x, d'où JC = 126x
On doit négliger la fraction 0,14 qui est moindre que l'unité décimale du 7« ordre, et l'on a simplement jr = 112. On fc\yi aussi s'épargner la multiplication 126x0,89. En effet, dans les tables on voit au-dessous de 126 une petite colonne de paHies proportionnelles , qui renferme les prodi^^ de celte différence par /o, ,'0, etc.; et qui donne immédiatement 126x0,8=101, 126x0,09 = 11,3; donc 126xOt89=101 + 11 = 112.
De quelque manière que ce produit soit trouvé, en l'ajoutant au log. de 34567, et en rétablissant la caractéristique , on aura le logarithme chei^ché , savoir : log 3456789 = 6,5386729.
Les calculs que je viens d'expliquer sont réunis dans le type suivant ': :
log 34567 .j ."! 0,5386bl7 *
•• pour 0,8 101
' pour- . 0,09 "... 11
" log" 3456789 6,5386729.
Remarques. La proportion entre J^s accroissements des nombres et ceui des*4ogarithmes n'est point rigoureusement exacte. Seulement elle fournit une approximation suflisante, quand 1(îs nc^bres soht grands et leurs accroissiîmenls pou considérables. C'est pourquoitU (»st essentiel d(^ ne séparer sur la droite du nombre donné qud le moins de chiffres possibh\
Si on avait,à trouver teg 345678987, il faudrait sépanT quatre chiffres; et,' eu citkulant la différence correspondante à 0,8987, on aurait 126X0,8 = 101, 126x0,09=11,3, 126x0,008=1,01, 126X0,0007 =-0^088. Or, si on ajoute ces produits partiels, ou voit que le deiiiier, c(*lui qui résulte du chiffre 7, n'a aucunt^ influence sui- la*7* déchnale» du logarillune. Cet exemple montre
et A" ne pourra pas non plus être zéro : car , pour que cela fût , il faudrait ^ue M'P fût divisible par chaque facteur algébrique premier de A'. Donc , en vertu du 3« cas , P devrait l'être aussi, et dès lors F ne serait plus une quantité première. |Si on multiplie par B^et si on divise par F les deux membres de celte ^alité , elle devient
donc la divisibilité de A'B par F entraine celle de A"B.
Divisons encore F par A". Soit M" le nouveau nombre par léqud on multiplie F pour éviter les coefficients fractionnaires, soit Q"le quotient et A'" le reste , il viendra
M"P=A"Q"+A'", d'où Ton tire , comme plus haut , ^
donc A'"B est aussi divisible par F.
Encontinuan^insi, on obtient des restes successifs A', A", A''',... dont le degré va en décroissant , et comme aucun reste algébrique ne pourra diviser exactement F , on est sûr d'arriver à un reste numérique A,. Or, les raisonnements précédents prouvent que tous les produits A^B, A^'B , A^^'B , etc. , sont divisibles par F ; donc A,B doit l'être ; donc, par le 3® cas , B est divisible par P.
Les quatre cas qu'on vient d'examiner sont les seuls qui soient à considérer lorsque les quantités A, B, F ne sont pas 'numériques à la fois , et qu'elles ne contiennent pas plus d'une lettre. Passons aux cas où il y a deux lettres .r ci y dans l'une de ces quantités, ou dans deux d'entre elles , ou dans toutes les trois. Ces cas sont aussi au nombre de quatre , savoir :
1^ Lorsquhui seul des facteurs A e^ B contient la lettre x , et que F ne la contient point,
2^ Lorsque les deux facteurs A e^ B contiennent la lettre x , et que P ne la contient point,
3^ Lorsqu^mi seul des facteurs A e/ B conlicnt la lettre x , et que P la contient aussi.
LEÇONS d'algâbrr. 317
4» Enfin^ lorsque les deux facteurs  e^ B contiennent la lettre X, et que P la contient aussi.
Les démonstrations sont semblables à celles qui viennent d'être exposées ; la seule différence consiste en ce que les quantités qui, précédemment, étaient suppQ3ées numériques, peuvent être ici des fonctions de ^.
De même que les cas où A , B , P, ne renferment paftplus d'une seule lettre , servent à démontrer la proposition pour les cas où ces quantités peuvent contenir deux lettres; de même ceux-ci serviront à s'élever aux cas où ces quantités pourraient en contenir trois : et ainsi de suite, quel que soit le nombre de lettres. Le théorème général doit donc être regardé comme démontré.
