SEULE INCONNUE
Tbcorèmc fondamenUl dont l'objpt est d'établir que toute équation algébrique a unt racine,
373. Les équations algébrique^ à une seule inconnae sont celles qu'on peut réduire à la forme
X étant l'inconnue, m un nombre entier positif, et A, B, C^,,. des quantités connues quelconques. L'exposant m est le degré de Téquation. Pour la simplifier encore davantage , on la divise par le premier coefficient, et on récrit ainsi :
P, Q,... T, U, étant encore des quantités connues.
n n'est pas évident à priori qu'il existe toujours une quantité réelle ou imaginaire qui, mise dans cette équation à la place de :r, rende le premier membre identiquement nul : ainsi, une démonstration est nécessaire pour établir que cette équation a toujours une racine. Je vais exposer celle qu'a donnée M. Caucht dans ses Exercices de Mathématiques, Cependant, comme elle ne laisse pas qae d'être assez épineuse, si Ton jugeait à propos de la supprimer et d'admettre le théorème comme évident, il faudrait passer immédiatement à la composition des équations p. 339.
374. Avant tout, il convient d'observer que le mot imaginaire^ pour avoir ici quelque sens , doit désigner une expression algébrique sur laquelle on sache effectuer les opérations indiquées dans l'équation. Or, comme on n'aura à considérer dans la suite que des quantités réductibles à la forme a+bl^ — 1, a et b étant des quan-
I Utés réelles, je restreindrai désormais la dénomination de quantité
^niaginaire smx seules expressions de cette forme.
Avec les quantités aei bAe l'expression imagisairt tf+frK— 1,
OD pont former une quantité poriliré égale i V^+ ^ : cette qa># * ftté eit dite teiwoifcAdh^riJffj^ Pir eumfia^ m
nttdnle de S--4k^sàrait K^
diflirent entre efiei que M>l]0<lil>^.^ 1^ IMnrtIe imaginaire, aont ; djtaB et^uguéês Tune de Taotre. Deni; quantités conjogiiéei ont ^ 'donc k même modole.
flS on ftktt 6»0, l'exprariona+^KIi aeiédnità^i. AiMik
coijagiiée nae' quantité égate, e(l»|ka*4fl «'«iljptre«h|M{P» (OBUeqBhntitA'WIlê^iiéqie, abstnctkM fUledeaonato
S75. YoidiildyydtVibiAiâM'âkiM
«■ibmhllt AaunMmtt^ii XnififiNMie AibiidÉltfiMdiiCiÉ^iAdL SoSnt les deux ezpreMipni ii^^éfc^^^î^ a*H-#f^^
t aura ividenimrït
R te inodalé db MOT aommé, oit aora (
=:r*+/'"+â(aa'+iy).
Mail) en nuilUpIittit z' par r^ j il est fMile de Yoil
doue la Teleu nnmériqne de aaf-^bb' cal inférieiil»oii Irai^mirtm égale à n^. Par sidte il eat d^ que R' est OMOpris entre 1» d^Qx q^^antltéa r^-tr^^-^^rr^ et f^-hr^^^ar^^ oa^oa.qin est la même chose^ entre (n^)* et (r-y)\ Donc le module H est compris entre la jomQiftM la diflSèrenoe des modules r et r^.
La démonstration est «lactement sembkUe, lorsqu'au lieu de la somme des expressions imaginaires on oonsidôreleur différence^ ^
.976^ hoêUi 11/ Le^fnqtiuU d^ deux quantités a pour nwduU le produit des rn^df^^ ^ ces* quantités^
En effet, la multiplicatipu donne
la^bV^i) {a!+bVC:Â) =zaa!'-'bU+{abf+ba')U^^i
LEÇONS d'aLGÉBRB. t^l
et, si OQ prend le module de ce produit , on trouve conformément à l'énoncé,
[/(aa'— bb j'+ [ub'^ bu')* = [/a*a'*+ b*b'*-\-a*b"-\- 6V
Corollaire, Donc le produit d'un nombre quelconque de facteurs avoir poar module le produit des modules de tous les factedrs. Sooc aussi la /i«">« puissance d'une ei^iression imaginaire a pour module la n^"** "puissance du module de cette expression.
377. Lemme III. Pour quune quantité de la forme a-f b \/ — 1 soîinûlle^ il est nécessaire et il suffit que son module soit nul.
En effet, a etb étant des quantités réelles, soit
Comme la partie réelle a ne peut pas détruire la partie imaginaire b l^ — 1, il faudra qu'on ait séparément a = 0 et J=0; donc Ka*+^*=0, c'est-à-dire que le module de la quantité a+b V^^^ doit être zéro. Celte condition sufSt évidemment: car aeib étant dés quantités réelles, leurs carres sont des quantités positives et la somme a'-^-b* ne peut pas être zéro à moins qu'on n'ait a=0 et 6=0.
Corollaire, 11 est manifeste qu'un produit de plusieurs quantités réelles ne sera pas nul si q^icune de ces quantités n'est égale à zéro. Mais quand il y a des facteurs imaginaires , il n'est pas évident qu'après la multiplication les termes du produit ne puissent pas s'entre-dctruire sans que cela arrive dans lun des facteurs. Or voici comment on démontre que dans ce cas encore il fout qu'un facteur soit zéro. ^
Pour que le produit soit nul, il faut que son module le soit. Or, ce module est le produit des modules des facteurs (376) \ et comme ces modules sont des quantités réelles, leur produit ne peut pasdevenir zéro à moins qu'un d eux ne le soit. M^is alors le facteur auquel correspond ce module doit lui-même être nul; donc en général le produit de plusieurs facteurs ne peut pas devenir nul à moins qu'un des facteurs ne soit nul.
