La simplification des radicaux est fondée sur l'égalité

J/û^ = al/b ;

et cette égalité n'est sujette à aucune restriction. En effet , le se-* cond membre a m valeurs, et en élevant chacune d'elles à la puissance m , on retrouve toujours a'^b -, donc ce membre repré-

sente exactement toutes les m valeurs de l/a'^ô.

250. Dans la multiplication des radicaux de même indice ^ on doit encore avoir, conune dans le n"" 230 ,

tn tu n

D'abord, si on fait la puissance m du produit Vli\/b^ il vient ai, donc toutes les valeurs de ce produit sont parmi les m yaleors

m m ai

de val). Ensuite, il est clair que chacun des facteurs V^ et Vh ayant m valeurs différentes, on ne peut pas trouver moins dew produits différents en multipliant les m valeurs de Fan par celles de l'autre. Donc on doit avoiftxactement les mêmes valeurs pour

le produit ]/cX^b que pour \^ab.

Cette conclusion donne lieu à une remarque assez importante. En multipliant les m valeurs du premier radical par une des valeurs du second , on aurait déjà m résultats différents ; donc en les multipliant par toute autre valeur du second radical , on doit reproduire les mêmes résultats, mais dans un autre ordre.

251. Ce qui vient d'être dit s'applique littéralement à la division des radicaux de même indice : de sorte qu'on devra encore avoir, avec toute la généralité possible ,

252. Passons aux puissances. Trois cas sont à distinguer, et je vais les parcourir successivement.

1° Quand les nombres m et n sont premiers entre eux , on a

m wi

{y~ay=Va-.

En élevant le 1*' membre à la puissance m , il vient

et de là on conclut d'abord que toutes les valeurs de l'expressiott

(Kâ)" se trouvent parmi celles de Ka". Il reste donc à faire voif que ces valeurs sont au nombre de m,

Soient a\ a'\ a'",.-- les m valeurs de Va, celles de (V^y seront a'", a"», a'"",... : je vais montrer que toutes ces valettï^ sont différentes. Admettons qu'il y en ait d'égales, et soit

[1] a'»=aa""*

Puisque a! et a" sont deux racines //^*'"'* de ^ , on a aussi

Supposons m > zi, et que la division du nombre m par n donne m = 71^ + r, Tégalité [-2] jjevient

Si on fait la puissance q des deux-membres de l'égalité [1], on a

et, si on diyise rûnë'pSr Taulrc les égalités [3] et [4] , il reste

Maintenant supposons qu'en divisant n par r on ait n ^=srq'-\-r^. Dans l'égalité [1] remplarons n par cette valeur, élevons la dernière égalité à la puissance q\ puis alors divisons-les Tune par l'autre : il restera

En continuant ainsi, on voit qu'on tombe toujours sur des égalités de la forme

dans lesquelles l'exposant s est un des restes qu'on obtient en effectuant sur m et 7i les opérations du plus grand commun diviseur. Or, ces deux nombres étant premiers entre eux , on doit arriver au reste 1 ; donc on aurait a' = a" ; donc a' et a" ne seraient point deux valeurs différentes, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc 1®, etc.

2° Quand l'indice du radical est un multiple mn de l'exposant n de la puissance , on doit avoir

mn m

(yrr = vâ.

mn

En effet , pour toute quantité x , qui serait une valeur de va , on doit avoir x'"" = « , ou bien, ce qui est la même chose, (x")"» = a ; donc les valeurs de j:" ne sont autres que celles de

m • mn m

Va^ c'est-à-dire que (y a Y = \/a.

3' Quand l'indice du radical et l'exposant de la puissance ont

220 LEÇONS D'ALGiBRS.

un facteur commun, si ces nombres sont désignés par mp et itp, p étant leur plus grand diviseur, on devra avoir

{\/ayp = Va" ; car, en s'appuyant sur les deux premiers cas, il vient

mp mp m '^m *

Remarque. Si on appliquait aux deux derniers cas la règle du premier, on trouverait un radical qui comporterait-plus de valeurs qu'on n'en doit avoir. Cependant on se sert presque toujours de . cette r^le sans faire aucune distinction ; mais alors il est sousentendu que les résultats peuvent quelquefois embrasser une trop grande généralité.

253. La règle relative aux racines des radicaux sera générale : elle est comprise dans l'égalité

m mn.

En effet, si on pose j?= v K^, on aura ar»= k'tf, puis

mn

j::^» = a 5 donc X a les mêmes valeurs que \^.

254. Il n'y a point lieu à parler de réduction au même indicé pour les radicaux algébriques : car cette transformation est évidemment défectueuse, en ce qu'elle augmente le nombre des valeurs de ces radicaux. Elle ne pourra donc pas servir ici, comme dans le n*' 234, à expliquer la multiplication et la division des radicaux d'indices différents. Cependant on va prouver que les résultats trouvés par cette voie sont encore vrais dans le cas def radicaux algébriques , pourvu que l'indice commun soit toujours le plus petit possible. Je ne considérerai que la multiplication ; l'explication serait absolument la même pour la division.

l*' Lorsque les indices m et n sont premiers entre eux , j( dis qu'on a

m n mn

D'abord , si on élève le produit VliVb à la puissance mn , il vieu

^aVV)^ = (kâV (kî>« = ùTlr,

LEÇONS d'algâbre. 221

mn

ce qui montre que parmi les déterminations du radical Vâ?^ se troavent toutes celles du produit. Il faut prouver en outre qu'elles ne sont pas en moindre nombre.

