Problème. Former une tojble de nombres premiers

On appelle nombre premier celui qui n'a pour diviseurs que

LEÇONS ^'algèbre. 237

Vanité et lui-même. Lors donc qa'un nombre étante donné , le procédé ci-dessns ne fera décoavrir ancnn autre diviseur, on sera sûr que ce nombre est premier. Pour éviter ces calculs , qui peuvent être fort longs, on a construit des tables qui renferment tous les nombres premiers jusqu'à certaines limites (*).

La manière la plus simple de les construire consiste à écrire de suite les nombres impairs 3, 5, 7, 9, etc., jusqu'à telle limite qu'on voudra , et à effacer tous les multiples de 3, tous ceux de 5, tous ceux de 7, etc. Il est évident que les nombres premiers sont les seuls qui resteront. A. la tête de ces nombres U ne faut pas oublier de placer 1 et 2.

Rien d'ailleurs de plus facile que de reconnaître les multiples qu'on doit eOacer. Ceux de 3 se trouvent en comptant les Nombres 3, 5, 7, etc. de 3 en 3 à partir de 5 ; ceux de 5, en les comptant de 5 ^1 5 à commencer de 7 ; et yisi de suite (**).

275. Ranarques. I. La sune des nombres premiers est illimitée. Admettons qu'il en soit autrement, et que n soit le plus grand de tons. Si on forme le produit P = 2.3.S,..m , qui renferme tous les nombres premiers, il faudrait que le nombre P + 1, qui est >>n, fût divisible par quelqu'un de ces nombres. Or cela est évidemment impossible , car il y aura toujours le reste 1 . Donc il est impossible que k suite des nombres premiers soil limitée.

II. En comparant tous les nombres avec lés multiples d'un même Bombre,on est conduit à les présenter sous différentes formes dont m fait souvent usage. Par exemple , si on les compare aux multiples de 6, on pourra d'abord les représenter par une des six formules

6x, 6a:+ty 6j: + 2, 6jc4-3, 6x4-4, 6j:+5,

O Légendes cite particalièrement les tables de Chernac et celles de C*l BuKGEHAEDT Daiis ccllcs de Chernàc , Oji trouve tous les uonibres premiers k6i| J**<li^'À 1 oooooo, et les diviseurs de tons les autres nombres compris dans \g\ '^tte limite. Celles de Burcrhaeot s'étendent jusqu'à 3o36ooo.

C*) Représentons- nous une planchette percée de trous , au-dessus desquels les nombres impairs S/'S, 7, etc. sont placés par ordre ; puis à mesure qu on wrivc, en les comptant de trois en trois, de cinq eu cinq, de sept en «ept, etc , aux multiples quon doitefFacer, concevons cju'on laisse échapper «» multiples à travers les trous correspondants, il ne restera sur la planchette que les nombres;premiers. Tel est le fameux crible d'£ratosthène, qui yiwt 4^1 * Alexandrie aSo ans avant J.'-C.

dans lesquelles x est un nombre entier quelconque. Mais si on ne veul considérer que les nombres promiors , il ne faudra conserver que les deux formules 6cr+l et Gj:+5 : car les autres donnent des nombres divisibles par 2 ou par 3. On peut aussi, à la place de 6j:+5, écrire G(j: + 1)— 1, ou bien encore ^x — 1 puisqœ x cstnn nombre eutier quelconque. Ainsi tous les nombres premiers , excepté â et 3 qui sont diviseurs de 6, sont compris dans la formule

On raisonnerait d'une manière analogue , si on considérait d'aa* très multiples que ceux de 6.

276. Problème. Décomposer un nombre en facteurs premiers ^ et trouver ensuite tous ses diviseurs.

Un nombre quelconque N , s'il i^t pas premier, peut être re-* présenté par le produit de plusieurs nombres premiers a^ b, c, etc., élevés chacun à une certaine puissance, de sorte qu'on peut toujours supposer N= «"'fr^cp;... C'est cette décomposition qu'il s'agit d'opérer.

Prenons pour exemple le nombre 504. Je le divise d'abord par fi autant de fois que possible , et on trouve ainsi

504 = 252xi>i=126x2x2 = 63X2X2X2.

Alors je divise 63 autant de fois que possible par 3 , qui est le plus petit nombre premier au-dessus de 2, et il vient 63=21x3 =7x3x3. Donc ou a

ou bien , sous une autre forme ,

Les divisions par 3 ont amené le quotient 7. Si ce quotient n'était pas un nombre premier, on continuerait les opérations en essayant successivement les autres nombres premiers 5, 7, etc.