363. Théorème. // n'existe qu'un seul système de facteurs premiers dont le produit soit éf^al à une quantité donfiée : on^ ce (pi est la même chose, deux' produits de facteurs premiers ne peuvent être égaux que lorsqu'ils sont composés def acteurs égaux chacun à chacun, .
Cette proposition, toute scmj^blo ^ celle qu'on connaît sur les nombres (271), se dém^Sntre aussi de la même manière. Soient ABCD.... et abccjif,,* les deux produits égaux. Puisque tous les facteurs sont premiers, si a n'est point égal à quelqu'un des facteurs A, B, G,...' il na pou^a diviser aucun d'eux. Or, a ne di- TisaDt ni A ni B, nef divisera point AB : car, d'après le théorème précédent, si ^^ divisait AB, il devrait diviser A ou B. Parla môme raison , a ne divisant ni AB ni G , ne divisera pas ABG ; et ainsi de suite. Donc a ne pourrait point diviser le produit ABCD.. ., ce qui serait abuirde, puisque ABCJ),,, = abcd..,, Il faut donc que a soit égal à l'un des facteurs A , B , G , D , etc. Supposons «=A, et divisons les deux produits par a. Les produits restants BCD.... et bcd.,., seront encore égaux, et l'on pourra leur appliquer le même raisonnement. On «conclura donc que b est égal à l'un des facteurs du produit BGD...., à B, par exemple. On fera Voir semblablement que c est égal à l'un des facteurs restants , et Mnsi de suite. Donc les deux produits ABGD.... eiabcd.,.. stfit composés des mêmes facteurs premiers.
Si plusieurs facteurs du premier produit sont égaux entre eux , le second produit doit les renfermer précisément en pareil nombre.
320 LEÇONS b'algSbre.
déterminer le plus grand comman diviseur de deux polynômes A et B, qui n'ont plus de facteurs monômes. C'est donc cette recherche qui doit nous occuper.
D'après la déCnition , ce diviseur est le produit des facteurs communs à A et à B j donc si la quantité B divise exactement A , elle sera elle-même ce diviseur : c'est pourquoi nous essaierons cette division. Or, une difficulté se présente dès le commencement, c'est que 4x*, premier terme du dividende, ne peut point se diviser par 6J:^ premier terme du diviseur. Pour rendre la division possible, on pourrait multiplier A par 6, et le diviseur cherché ne serait point altéré (365) ; car 6 ne contient aucun facteur qui soit commun à B , et en effet ne doit point en contenir puisque B n'a plus de facteurs monômes. Mais il suffît de multiplier A par 3 ; car alors le premier terme du dividende devient ISo:*, et il est divisible par 6j:\ •C'est donc Ax3*ou
12a:*— 30âJarV 3âiV— 3a\
qu'on prendra pour dividende. Après avoir placé le terme 2x au quotient , on trouve le reste — Sax^ + 1 da'x* + 2a^^ — 3^*, lequel , en vertu du 2" principe (365), doit avoir avec B les mômes facteurs communs que A.
La division est encore arrêtée; mais on la rend possible en multipliant aussi ce reste par 3. On trouve ainsi — ^a au quotient, et pour reste la quantité^ 13a'a:' — 26a^jc — 13a*, qui a encore avec B les mêmes facteurs communs que A.
Ce reste contenant a* à un degré moindre que le diviseur, c'est le diviseur qu'on prendra maintenant pour dividende , tandis que le reste servira de diviseur. Mais on supprimera préalablement dans ce reste les facteurs qui sont communs à tous ses termes, ce qui le réduit à x' — ^ajc — a\ et ce qui n'altère en rien le plus grand conmiun di<?iseur.
On a alors à diviser l'une par l'autre les deux quantités
La division se fait sans introduire aucun facteur dans les dividendes partiels ; et comme on parvient à un reste nul, on en "conclut que x* — 2aa: — a* est le commun diviseur cherché. On donne à l'ensemble des calculs la disposition suivante :
LIÇ0N6 d'aLGÂBRI.
3âl
Première division.
— 8aj:3 + i9ûj»jr.»4. 2a5a:— 3a* — 24aj:3+57^>^>+ Ôa^jc— 9a* -|-24a j:^— 44a'jc'— 32a» j?— 4a*
13a*a:'— 26a^x— 13a* JC* — 2aj: — a".
Deuxième division.
