, si a est Tune d'elles, de telle sorte que Ion ait a'"=A, il est clair qu'on aura aussi, attendu que m est un nombre pair, {—a)"^ = a"» = A , c'est-à-dire que — a est aussi une valeur du radical. On peut donc alors représenter toutes les valeurs du radical par une suite de quantités aCTectées du signe + , telles que ±a, ±b^ ± c, . . . En même temps que m est pair, si A est positif, le radical a une valeur réelle et positive; et en supposant que ce soit ^, on voit que — a est aussi une valeur réelle, mais négative, du radical. Quant aux autres valeurs +6, ±c,... elles ne peuvent être qu'imaginaires.

Dans le cas où l'indice m est impair, en changeant le signe de la quantité A placée sous le radical, les m valeurs de ce radical ne feront

que changer de signe. En effet, si ^z est une valeur de Ka, il est clair que, m étant impair, on doit avoir (— /z)«=:--a^=— A. Ainsi, en

sûj^posant que les valeurs de k A soient a^ ft, c, rf,..., ceDes de

y — A seront — a^ — 6, — c^ — rf,.... Si A est une quantité réelle, Fune des m valeurs du radical est réelle et de même signe que A : c'est-à-dire qu'elle est positive loirsque A est positif, et négative lorsque A est négatif. Les autres valeurs sont essentiellement imaginaires.

241. Jusqu'ici j'ai parlé des valeurs multiples des radicaux, sans en préciser le nombre. Il est temps à présent de porter l'attention sur la proposition suivante : H^

Un radical quelcouQue a autant de (valeurs différentes , ni plus ni moins, quHly a d* unités dans V indice de ce radical^ ou en d'autres termes^ toute quantité a autant de racines et un certain degré quHl y a d! unités dans Vindice de ce degré.

Cette proposition est déjà connue pour les radicaux carrés; con-

âdérons aussi le radical cubique Ka. Toute quantité qui a A pour

cube, est par cela même une valeur de V^\ donc les valeurs de ce radical sont précisément les mêmes que les valeurs de x qui satisfont à l'équation ^

J7'=A ou x^ — A=0.

Pour mieux flxer les idées, supposons A positif. Alors il existe une (piantité positive dont le cube est A, et que l'on sait calculer exactement ou avec approximation. Désignons cette quantité par ^, et remplaçons A par a' : l'équation x'— A = 0 deviendra

Le binôme x^ — c^ est divisible par x-^a (53) , et l'on a

x^ — a'= (jc — a) (x'+aj:4'âi*).

Or, pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit qu'un de ses facteoms le soit; donc on aura toutes les solutions de l'équation jtr^'— a'=0 en posant successivement

X — a = 0 et a?'4'ûtj:+a"=0, et en tirant de là les valeurs de x. On obtient ainsi

xz=a, j;=:a^ r Ji

fil4 LEÇONS d'algèbre.

et par conséquent telles sont les trois racines cubiques de a* ou. A. On iretrouve la valeur a, et Ton devait s'y attendre : car elle était, par hypothèse, une racine cubique de A. Mais on voit qu'outre celle-là il en existe deux autres , que l'analyse précédente fait -connaître. Et remarquez bien que cette analyse subsiste quelle que

puisse être la quantité A, pourvu que a désigne une valeur de ^''A^ floit réelle , soit imaginaire.

La proposition peut facilement s'étendre à tous les radicaux dont lindice jg^ une puissance de 2 ou 3, ou un nombre composé des fac-

teur^'^S^g^. Par exemple, supposons qu'on ait le radical ^'X^ dont l'indice 12 = 2X2X3.

La quantité A aura deux racines carrées ; chacune d'elles aura aussi deux racines carrées, ce qui fera quatre quantités différentes ; enGn chacune de ces quantités aura trois racines cubiques , ce qui fera en tout douze quantités différentes ; et je dis que chacune d'elles

la

est une valeur de |/A. Soit a une des deux racines carrées de A, a! une des deux racines carrées de a^ et d' une des trois racines cubiques de al. Il est clair que d^ sera une des douze quantités dont il s'agit. Or, il est clair aussi qu'on aura

^m ^ ji -fie ^f* ^ //«» a A .

U =^, a :=:Cl =Clj CL = â( = A ;

la

donc d' est une valeur de Ka.

Quel que soit le radical Ka , que l'on considère, la détermination de ses différentes valeurs revient toujours à la résolution d'une équation. En effet, ce radical désigne indifféremment toutes les quantités réelles ou imaginaires qui, élevées à la puissance m , reproduisent A ; par conséquent elles ne sont autres que les valeurs de x qui satisfont à l'équation j:"» = A.

Par-là on voit que la proposition générale qui fait l'objet de ce n** revient à prouver que dans cette équation l'inconnue j: a w valeurs différentes. Je ne saurais entreprendre ici cette démonstration; mais j*y reviendrai ailleurs, et j'admettrai dès à présent comme établi que tout radical a autant de valeurs différentes, soit réelles , soit ima- • ginaires , qu'il y a d'unités dans l'indice du radical.