Maintenant on formera facilement tous les diviseurs de 504. Ib ne sont autres que les nombres qu'on obtient en prenant tous les&iCteurs premiers un à un , deux à deux, etc. Pour être sûr de n'omettre aucun diviseur, on adopte la disposition suivante :

. LEÇONS D'ALGtBRk.

première colonne à gauche conlieat le nombre donné 504 et oticnts des divisions successives. A côté de ces nombres , dans •conde colonne , sont écrits les nombres ]H'emiers qu'on eiScommc diviseurs , et' qui sont les facteurs premiers du aom- )4. Enfin, on place à droite de celte colonne tOQ^ Icsdiviseors I , et je vais dire comment on les trouve, tétc de la troisième colonne , mais au-dosaus de la ligne qui ;nt 504 , on écrit d'abord l'unité , qu'on doit regarder commo ■mier diviseur de 504. On multiplie cette unité par le premier re de la seconde colonne, et on a ainsi le diviseur 2 qu'on à cAté de ce nombre. On multiplie ensuite les diviuurs déjà es, 1 et 2 , par le dcusicme nombre de la seconde (^«nme ; ef, aetlant la répétition du produit 1 X 3 ou 2 , on <Atiait le noudiviseur 4 , qu'on écrit sur la ligue du dernier mnltiplicateor. ■utinue de la même manière jusqu'à ce qu'on multiplie enfin i dernier nombre de la seconde colonne , ce qui produit une ère suite de diviseurs,9aquelle ^ra toujours terminée par le irc donné.

land on connaît les facteurs premiers d'an nombre, oa peut -e trouver ses diviseurs par un autre procédé. Snpposonsqu'an ire N , décomposé en facteurs premiers, soit

]V = fl'"/*"cp....( liviseurs de N seront représentés par la formule a'°'6''cp'..., laquelle les exposants m', n',p',.... ne doivent point surpasser :, p.... Par-là on reconnaît que ces diviseurs seront les diffét tfrmes qu'on obtient en effectuant le produit

» = (l+rt+ffl'+a'")(t+/i-t-/''....4-6"](l+c+c'.. . + CC).,,.

7. Remarques. La multiplication des deux premiers polynômes le on nombre determeségal à (m+l)[n+l)j par conséquent ) des trois premiers polynômes en donne un mKnbre ^sl

' MO UQOW d'ilcAbre.'.

1 ('>*+l)(n4-l)(/'tfl),etaiiuldesiii(eidoDo le nombre de loiis ' les diTiienn de N est cximmé pu ta formale

Kl même tanps on T(4t qoeiP est la 8ominp de tous ces divisears. Or, OD nit (53) qoè In polytoorneB qui composent P sont respective I a/o + '—l é»+' — 1

BMDt énox k — — , —»,-—■" . etc.; donc ta somme de te

«-rt 6 — 1

<HiriiBmi de N pent s'exprima par la formule

n = 3,n = S,;7=i. DODC le WHtibredes diviseurs de 504 sera 4xSXS=S4{etbia9mBdetoaaccsdlTisenr8sera . ^, J]

978. P|0»LtHK. Combien de fois un nombre premier S et £-iif à Jlacaiir.diau ia mite de$ atmbrei naturels, depuis i jusqu'à u ? ON , Ai dHàlitret termet, quelle est [a plus haute puissance de 9 ^uidiviae h produit 1.2.3.... n?^

Soil n' la pûlie entière du quotient de n pare. Dans la suite pra- If posée on trouve les n' facteurs B,29, 39,.... du prodoit

e.îe.ae.... «'S;

et il est clair qu'ils sonates seuls qni soient divisibles parQ. Ce {i doit peut s'écrire ainsi

1.2.3.... tt^xS''; donc on aurala paissance cherchée en mullipliant S"' par la pld haute puissance des renfermée dans le proiluit 1.2.3.... n

Le même raisonnement peut se répéter sur ce produit , de » que, en appelant n" la partie entière du quotient de «' par 6, verra que la plus haute pnissanoede s, contenue dans le dernier pi dnlt, se compose de la puissance S"' multipliée par la plus h

' puissance de s contenue dans 1.2.3.... n".

y Semblabtement, en nommant n'" la partie entière du quotient i ■- -a" par S, on sera encwe conduit à cbiTcber la plus liante puissad . de e renfennée dans le produit i.3.3, ... n".

LEÇONS d'algArre. 241

On continaera ainsi jusqu'à ce qu'on parvienne h un quotient <0. Pour fixer les idées , supposons que ce soit n'"; alors on DODclura que la plus haute puissance de 9 , contenue dans le pro- Init donné 1.2.3.... «, est 0"' + "' M-'»".

Veut-on savoir, par exemple , quelle est la plus haute puissance de 7 qui divise le produit 1.2.3.... 1000 ? On fera 7i=1000; et en ne prenant que les parties entières des quotients, on aura

1000 ll2 ' 20

—— = 142, -^ = 20, --=2. La somme de ces quotients

étant 164 , il s'ensuit que la puissance cherchée est 7'^^.

279. Corollaire. Soient w, w, /^, <7v- <ics nombres entiers tels qu'on ait m = n +/? + (/....; l'expression