Lemme IV. Soit un polynôme X de la forme

X=x'" — Px*»-'— Qx*"-*... — U,

dans lequel tous les termes qui {tiennent après (e premier otvI d^^

mw^

fflcients essentiellement négatifs. Si on fait t^iittn X •it au delà iTune certaine limite, les valeur* ^ iwfr 'seront continuellement positives et croiasantet^ Àpôiuînàii. depOiir tmmgrandet qt^en vùudru.

' OU pBBàMxp X rwiny g fiU .-;-—'—

. jMw»ri<».tfcit:<wlttft.g#aiilliiMwiN>tti«ii><pift>>fÉi

0 îjjPB 1^ a m dKir «toe b qptntfU nnferviïv wm J« '. ■mr8riflTe>l4Ba||MHit0.Û|M|«%|KiAn|0ftfHr»»^^ Mil die en poidn dîffktv .MHri^ pep qu'on Tobdri. dW cMié,le Etetenr ;c- Th «DdrtftMij^MMDt et peut farpaw

'.' Limite ; dooc, à partir de x=\ on est d&C fU JCv,<^«i '^^ent jusqu'à l'infiai. :• -; — ■• i

Remarque. Le nombre des termes nân£^' w la p~ t en général égal à m, mnis il peat élite' tiioriSItrê pÀn , qnes-mii d'entre eus peuvent être nais,' SôitRliBiloitat|i^MlCi restants, dt posons les égalités ' "" *

Ml en.Jifva les Velenn

et il etf-drifrqD'oi faisant j: égal à la pins grande deoetTalean, le pol^iome X net» positif. Aiuai, on poorra prendre X égal i cette

râleur.

379. Procédons maintenant k la déiDMistration dn Ihétwène findamental qne nbas avons en voe.

THeoaftHE. Une équation dedegrè quelconque^ à coefficients rieti ou imaginaires, a toujours au moins une racine.

PiEHitRE PARTIE. La démonstration générale exige qae'l'on cûoffldére d'abord le cas particulier de l'équation binôme. Sopposoos celte éqoalion ramenée fr la forme

LIÇONS D'ALOÉfiai. 333

ù a et |3 désignent des quantités réelles qni peuvent être nulles , nsemble ou séparément. Il s'agit de prouver qu*il existe une valeur le JT, de la forme a-^b \^ — 1, propre à la vérifier.

Lorsque le degré m est égal à une puissance de 2, la déterminaion de Jc revient à extraire de «+|3 1^^^^ plusieurs racines carrées ncoessives. Or, on a vu (259) qu'on parvient toujours à exprimer Desracines sous la forme a+6 V^^^i, •

Lorsque le produit m est un produit de facteurs égaux à 2 par vmbre impair quelconque, la détermination revient à extraire de 1^.^ |/ — 1 plusieurs racines carrées successives, puis à la fin une .ndne de degré impair. Les racines carrées pouvant toutes s'expri- Mr sous la forme a + b\/ — 1 , il reste donc à démontrer que, m tlint impair, il existe encore une valeur de x, de cette forme , iropre à vérifier Téquatiou x"» = a -i-fi k*^^. û vérité de la proposition se reconnaît facilement quand Tune quantités» et p est zéro. D'abord, si j^=0 l'équation binôme

letèduit à

quel que soit le signe de a, le radical d*ordrc impair x = V^a doit roir une valeur réelle, laquelle est racine de Téqualion. Sia=0, r«quation binôme se réduit à

iRI

irs, en posant x=x' V — 1 , on aura :c"»= ± a:'"» V— -1 (on doit

idrc + ou — suivant que m est un multiple de 4 augmenté

1 ou de 3). Par suite l'équation devient a4*= ±p. Or celle-ci a

acine réelle ; doncf équation j:"» = p \/^\ en aura une de la

>itne 3c = bl^ — 1.

Considérons les cas où ni a ni p n'est égal à zéro. En mettant tous ^ termes dans le premier membre, l'équation sera

Our abréger, je représenterai le 1*' membre par X , de sorte qu'on itoa }

■.Ht inQ» ■'«laùip.