X* — 2ax--a*
6a?*— 1 1 ao:*— 8a*a:^a 3
aj?' — 2a'jr — a' — a j:' + 2a* X -ra^
367. Les raisonnements précédents montrent comment des diririoDs successives conduisent au plus grand commun diviseur. Deux divisions ont suffi dans l'exemple ci-dessus ; mais si la seconde ne se fût point effectuée exactement^ elle aurait mené à un autre resle de degré moindre que le diviseur, et Ton serait passé à une troisième division comme on est passé de la première à la seconde. En continuant de cette manière, il est évident que si Ton parvient à un reste nul, le diviseur de la dernière opération est le commun diviseur Aerché. Voici un exemple qui exige trois divisions. Les deux quantités sont
A = x*— a.r'— a V— a'j:— 2a*, B = 3a:'— 7ax'+ 3a*x— 2a'.
Première division.
a:* — ax^ — a'x* — a^x — 2a* 3^*— 3aa:5— Sa'x'— 3a3j:— 6a* -3a:* + 7aj:3— 3a'j?*4- 2a^x
4aa:=»— 6a V—' a^x —6a*
12ajc3— 18a"x'— 3a^a:— 18a*
— i2ax^ + 2Sa^x*'^i2a^x+ 8a4
lOa^Jc'— lôa^o:— 10a* 2x''^Zax-'2a\
Sx^—'rax*+ 3a'x^2a*
ai
^ HevxAifM àmâùn.
TroUSéme dirision.
'■^Mi
C'eit donc x— Sa qm est le plus grand commiiii dirtoeor. -1 4aMib prairiÉM «TbiflB eira^mri^ h sefcoode V dènx fois par â. On pomTaM abrégé on pea en m pliant one Sicile fois par 9, et nne iseole fois par 4.
GontinuâtioB : on étrad la théorie précédente à tout les cas.
368. Ce qu'il importe sortout de remarquer, c[est que le sn du calcul est entièrement fondé sur ce que, les quantités étant iijyoDnées selon les puissances décroissantes d'une lettre , chaque vision amène un reste de degré inférieur au diviseur. I/H'squc polynômes coqtiennent plusieurs termes de même degré ^ une caution est à prendre , sans laquelle cette réduction né s'obtient toujours, et qui consiste à réonr tous ces termes sous un seul n tip^icatçur. boient les polynômes
Je les écrirai ainsi :
La partie x^ ne se divisant point par (^+l)x% à cause du facteur j^+1, je rappellerai qu'en général, si une quantité est ordonnée comme les précédentes , tout diviseur de cette quantité indépendant de a: doit diviser séparément le multiplicateur de chaque puissance de x. De là il suit que^ + 1 n'a aucun facteur commun avec B; car, s'il y on avait un, il devrait se trouver dans /+^4-l et dans^ : or il est évident que ^r n'a aucun facteur commun avec j' + l. On pourra donc multiplier A par^+1 sans altérer le commun diviseur cherché; et comme il faudrait tout à l'heure multiplier encore par ^+1, on multipliera tout d'abord A par (j^ + 1)' ou^*-f^+l. De cette manière on parvient au reste R ,
Avant de passer à la 2' division, il faut supprimer dans R les facf leurs communs aux multiplicateurs des puissances de x. Or, les deux parties de R sont évidemment divisibles par — j^* — y^+y* et après cette simpliGcation il reste x-^j^. On va donc prendre x-hy pour diviseur, et comme la division se fait exactement il s'ensuit que le commun diviseur cherché est x+y
Première dwision,
(.r-fl )x*+ (.r*+r+l) x+y
{yJri)x+;y
(jr+l)V+(y+3/+ 3^+1 ) X*
Deuxième division.
(^•:hlj*4-l
369. L'exemple qu'on vit-nt d'expliquer met à découvert ccr- 'teines ilitHculliis qu'il faut cncori- résoudre. Dans la premiértî difvisioii il u fallu , avaul d« multiplier par j+ 1 , s'assurer que celte
' .Quantité n'avait point de fadeur commun avec celles qui mullilÂlient les diverses puissances de x dans le diviseur; el comme le SBOnome^- était une de ces quantités, il a été facile de recoDbatlre qu'il u'a en effet aucun facteur commun avec y+i: Mais i^ |[cnéral il n'eu est point aiusi, car il aurait pu se faire que toute;* les puissances de x eussent été multipliées par des poly^
.'nomes, il f a plus : après la première division nous avons sn|i« primé, dans le ri'sie, les facteurs communs aux quantités multiplient les diverses puissances de x ; et cela suppose qa'i Bâche detOTminer le plus grand commun diviseur de ces quanlil Cette détermination a été facile dans l'exemple précédent, . on comprend qu'il n'en sera pas toujours de même, tes dévelt . |iements suivants font disparaître tuâtes ces difficultés. : r Elles n'ont point lieu quand il s'agit de deux pidynomes ne contiennent que la lettre x ■■ les règles du n" 366 si
-: alors. Ainsi on saura toujours trouver le plus grand commun seur de deux polynômes qui ne renferment qu'une seule lettre^ par suite je dis qu'on «aura aosu (roaver celui d'nn plus granâ nombre de qoanUlés dans lesquellea il n'entre qu'une seule lettre. Supposons, par exemple, qu'on ait trois quantités A, B,Cî soilO le plus grand commun diviseur de A et B, et 0' celui de D et G. B'aprôB la défînilion, D est le produit des facteurs communs à A et B, et I^ est celui des facteurs communs à D et G ; donc Tf est le produit des facteurs communs aux trois quantités A , B , G ^ donc ly est leur plus grand commun diviseur.
