AB „^ BR ^ BR^, BR' BR BR' ,. BR
coït aéj D'après l'énoncé, AB est divisible par P, donc le «econd membre
de la 1'* égalité doit être entier ; et comme BQ est nombre entier,
[uaï û faut que BR soit divisible par P. La 2" égalité prouve que la
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divisibilité de BR par P entraine celle de BR' par P ; pois la 3* prouve que la divisibilité de BR et BR' par P entraîne odle de BR" par P ; et ainsi de suite. Les produits de B par tous les restes successifs seront donc divisibles par P. Or, dans la suite de ces restes , on doit trouver Tunité ; donc le produit Bx 1 ou B est divisible par P. C'est ce qu'il fallait démontrer.
^70t Corollaire. Un' nombre premier P qui divise un produit ABCD...E de plusieurs nombres entiers doit diviser l'un d'eux. Décomposons ce produit en AxBGD...£ : puisque P est un nombre premier, s'il ne divise point A , on pourra le r^arder comme premier à l'égard de A, et d'après le théorème précédent il devra diviser BCD...Ë. Ce dernier produit se décompose en BxCD...£, et on conclut encore que si P ne divise point B, il devra diviser CD...E. En continuant ainsi on voit que si aucun des facteurs qui précèdent E n'est divisible par P, E devra l'être. Donc P divise Tun des facteurs.
271. Théorème. // n'existe qu'un seul système de nombres premiers dont le produit soit égal à un nombre 'donné : ou , en d autres termes , deux produits de nombres premiers ne peut^ent pas être égaux, à moins quils ne soient composés de facteurs égaux chacun à chacun.
Soient abcd... et ABCD.... les deux produits égaux. Puisque le produit abcd.,., est divisible par a, le produit ABCD.... doit l'être aussi : mais a est un nombre premier ainsi que A , B , C , etc.; donc, si a n'est point égal à quelqu'un de ces facteurs, il ne pourra diviser aucun d'eux. Or, d'après le théorème précédent, a , ne divisant ni A ni B , ne peut point diviser le produit AB ; ne divisant ni AB ni C, il ne peut point diviser le produit ABXC ou ABC ; et ainsi de suite : donc a ne pourrait point diviser le produit ABCD.... Il faut donc que a soit égal à l'un des nombres A, B, C... Supposons a=A, et divisons les deux produits par a. Les produits restante bcd.... et BCD.... seront encore égaux, et l'on pourra leur appliquer le raisonnement précédent. On conclura donc que b est égal à Tun des* facteurs B, C, D..., à B, par exemple. On fera voir scmblablement que c est égal à l'un des autres facteurs ; et ainsi de suite. Donc les deux produits abcd..,, et AHCD.... sont composés des mômes facteurs premiers.
Cette démonstration ne suppose pas que les nombres a, 6, c... soient inégaux : de sorte que si dans le premier produit un
bdenr se répète plusieurs fois , il doit se répéter dans le second on pareil nombre de fois.
272. Les corollaires de cette proposition sont nombreux : je me bornerai aux principaux.
I. Un produit de plusieurs nombres contient tons les facteurs premiers dont ces nombres sont composés, et il n'en contient pas d'autres. En effet, il est démontré, d'un côté (268, cor. II), que le produit de plusieurs nombres peut être considéré comme composé de tous les facteurs premiers de ces nombres; et, d'un autre côté (271), qu'il n'y a qu'un seul système de facteurs premiers dont le produit soit égal à un nombre donné.
II. Une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux ne peut pas être réduite à des termes moindres. Supposons que a et b soient des nombres premiers entre eux , et qu'on puisse
B.YOir'T^-jpj al et V étant des nombres respectivement moindres que a et h. De là on tire aV =iba!. Mais açXb n'ont point de facteurs communs ; donc a* contient les facteurs premiers de a^et 1/ contient ceux de b ; donc les nombres a' et b' ne seraient pas moindres que ^z et ^.
III. Deux produits de nombres entiers sont premiers entre enx lorsque tous les facteurs de Tun d'eux sont premiers par rapport à ceux de l'autre. Soient ABC... et abc, les deux produits. Le produit ABC... n'a pas d'autres diviseurs premiers que ceux des nombres A, B, G,... et le produit abc, n'en a pas d'autres que ceux des nombres a, &, c,... Donc, si aucun des nombres A, B, G,... n'a de diviseur commun avec ^, ni avec ^, ni avec c, ^tc. , les produits eux-mêmes ne pourront pas avoir de diviseur oommon.
ly . S\ aei b sont d^ nombres premiers entre eux , les puissances a"' et b"" sont dans le cas du corollaire III, donc elles repré- KAtent des nombres premiers entre eux. Les exposants m et n peuvent d'ailleurs être égaux ou inégaux.
V. Le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres est égal au produit de tous les facteurs premiers communs à ces nombres. Soit D le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres. Par le cor. I, on sait que tous les facteurs premiers de D doivent se trouver parmi les facteurs premiers de chacun de ces nombres. D'ailleurs , aucun autre facteur premier ne peut
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leur être commun à tous ; car s'il en existait un autre d , ces nombres admettraient pour diviseur commun le produit D^ , lequel serait plus grand que D.
De là il suit que si on détermine le plus grand diviseur D commun à deux nombres A et B , puis le plus grand diviseur îï conunun à D et à un troisième nombre G, le diviseur TV sera le plus grand qui soit commun aux trois nombres A , B , G. On continuerait de la même manière s'il y avait plus de trois nombres.
YI. Plusieurs nombres étant donnés, composons un produit de telle sorte que tout facteur premier appartenant à quelqu'un de ces nombres se trouve dans ce produit avec l'exposant le plus élevé dont il soit affecté daqs ces différents nombres ; le produit ainsi formé sera le plus petit nombre divisible par chacun des nombres donnés.
Il est clair, en effet, que si un nombre ne renferme fkts tous ces facteurs, ou s'il les renferme à des exposants moindres , il ne sera pas divisible par chacun des nombres donnés i et , d'un autre cùté , si , outre ces facteurs , il en contenait d'autres , il serait plus grand que le produit dont il s'agit.
273. Problème. Tromper tous les dwiseurs d'un nombre quelconque N.
La première idée qui se présente est d'essayer successivement la division du nombre N par chacun des nombres 1, 2, 3, 4,... jusqu'à Nj mais on peut abréger ces tâtonnements. Soit D un diviseur de N, et *^ D' le quotient N par D : on a DD' = N, ou, sous une autre forme, DD'=|/NxI^N. Donc si D est'<;J/N, D' sera >J/N. Donc , après avoir trouvé tous les diviseurs < V^N, les quotients qui auront été obtenus en divisant N par ces diviseurs, seront les diviseuriisf^> V^N.
Par exemple , soit N= 360. La racine carrée de 360 est comprise entre 18 et 19 : ainsi , on divisera 360 seulement par les nombres 1, 2, 3,... 18. De cette manière on trouve tous les diviseurs de 360 , savoir :