X n tRuCoraMn «k iMteinpii^ JndfltHt'

,,,,„.., . ^^wah^bk;;!,

A et B élanl des puljnomcs entiers en a et b, dan»* lesqnds Kn'entre point. Je vais prouver qu'il euste des valeurs de a eÇb. ^èd et non infinies, qui font évanoair le module k A'+B' 4fi.Js^ ,. , . Représentons par p , f, V, les modules des quantités '

^WÎ^sfftev'opal^ ; -■i:^:»'; -,

' i^«ÀpttiBàbsâ(itAai^=*j Qieslé^déntqDe j;- se rédiii(iij^J||

x=«Cx+p K=:ï)=-P 1-^=1;

donc V=p' j donc V" <a +p' ou V <p. Poisqo'oo troDTe ajnài valear de V<p , on peul déjà conclnre avec certitude qu'en I saut varier a et & de lootes les manières possibles, la pins pe valeur que puisse prendre V sera <p ; et ce qu'il faut démontri c'est que cette plus petite valeur n'est antr£ que zéro.

Quelle que soit cette valeur minimum , elle oe'doit point corr pondre à la valeur de x=(i; car alors on aurait a=^Q, b= V= \^»+^' = p i et elle ne doit pas non plus correspondre à i valenr de x dans lacfheHe a ou & serait ioGoî, car alors on ani n = 00 , par anite.{376] le module v de j*i serait loBnl , et par st aussi celui de X, lequel est compris entre p~+p et p" — p(375).

Soit f =cBnc«alear différente de zéro, réelle ou imaginai et dans laquelle ni a ni ft n'est infini. SnpposoQs que la vali correspondante du module V ne soit pas zéro : désignons-la par et par C la valeur correspondante de X, laquelle doit être dii renie de zéro. Si on pose

LIÇONC D'ALafiBKI. 335

et si on fait attention que C =c-»— a— .p k^, le polynôme X*dS^ yioidra

Dans ce développement , la somme des deux premiers termes s'é* Tanouit en prenant

mc^"^*

Désignons par c une quantité réelle positive ^ qu'on poiura choisir aussi petite qu'on voudra, et faisons

les deux premiers termes du développement deviendront G(l — f) ; et, en mettant G en facteur commun , on pourra écrire

X = C(i— e+Zi'+Z's'+etc.),

/,/',.... étant des quantités de la forme <x+^^^— 1. I Si on appelle 4> le module de la quantité qui multiplie G , on aura y pour celui de X , en vertu du lemme II ,

D*un autre côté , puisque e est une quantité réelle , si on nomme y, ?',.••• 1^ modules de y',/',.... on aura 1 — e, «pe*, fi^.... pour ceux des quantités 1— e, /«S /'«^...- ; et en vertu du lemme 1*% le module 4> ne devra point surpasser

1 — e + ?e* + ?'ÉHetc.

En mettant cette quantité sous la forme

1 — s (1 — cpe — «pV — etc.) ,

on voit que, pour de très-petites valeurs de e, la quantité entre parenthèses est <1. Par suite la quantité ci-dessus, tout enUère, est elle-même <!; donc alors on aurait *<1 et V<V'.

Ainsi , quand V n'est point zéro, on peut choisir x de manière que le module V de X soit <V'. Don^ la valeur mûmuf^^ «e

33€ LICON» D ALGÂBRB.

module ne saurait différer de zéro. Or, la valeur de ûc qui donne y=0 est racine de Téquation X=0; donc enfln l'équation binôme admet toujours une racine de la forme a^h )/ — 1 . Seconde partik. Actuellement, soit Téquation générale

[A] 0*4- Px«-« -f- Q*»-» -h Ra7*-3 j^ etc. = 0 ,

dans laquelle P, Q , R , etc. sont des quantités quelconques, réelles ou imaginaires, de la forme a-^h V^ — 1. Posons encore , pour abréger,

X = j:^-|-Pa^-'+Q.r»-«4'etc. ;

puis remplaçons x par la valeur

Il viendra un résultat de la fonne

X=A+Bk'— i,

A et B étant des polynômes en <z et ^ où K — 1 n'entre point ; et pour que Téqualion [A] soit vérifice, il faut et il suffît que le modale I^A -f B* de X soit zéro (377). Or, l'objot des explications suivantes est de prouver qu'il existe jen elTel des valeurs réelles de a et ^ qui doivent anéantir ce module.

