Quand on veut réduire l'expression radicale

ya±bP^

. à la forme A±6K — 1, on la remplace par la puissance fraction-

naire (ûJ±i^^'^)% qu'on développe comme il vient d'être dit. L'algèbre ne fournit point d'autre méthode générale pour cette transformation ; mais lorsque n est une puissance de 2 , on peut encore l'effectuer sans le secours des séries.

Considérons d'abord les deux radicaux v a-\- b V—i et

O Si on multiplie entre elles les égalités [i] et [2] , on trouve cette relation, (a»-|-i»)n=A'+B*, qui est fort simple et qui peut être quelquefois . utile. Par exemple, elle montre comment une puissance quelconque, entière et positive , d'un nombre qui est une somme de deux carrés , peut se décomposer elle-même ea une somme de deux carrés.

V a—iy^—i» En posant

[5] |/a + ^^(/— 1 + y^a-bV^i = jc,

[6] y'a-^bV^i — l^a-^bl/^i = y,

et en élevant ces quantités au carré , il vient

2ez— 21/^'+^' = y.

Quel que soit le signe de a la valeur de x' est positive , mais celle de y est négative. De ces égalités on tire

Or, les égalités [5] et [6] donnent

donc enfin, en mettant pour xeiy les valeurs [7] , on aura

[9] J/a^I^ïj/^='-k^

Maintenant, si on considère les expressions radicales

\/a±bV^, ]/a±bV^, \^a±by^,eic,

on observera que Tcxtraction d'une racine jgnt l'indice est une puissance de 2, peut être remplacée par des cflkctions successive^ de racine carrée ; et par conséquent , l'emplo^repété des formules [8] et [9] réduira toujours les expressions ci-dessus à des expressions de la forme A ± B K — 1.

Remarque, Dans chacune de ces formules le premier membre, à raison des radicaux qu'il contient, ixîut avoir quatre valeurs différentes, et c'est aussi ce qui a lieu pour le second membre. Dans l'une, et l'autre les quatre valeurs du premier membre sont les mêmes, et c'est encore ce qui a lieu évidemment pour les seconds membres : de sorte que les deux formules n'en font vraiment qu'une seule. Elles ne présentent de différence que lorsqu'on les emploie simultanément dans un même calcul, parce qu'alors on y doit re- > i5

2â6 LEÇONS d'algèbre.

garder les termes dans lesquels entre V^ — 1 comme affectés de signes contraires. Mais alors il faut remarquer eu outre que, par la manière même dont on est parvenu à ces formules, l^^z*+6* y représente le produit V a^b K^ ya-^bl/"^; par conséquent, les déterminations de ces deux radicaux doivent toujours être supposées associées de manière que leur produit ait le signe qu'on donnera à l^d"+ù" dans les seconds membres. Sans cette attention les formules conduiraient à des résultats fautifs.

, Explicalion de quelque* paradoxef .

260. On propose quelquefois sur les radicaux des difficultés qui embarrassent les commençants, mais qui disparaissent aussitôt qu'on fait attention à la signiûcation plus ou moins étendue qu'on attache à chaque radical.