Soit rexfHresiMon

Par les règles du n"" 229, on réduira les radicaux à un seul. En effet, on a

doncTcxpreiflion proposée équivaut à

ou, en mettant y a en facteur commun , à

[2] {2b'^3a)ya.

y)r, si on considMBchaque radical carré comme portant avec lui le signe ±, TexpireRion [1] peut avoir quatre valeurs distinctes, à cause des quatre combinaisons qu'on peut faire entre les signes, tandis que Texprcssion [2] n'a évidemment que deux valeurs. Il n'est donc point vrai , en toute rigueur, de dire que les deux expressions soient équivalentes.

Mais si on fait attention à la manière dont la réduction s'est opérée, on reconnaît qu'en mettant le radical ^a en facteur commun, on a supposé tacitement qu'il devait être pris avec le même signe dans chacun des termes où il entrait ; et par suite, au lieu de quatre arrangements de signes, il n'y en a plus que deux, -+- -h et — .— . On voi t donc qu'on pourra en effet employer les exprès-

LEcèll d'algâbrë. ââ7

sions [1] et [2] comme équivalentes, (lourva qa'on regarde les deux radicaux qui enlreul dans la première comme devant être pris avec le même signe, c'esl-à-dire, (ousdeux avcc+, ou tous deux avec — . 262. Dans rexcmple précédent on attachait à [expression proposée une idée plus générale que ne comportait la transformation qu'on lui a fait subir. Voici uu excmj)le du contraire.

Soit le produit l^^^^xl^— a ; la règle de la multiplication (250) donnerait •

Or, dit-on , il est bien vrai que ^a a deux valeurs t a , mais le produit K — axl^ — a étant le carré de K — a, il doit être égal à — a; donc le résultat l^a* renferme la valeur fausse, + a, '

L'explication de ce paradoxe est Utile. Le résultat est exactement ce qu'il doit être, et Terreur est ici tout entière dans une fausse supposition, laquelle consiste à regarder le produit de l^ — ax y — a comme le carré de K — a , tandis qu'il a une signiGcation plus étendue , ainsi qu'on va le reconnaître.

Considérons en général le produit Kax^^B, dans lequel A et B sont des quantités quelconques. Il doit avoir autant de valeurs qu'on en peut trouver en multipliant chacune des deux valeurs de k^ par chacune de celles de V^B Pour plus de netteté, désignons ces valeurs par ± A' et ± K. L'expression k^X k B représentera indifférenmient chacun deâ quatre produits

lesquels se réduisent à deux ^seulement, +A'B'. Or, le carré de ces deux produits est A''B'' ou AB^onc ils sont les deux racines carrées de AB ; donc on a rigoureusement , et sans aucune restriction dans le signe y , l'égalité

KAxKÏÏ=kAB.

Cela posé, si, au lieu de KÂxl/ÏÏ, on considère le produit y ^X'K^^, la règle n'en doit pas moins donner les deux valeurs qui résultent de la combinaison des deux valeurs du premier facteur avec les deux valeurs du second ; et au contraire , quand on veut faire te carré de K^, chaque valeur de ce radical ne de-

dBfOt Me. don molIipUëe que par elle-mAoe, il n'c^^

'daUMOtriMlter que — a. .'

. H. . LiCBOix observe avw raison que le produit Vax. va. i^ Uea an nUme paradoxe. Pour dire qu'il est égal à a , il faut r tadteoient qu'il équivaut à (P^ô) , tandis qu'en lui laissant toate H gteénSté, il est véritablement égal à + £ , -fnS.. C'At dans les radicaux imaginaires qu'on remarque surtoat œ qpre de diflculté. Supposons qu'on Veuille apprécier iajuHWj ' de k tnnafbniaiiioa ^

*- ^Nooniigiii 4^ et &' les déterminations arithmétiques de ka et 1^ ' i^Birt-fc^re la deux nombres positifs dont les carrés sont a (A. h. iTn laliiiinf «ci radicaux ti^te l'extensioli possible, oo a. tMdsQf

•Bt Uon iai deux déterminadoos de V—atk de V^-^M "et «dka d^l'''^. Par suite U viait

D'après ce qui a été dit dans le n» précédent , si on à'étaMt ihcone restriction, on a l^— IX k— 1 = 1^— Ix— iWti-*

Mais si l'on veut introduire la restriction que les deux fadi du prodïdt V—aX. l^~b soient les délerminatiOBS de 1 *k — b correspondantes à la roéme délerminaticm de K^hI^i OD a simplement V^^x l'^^l=Çk— 1)"= — l, et par sottes

Maintenaut on peut c^narquer qoe le carré de o'i' est 4 ou ab ; doifc, si on convient de n'attadter à KÔ^ qne la i idée d'une détermination arithmétique , on pourra dire \ t£y=y^, et écrire les égalités [4] et [5] comme d-dessons :

La dernière n'est tfulrc chose que la trangfonnation [3] ; par4< voit quelles restrictions dùvent accompagner cette Inwafc

/ LEÇONS o'ALGÉBaK. 229

264. Soit encore l'expression V^a V — 1 . En réduisant le second ndical à llndice 4 , il vient

résultat qui est, dit-on, évidemment absurde : car, a étant une (piantité positive, il représente une quantité réeUe, tandis que l'expression proposée est imaginaire.

Il y • ici confusion d'idées. Si, dans l'expression V^ V — 1, le

radical Va est une détermination arithmétique, il est bien vrai que cette expression est imaginaire. Mais alors il n'est point permis de lui appliquer la transformation ci-dessus : car elle laisse aux

deux radicaux VûTei V—i toute leur généralité. Pour mieux nous en convaincre, développons toutes les valeurs

dont le produit 1^ ]/ — 1 est susceptible. Soit a! la détermina-

tien arithmétique de Va : pour avoir les quatre déterminations de de radical, il faut (242) multiplier a' par les quatre valeurs

4 • de kTT Or, en désignant par ± a les deux valeurs de V—i , il est facile de voir que

flODt celles de VT : ca« en les élevant à la 4' puissance on repro-

doit 1. Donc les quatre déterminations de Va^ sont

Maintenant, pour avoir toutes les valeurs du produit Va V—i , ilfiiut multiplier ces quatre quantités successivement par chacune des valeurs de V — 1 , c'est-à-dire, par -ha et par — a. On trouve ainsi hait produits, savoir :