Représentons par p, p', r/',.... les modules des coefficients P, Q, R , etc., par p le module de l'expression x-:=a-\-b \^ — 1, et par V celui de X. En vertu du Icmmc II , quand on substitue a^hV^S- ' à la place de x, les puissances j:"', o:"'-', jt""^',.... ont pour modules p'", ^^'"--', M'"-^.... ; et les différents termes

j:'", Pjc'-', Qa:'"-% Rx'"-^, etc., qui composent X, auront pour modules

^m^ |5pm~l^ pV'"-^ p'V'"-^^ etc.

Donc , par le lemme I", on est sûr que le module du polynôme

p^m-i + Qjc"«-a + Rx"»-^ 4- etc. ,

ne devra point surpasser la somme

ppra-i 4pV->+pV'^~^-f etc. ;

et qae par suite le modale Y du polynôme ne devra point être inférienr à la différence

[1] P» — pj^-« — p'f;«-> — p"^--3 — etc.

On suppose cette différence positive, anjrfment iUJetndrait la piyndrp on Bipne coniraire.

En donnant à ^ des valeurs de plus en plus grandes, à partir d'une certaine limite, on sait que l'expression [1] sera constamment positive et croissante jusqu'à FinGni (378). Bouc le moduk^ Y, qui ne doit jamais être au-dessous de cette différence, peut lui-même aquérir des valeurs plus grandes que toute limite.

Si on attribuait une valeur inGnie à ^ ou à ^, le module (^ de j: serait ii^Gni. D'après ce qui vient d'être dit, l'expression [1] le serait donc aussi, et par suite le module Y. Mais tant que a et b n'auront point de valeurs inûnics, il est évident, par la nature même des polynômes A et B, que ce module ne devra pas devenir inGni. De là il suit que , s'il ne peut devenir zéro par aucune valeur de x, on est au moins assuré qu'il en existe une , formée avec des valeurs finies de ^ et ^ , qui donne pour Y une quanlitc au-dessous de la- ({uelle il ne pourra tomber aucune autre valeur de ce module. Toute la question se réduit donc encore à prouver que ce minimum n'est autre que zéro.

Soit j: = cune valeur particulière de x, laquelle peut être réelle ou imaginaire; soit G la valeur correspondante de X , laquelle est supposée différente de zéro ; et soit Y' le module de C. Si on prend pour X une valeur jc = c-h3, diffcronte de c, il en résultera pour X un développement tel que

[2] X=G4-C'z+iCV+etc.

Admettons d'abord que G ne soit pas zéro, et prenons

c étant une quantité positive qu'on peut choisir aussi. petite qu'on veut. L'expression [2] pourra s'écrire ainsi :

X = C(1— fi+Zc^t/fi^ + etc),

y,/',..,, étant encore des quantités de la forme <i-f-frk'^.On

338 LEÇ05S d'algêbbb.

pourra donc reconnaître ici , comme à la page 335, qae des raleurs Ircs-peliles de « rendront le module V <! VV, ; l^ 7i

Admettons à présent que, dans Texpression^B^^ G soit zéro, et qu'à partir de ce coeflicicnt le premier qui diffère de zéro soit celui de^. £n le désignant par C,, et les suivants par C., Gj, etc., l'expression [2] sera simplement

[3] X = C + C,s» + C,s« + » + etc.

