û'a, — û'a, -l-ûV, — aV, — a'a, +^a, — a' a y H-flV

Mais en observant alors que les quatre derniers sont les mêmes que

230 LEÇONS d'algAbre.

les premiers, écrits dans un ordre dHTcrent, et ensuite que t^ est la même chose que — 1 , ces produits se réduisent à ceux-ci : ^aa, — dôL , — ai^ +a'. Alors on voit qu'ils ne sont autres que les quatre

valeurs de \/cl. Donc l'égalité [6] est parfaitement exacte ; et Terreur, qu'on prétend y remarquer,\ient de ce qu'on attache au produit

|/a \/ — 1 une signîGcation restreinte que n'admet point la transformation qu'on lui fait subir.

265. Je terminerai cet article par l'explication d'un autre" paradoxe que présente l'emploi des exposants fractionnaires. Soit

Texpressiou a^ : si on simplifie la fraction 4, il vient a^=:a*;

donc, en repassant aux radicaux , on aura V a=^ \/a. Cependant cette égalité manque de justesse, car le premier mcHubre doit avoir quatre valeurs, et le second n'en a que deux. On présentera la difficulté d'une manière générale en posant

np n

[7] a^P = ce"' ,

Mi

et en concluant de là

mp m #

Pour découvrir la cause de Terreur, il suffit de remonter à la couvention qui a fixé le sens des exposants fractionnaires (205). Alors on voit qu'ils ne font que remplacer des radicaux ; et, pour rester dans les termes de la convention , on jie doit point regarder,

dans Texpression ^z™, l'exposant comme une fraction ordinaire, mais il faut comprendre que le numérateur n indique une puissance qu'on doit former d'abord, et le dénominateur m une racine qu'on doit extraire ensuite.

Lors même qu'on ne considère que des rauicaux arithmétiques, c'est toujours de cette manière qu'on doit entendre les exposants fractionnaires; et par conséquent alors , bien loin qu'on puisse tirer Tégalité [8] de l'égalité [7], c'est au contraire l'égalité [7] qui doit se déduire de l'égalité [8].