CHAPITRE XII

PftOPOSmONS SDR LtS NOMBRES. — GRANDEURS INCOMMENSURABLES KT APPROXIMATION DES RACINES. — PROGRESSIONS. FRACTIONS CON- TINUES.

Propositions sur les nombres.

266. Théorème. Un produit de plusieurs nombres entiers ne change pas , dans quelque ordre qiCon multiplie ses facteurs.

Supposons d'abord qu'on mette les deux derniers facteurs l'un à la place de l'autre. Soient ^ et ^ ces facteurs, et P le produit de tous les précédents : je dis qu'on aura Vah^=^Vha. En effet, multiplier P par a , c'est prendre autant de fois P qu'il y a d'unités dans a ; donc on a

Pa = P+P+P+....,

eh comprenant dans cette somme un nombre a de termes égaux à P. Pour multiplier P^ par h , il suffit de prendre h fois chacun des termes ; donc

Pa6=Pft+P6+P6+....

Mais cette dernière somme , renfermant a fois le terme P^ , est égale à P^ X û ou Vha ; donc Vah = Vba,

Si tous les fa(?feurs de P étaient égaux à 1 , on aurait P = 1 ; fab se réduirait à ab et Vba à ba / donc ab = ba. Ainsi le théorème est vrai dans le cas de deux nombres.

Maintenant considérons un produit, tel que abcde^ composé de tant de facteurs qu'on voudra. A cause de la première partie

de noire démonstration , on peut échanger les deux derniers facteurs , cl Ton a abcde = abced, La même raison montre qu'on a aOce = abec ^ et par conséquent abced =:abecd. Il est évident qu'en continuant ainsi on peut successivement avancer le Tacteur e à toutes les places vers la gauche;' et ce qu'on dit du facteur e peut s'appliquer à tous les autres.

Reprenons le produit abcde -. on y peut remplacer ab par ba; donc abcde = bacde. Dans le produit bac on peut "échanger a et c, et écrire bca; donc bacde = bcade. Par -là on voit qu'on peut aussi avancer un facteur à telle place qu'on voudra vers la droite.

Donc on peut amener chaque facteur du produit à une place quelconque, ce qui revient à dire qu'on peut intervertira volonté l'ordre des divers facteurs sans que le produit change.

267. Remarque. La démonstration précédente ne s'applique qu'aux nombres entiers ; mais le théorème s'étend à toute espèce de facteurs. Quand il y en a de fractionnaires , si on les réduit en fractions, et si on regarde les facteurs entiers comme ayant l'unité pour dénominateur, on peut dire que le produit s'obtient en divisant le produit de tous les numérateurs par celui de tous les dénominateurs. Or, en changeant Tordre des facteurs primitifs , on ne fait qu'intervertir l'ordre des nombres entiers qui composent ces deux produits, ce qui n'altère en rien ces produits.

Quand le produit renferme des facteurs incommensurables , pour reconnaître la vérité de la proposition , il suffit d'expliquer le sens qu'on attache alors au mot produit. Dans ce cas, il n'a absolument aucun sens , à moins qu'on ne le regarde comme représentant une limite vers laquelle tendeiil les produits qu'on obtient en remplaçant les facteurs incommensurables par des valeurs commensurablos qui en approchent de plus en plus. Or, ces produits successifs ne changent pas quand* on change l'ordre des facteurs; donc il en est de même du produit qui renferme les facteurs incommensurables.

268. Corollaires. I. Puisqu'un produit ne ch^ge pas quand oa change l'ordre des facteurs, on a mXabc=abcm = mabc: donc on multiplie une quantité par un produit, en multipliant cette quantité par les facteurs de ce produit. Cotte démonstration est déjà connue par la note de la page 21.

IL En général, lorsqu'on multiplie entre elles plusieurs quan-

LEÇONS d'algâbre. ^33

tilés P> Q, R ,.... on pourra considérer leur produit comme compo6é de tons les facteurs de ces quantités. En effet , d'après le corollaire précédent , si on écrit les facteurs de Q à la suite des facteurs de P, on indiquera un produit égal à PxQ ; par la même raison, si après tous les facteurs de P et Q on place ceux de R, on indiqaera un produit égal à PxQxR ; etc.

III. Il suit de là que tout nombre entier, qui divise exactement un des facteurs d'un produit de plusieurs nombres entiers , doit diyiser exactement ce produit.

A ce sujet , on doit observer qu'un nombre peut quelquefois diviser exactement un produit , quoiqu'il ne divise aucun facteur. Par exemple, 20 ne divise ni 12 ni 15, et cependant il divise le prodait 12x 15 ou 180. Il en est ainsi parce! que 20 est composé de factears dont les uns se trouvent dans 12 et les autres dans 15. Mais si le nombre 20 n'avait aucun facteur commun avec l'un des deux factears , il devrait nécessairement diviser l'autre : c'est ce qui résultera du théorème suivant.

269. THÉORÈRfE. Tout npmbre P qui divise exactement un pro^ duit AB de deux nombres , et qui est premier par rapport à Vun deux , doit nécessairement dii^iser Vautre.

Supposons P premier relativement à A. En opérant sur ces deux nombres comme si on cherchait leur plus grand diviseur commun , on doit parvenir à un reste égal à 1. Soit A^P : nommons

Q le quotient de A par P, et R le reste;

Q' le quotient de P par R, et R' le reste; Q" le quotient de R par R', et R" le reste ; etc.

Ces divisions successives donnent les égalités

A=PQ+R , P=RQ'+R', R=:R'Q'M-R", etc.

Multiplions par B les deux membres de chacune, puis divisons les par P ; il vient