Si 00 pose l'égalité

la quantité — — pourra se ramener à la forme a-^bi/"^^^ et

Ton sait, par ce qui a été dit pour le cas de l'équation binôme, qu'il existe une valeur de z propre à vérifier cette égalité. Nommons s' cette valeur et prenons

t étant encore une quantité positive aussi petite qu'on ycat. En remarquant que c'"= — -^, l'expression [3] se change en celle-ci

X = C:;i— e'^-f/s^+'^+Xe^+^ + etc),

dans laquelle^ y*,, /,,.... djsignent toujours des coefficients de la

forme a-{-b V — 1 ; et on raisonnant encore comme à la page 335 déjà cité(î, on verra que les Irès-pcMilos valeurs de e rendront le module de 1 (expression ci-dessus moindre que celui de C, c'est-àdire qu'on aura A - A'.

Ainsi, lor-^quc \ n'est point zéro, on peut toujours choisir x de manière (jue ie module Y du polynôme \ soit <Y'. Donc la valeur miiLimiun de V ne diffère pas de zéro; et par conséquent la val(»ur de x à huiui'Ih^ («jrrcspond ce miniinum est racine de l'équali(?n [A]. Sans assii^^ner la valeur de cette racine, et sans examiner s'il existe plusieurs valeurs de x qui puissent donner V=0,on n'en peul pas moins conclure avec ceî'litsîde ç^une équation de (Irirn- qnrlci)iirjnr^ à cocfflcienls rccls OH ininoiiuiircs ^ a toujours au moins une racine dv la forme a-\-hV — 1.

LBÇONS d'algAbee. S39

Compotilion des éqaatioiit.

380. Théorème. Si une quantité 'di est racine dune équation^ le premier membre de cette équation est exactement dii^isible par le binôme x — a.

Dans cet énoncé, on suppose que l'équation est de la forme

[A] j:'"-f-Pj:'"~' + Qj:'»-^ ..+Tj:' + U = 0.

Pour abréger, je désignerai le premier membre par X, de sorte que Téqualion elle-même se dé ignera simplement par X= 0.

Divisons X par x — a,- comme le diviseur esldu premier deyré, on pourra pousser l'opération jusqu'à ce qu'on trouve un reste qoi ne contienne plus x. Nommons Y le quotient et Z le reste, on

aura

j:'"4-Px'"-'+Qj:'"~"+etc. = (a:— a)Y4-Z.

Si on fait j: = a , le produit {x — a)Y sera nul : car a: — a devient zéro, et Y ne peut pas devenir inGni attendu que x n'y enlre pas en dénominateur. D'ailleurs Z ne change pas, puisque x n'y entre pas; donc l'égalité précédente se réduit à

^'« + Pa'«- » + Qa'»-^' + etc. = Z .

De là on tire cette conséquence que, quel que soit a , le reste Z de la division de X par x — a s'obtient en changeant x en a dans X. Donc, lorsque a est racine de l'équation X=0, Z sera nul; donc alors X est exactement divisible par x—a.

Autre démonstration. Quelle que soit la quantité a, le polynôme X peut s'écrire ainsi :

La première ligne contient les différences x"' — ^ï"», jc™— '— a»"-', etc., lesquelles sont toutes divisibles par x — a; donc la seconde ligne est le reste independapt.de x qu'on doit obtenir en divisant X par -fc^oT tTr,"!! est evîaent qdêcê reste n'est auti-e chose que^ ; donc, lorsque a est racine do l'équation X= 0, le polynôme X est divisible par X — a.

Remarque, Par celte derniôro démonstration , on Voit aussi que

h.ji ». •/ •■"» 'K

9M LSÇQRS UALCeiSE.

pour iVcrfr le quotient i)oX par j'—(i il n'y a qu'à diïiger «■" — a". a"—' — a"^', etc. par jr — a, et à ajouter entre eu\ tous les quotients, .qwèsaroirinviKipUë le^-parP^ le 8° par Q, elc. Ces divers fienU Hrt bdlcs à former, et il vient

^=jr-'4-fl]j:*-*+a' lx"~'..,.4-(i"-'

r— « ^.pj +pa ....+Pd—

lents.

