En désignant par a une valeur de Ka , on a trouvé plus

LEÇONS o'ALCiBRB. 215

haut pour les trois valcars de ce radical,

a, ay ^ ;, a^ . ).

Soit A=:l : on pourra prendre â = l, et par conséquent les

trois valeurs de Kî seront

Si on les compare avec celles de ^^ , on aura cette conséquence remarquable : que les trois racines cubiques d'une quantité s'obtiennent en multipliant l'une quelconque d'entre elles par les trois racines cubiques de l^ unité.

Je vais prouver que cette propriété s'étend aux radicaux de tous les ordre. Représentons par ^ine valeur du radical quelconque

yi^ et par {^ a, p, y,.... les m valeurs de KT; si on forme les produits

/zXl, aXoLj axpî ^Xy,.--

et si on les élève à la puissance m , il vient.

Or, ces quantités sont toutes égales à A , car on a évidemment

û'"= A, a"*=l, j6,„=:l,... ; donc les produits a, aa, ^p, ay,... sont

les /» valeurs de I^A. Ainsi on peut dire en général que dans chaque ordre , les racines d'une quantité quelconque se forment en multipliant l'une déciles par les racines de V unité,

243. Ce qu'on dit ici des racines d'une quantité quelconque peut s'appliquer à celles de l'unité, et alors on a cette propriété curieuse '. que les diverses racines de l'unité ne font que se reprgdnire dans un ordre différent, quand on multiplie successivement chacune d'elles par toutes ces racines. J'engage le lecteur à en faire la vériûcation sur les racines cubiques dont les valeurs sont cidessus. Il reconnaîtra en môme temps que les deux racines imaginaires sont le carré l'une de l'autre j et cette remarque recevra dans la suite une grande extension.