Représentons par a\ a'*^a"\ les m valeurs de VlT^^i

par b\ V\ b"\..,.^..,. les n valeurs de VIj! En multipliant les quantités a\ a!\ a'",.- par h\V\ b"\... on aura toutes les dé-

terminations du produit V^V^b^ lesquelles seront

a'b% a%\ aî%\...

dy\ a"b'\ a!"b'%...

Yoilà bien mn produits, mais il faut prouver qu'ils sont inégaux.

n n'y a lieu à démonstration que dans le cas où l'on compare entre eux des produits formés de facteurs différents ; par exemple, wV et a"b". Admettons pour un moment que ces produits soient égaux : en les élevant à la puissance «, on aurait a'"*'» = a""6"« ; et cette égalité , en observant que &"» = 6''" = 6, devient

Mais , puisque a! et d' sont deux racines m<^'"«' de a^ on a aussi

Les quantités a! et a" sont donc tout à fait dans le même cas que cdles du n*' 252 (l"*) ; par conséquent on arriverait de la même manière à conclure a! = a'\ ce qui est contre l'hypothèse.

2^ Lorsque les indices ont des facteurs communs , en nommant/? leur plus grand commun diviseur, on aura

mp np mnp

Eu effet, par les n^* 253 et 250, il vient

Mais, par ce qui vient d'être dit ci-dessus (1*>), on a vaVb^sÈ

am p / nui mnp

VôFly^', et, par le n^ 253 déjà cité, on |i y |/a"fr«= Va'^b^i

mp np mnp

UÇOm o'ALcfcBEB. *

CftlAul d« fzpMMiMM iatgiiMint da ■* difWL ^ *

255. On a souvent à comliiiner eatr^ elles des expressioiis inuigir naires de la forme a-^bV^^^ danslesqaellesa et & sont des^quan- ' tités réelles ; et on démontre qne les résultats sont eox-méinBS toujours réductibles à la forme a+&K^. Cette proposition ya se Yè< rifier dans les différents cas que je yais parcouriflh.

256. Si 6n soumet les' eiqpressionsiinaginaires aux quatre opérations fondamentales, on a

(a+6^C:î)-.(a'+yK=4) = ù— ^)4-(ft-*')k'=ïî

ad-^-bV db^aV

257. Les puissances de V—i se présentent fréquemment. Or, il, est évident qu'on a

(K=i)'=-ix=ï, (j/=ï/=+i;

de là on conclut qu'en s'élevant aux puissances supérieures on retrouvera toujours ces quatre résultats. Si on veut renfermer cette conclusion dans des formules, on désignera par i un nombre entier positif quelconque , et on aura

(|X=î/'- + ■ = çy^f X |/=î = + K=ï, (l/=î/+' = (V-if X (K=ï)' = -1,

{yz=if+' = (y— if X (y^f = - y—i.

Ces formules doivent étfe employées respectivement, selon qu'ea

LEÇONS D'AI.Gf:£IlE. 223

divisant l'exposant par 4 , on aura pour reste 0, 1, 2 ou 3, ce qui comprend tous les cas. W

258. Maintenant, considérons Texpression \a-\^b]/ — l)", n étant nn nombre entier positif. Par la formule du binôme , on a

a Lia

Ti:^'^ 1.2.3.a^ i.i:SA,a' + «*^J î

et, en réunissant les termes affectés de ^^i,

Lia 1.2.3 a^ J ^

Puisque les quantités a et ^ sont supposées réelles , ce résultat est évidemment delà forme A+ BK^, A et B étant aussi des quantités réelle^

Pour développer (a— ôK — i)'», il suffira de changer h en — h dans le résultat précédent. Par-là il n'y aura d'autre changement que celui de B en — B : car/? entre à des puissances paires dans tous les termes de A , et à des puissances impaires dans tous ceux de B.

Ainsi ,'en posant, pour abréger,

"'' Via r2.3 a^ + ^^'^J'

en

on aura

[1] {a+by~iy = A + BK^>

[2] (rt-tJ/i:î> = a-bK~ï.

Pour passer aux puissances négatives, on observe que

224 LEÇONS D'ALGâBRB.

De là on tire ^

et

donc on aura

1 (a iK=î)"

conséqxient, à cause des formules [1] et [

a+bK=ï

[3] U^bl/-^i)^ =

[4] (tf-iJ/I^r" =

Dans la'suite, il sera démontré que la formule du binôme convient à des exposants de nature quelconque. Par conséquent les transformations [1], [2], [3], [4], sont vraies queluque soit n. Mais il arrivera, quand cet exposant sera négatif ou fractionnaire , que les valeurs de A et B seront composées d'une infinité de termes (*).