2* CoDsidéroas des polynômes A et fi qui contiennent deux lettres ir et y. Prenons d'atxHii le plus grand commun diviseur des termes de A ; soit a ce diviseur et A' le quotient de A par > : on aura A=:aA'. Ordonnons A' selon les puissances décroiisautes de x, en ayant soin de réunir tous les termes qui renferment la m^e puissance de celte lettre ; et supposons, par exeoK pie, qu'on ait
iL' = Lx'+Mx+N. *
Tons les facteurs de A', indépendants de x , doivent être fftctnn j des quantités L , M , N , qui multiplient les diSéreotes [HdMpm "4 de ^. Ces quantités ne contenant qne la seule leUre^, ll'iMpt'
facile d'avoir leur plus grand commun diviseur : nommons a' ce. diviseur et A" le quotient de A' par a', on aura A =/ A" et par conséquent
a sera le produit des facteurs monômes de A, a' le produit des facteurs polynômes qui ne contiennent point «r , et A" le produit des facteurs polynômes qui cx)ntienuent jc.
Faisons la même décomposition sur le polynôme B, et soit
Alors, je détermine le plus grand commun diviseur des monômes a et |S, ainsi que celui des polynômes c^' et fs' qui ne contiennent que la letlre j ,• et si je puis aussi trouver celui des polynômes A" et B" qui renferment j- et x, j'aurai trois quantités dont le produit sera le plus grand commun diviseur de A et de B En effet, la première (oiitiondra les facteurs premiers monômes \ communs à A et à B ; la seconde, les facteurs polynomt^ indépendants de x; et la troisième , les facteurs polynômes dépendants de x\ Or, jc dis qu'où peut trouver le plus grand diviseur commun des quantités A" et B ' en les soumettant aux calculs des divisions SQccessives, comme dans l'exemple du n** ;î(J8. Il est clair, en effet, que ces quantités n*ayant plus ni facteurs monômes, ni facteurs polynômes indépendants de .r, il sera permis de multiplier les dividendes partiels de la première division par le polynôme qui est placé devant la plus haute puissance de x dans le diviseur, et qu'on arrivera ainsi à un reste de degré moindre en x que le diviseur. 11 sera facile d'ôter de ce reste tous les facteurs monômes qu'il renferme, aussi bien que les facteurs polynôme > indépendants de x; et alors on procédera à la seconde division ^ prenant pour diviseur ce reste ainsi simplifié. On se conduira i^omme dans la première ; puis on passera à une troisième ; et eu X>ntinuant toujours de cette manière, on est sûr de parvenir enûn t un reste nul ou à un reste indépendant de x.
Dans le premier cas, les quantités A" et B" ont pour plus grand liviseur commun le diviseur de la dernière division. Dans le Qoond , elles n'en ont aucun , ou , pour parler plus exactement , lies n'en ont point d'autre que l'unité. En effet , le plus grand ommon diviseur de ces quantités devant être le même que celui H dernier diviseur et do restt iodipendant 4« Jf i dtmit être
lifc'' •'"***'■' • -^ iJfçbtt li'âMiÉW;'^' ■ ^*-;'^'.':'\?*aj 'Jnii^païautdex.- mats la iwlTiMom À^ë( i''U'<M<m 0)iBp(»ttloiltprétiiniiuiira,ps.pamnt avdraiicDnfàcteaval ■nnipdépaidaiit de «antre que l'aniU; donc l'odUett tour nd
non i^ deux polrnooies daWWi^ïl'fl fW MlttWiN#?i>tfflri
. 3* De même qu'OD s'est élwé du cas où les polynomps ne cod-
lienneiit qu'une Icltre à celui où ils cq conlienaeut deux, de
r^ néiue on s'élèvera de ce second eas à celui des polynômes qui en
.^renferment trois, et ainsi de suite quel que soit le nombre des
lettres. Donc enfin il n'y a aucun cas oii t'oo ne puisse détcrmiuer
'^^as ^od commun [Ûviseur de plusieurs polynômes.
■ " ';i;W)."!-ill 6"!--'';fc>i i;,:!v;:; v.m.i.' • MaaiMMa4itfàliiMBiM<Mb>.fiu«dI«i ■r •!•! • . ., II ■ 'ilii le, eqajflojt
■; VB^-.:-\>:~.-. ■'-■.■-•;. '■
"yl/nt' TiBvs la théorie générale des équations, qui va bientôt JttMk'deeuper, on considËre d'une manièro spéciale des polfiK»ues de M forme ' ' i
Ajr"+fix"-'+Cjf*-»....Gj:+H, ■-' j
dans lesquels x représente une inconnue , m un nombre entier M sitif, et A, B, C,.... des quantités quelconques, numériques oaii|-1 lérales, qui ne contiennent point x. Or, quoique les coelTicieiili A, B, C,... puissent renfermer des radicaux ou des dénominaleiui comme l'inconnue x ne se trouve ni sous ces radicaux ni dans c^ dénominateurs, le polynôme est dit rationnel et uiiitr par rappoi i à X; et l'on dit encore que deux polynômes de celle forme soi divisibles l'un par l'autre , lorsque la division donne un qi^lifl exact, entier aussi relativement à x. Ainsi, x'-i-^ajr/S— fc'ei . divisible pas ^j; — «1/2: car on trouve le quotient exact i^c+aj/j Cela posé, voici une proposition tout k làil semblable â celle d •■ n* 362, et dont l'application se présentera dans la théorie d équations.
Si un binôme du premier degré, de la J'arme ax + ^\dit^t 1|
produit AB de deux polynômes raiionneli et entiers pop ^VBpf i.
à X, il devra diviser l'un de ces polynômes, ^, ■ ...,^ \g
Divisons A elB par 1.2,-1-/, et supposons que les divisions nef
fiHseat pa» exactemenl, on «sl^ùx %a.Qw>w&4.'umerâde8n(ll
UiiçoNS d'algèbre. 327
Ifû ne contiendront plus x. Soient Q, Q', les deux quotients, et R, R', les deux restes : on aura
A=:Q(aa'-i-a')+R, B = QW+a')+R',
et par suite
AB = QQ' (ax + a')'+ Q'R(«^+ a') +QR'(ax+ a') + RR'.
De là on tire, en divisant par aj:+» ,
; = QQ'(aj:+a')+QR+QR'+ -rrr-r
Par hypothèse AB est divisible par ajt'+^', il faut donc que le second membre se réduise à un polynôme entier relativement à j: : or, pour cela, il faudrait que RR' fût divisible par »x+:i', ce qui est impossible, puisque R et R' sont indépendants de x. Donc la divisioD de A ou de B par ax-^-u! doit se faire exactement.
Corollaire. Soit un produit ABCD de plusieurs polynômes entiers par rapport à x. S'il est divisible par v.r-f a', il y aura au moins un des facteurs qui devra Tétrc. En effet , on peut considérer ABCD comme un produit de deux facteurs ABCxDj donc si le binôme our+x ne divise pas D, il doit diviser ABC. Semblablement , on coudât que s*il ne divise point C il doit diviser AB , et que s'il ne divise point B il doit diviser A. On continuerait de la même manière s'il y avait plus de facteurs.
37i. Supposons que le polynôme Aa:'"+etc. soit formé parla Inaltiplication de m facteurs du premier deg;ré, et qu'on ait
Ax^-f-etc, = (a:r:+a)(?-^-H^')(V«*^+v')"«- :
ta pourra écrire
Aj:«+etc. = «P7....xrj:+- V j:+-^ V ^H — Y...}
puis , si on observe que le coeflScient A doit être égal au produit
aÔ7..., etsion pose-=a, *f =ô, - = c,..., ouaura
Aj:^+etc. = A(x+^) [x-\-b) (jc+c)....
On dit alors que le polynôme kx 4-etc. est décomposé en facteurs simples ou premiers^ et, sous cette dénomination, on entend ici les binômes jc+ûf, j:+^, jc+c,..- abstraction faite de A.
On peut appliquer à cette décomposition un théorème lout i