Aanate, tout M qa'oD Tient ie àbaicmlnr iam aa^ éUt4i$

. 881. TrtOfttav*. {Tn pofyjteme- quelççiiquê X^ delafûim ' j^l^ir-'+tie Mt loujoun ta^nidtiii de m /actetirt Mnybt.MH fiù X— a, X — ]>, etc. Par itùte Piquaiion X =0^«ut apo)fr-M|J^ «tBM, etjamàù datuintage, ' /\-

Ici, on 8appon admis qàe loote jqaatioii algétriqne te mil , ^OM ndncrtelle oit imagfauirê. Soit àaac d nnentiBB éiTtl^ tkiiiX=0; le polynôme X d(^t 4tre divisible par x—d(9MfiS prcnder terme da qadtiaat sera éridemment j;--',' et ea dèd^Êmt ce quotient, d'une manière abrégft, par x''—+etc., on aura

\=^{x—a){x'—+etc.).

Puisque toute équation a une racine, il existe une valeor b qui, mise à la place de j», anéantit x-'-'+elc.j donc ce TactenrestdiTisible par X— ft; donc, si on désigne le quotient par :r--'+ etc., « anra .r"'-'+etc. = (a: — ô) (x"-'%elc.), et par suite

t=(j:-^a)(x— i) (j*-'+etc.). -

£n répétant le^éme raisonnement , on décompose le poIynoDK j:"-»+eté. couji^e on a décomposé le précédent x"-'4-etc.j et« continuant ainsj, chaque opération mettra en évidence un noaTeu facteur du 1" degré en même temps qu'elle diminuera d'une niùlé le degré du dernier quotient. On arrivera donc enfin à un qoolioit .qui lui-même sera du f" degré, et dont le premier ferme senf- •4*ar conséquent, si on désigne ce quotient par x — /, le po1fn(Hi>e X sera décomposé en m facteurs romme il snit :

X=ix~a)ix—b][x—c),...{j:—[).

LKçoNS d'algAbai» 341

A qaoi il faut ajouter que les binômes x-^-a^ x-^b , etc. étant des facteurs premiers , dans le sens expliqué n"* 371 , il n'y a aucun autre système de facteurs premiers qui puisse reproduire X. Ainsi, on est sûr qu'aucun binôme nouveau x-y^nepeut être un divi-/c< seur de X.

Corollaire, La possibilité de ^ décomposition précédente étant établie, on reconnaît sur-le-champ que l'équation X=0 doit avoir m racines; car son premier membre déifient nul par chacune des valeurs j:=a, jc=ô, j:.==c,.., .ar = /. De plus, elle ne pçutpas avcMr d'autres racines; car s'il en existait une nouvelle, a, le binôme X — a serait un nouveau diviseur de X, ce qui est impossible (*). Remarque. Si quelques-unes des quantités a^ 6, c,... sont égales entre elles, il n'y a plus alors ^Valeurs différentes de x qui véj^fient l'équation. Gepend»^ on est convenu de ftnsidérer toujours le degré de Téquation comme indiquant le nombre des racines ; maîp alors on sous<entend que plusi<tirs de ces racines peuvent détenir égales. Ainsi , en supposant qu'il y ait dans l'équation a facteurs égaux à X'-a , on dira que parmi les racines il y en a a qui sont égales ka, .

382. Théorème. Dans toute équation ramenée à la forme ordinaire^ les coefficients sont composés avec leê racines a, b, C,... oittsi qu'il suit : Le coefficient du 2* ternie^ pris ai^ec un signe contraire^ est la somme des racines. Le coefficient du 3* terme eif la somme des produits des racines multipliées deux à deux.

C) On peat éviter la considération des facteurs premiers eu observant ^ne si on remplace x par une quantité a difi'érente de a, de &,... de /, il I n'est pas possible que X devienne zéro, pnisqu aucun de ses facteurs ne s'aj liéantit; donc Téquation X=o na point d'autres racines que a, 5,... /. X. Bona aussi, X ne saurait être divisible par un binôme x — <&, difierent de I *—a, de X — b, etc. Car si cela était, X deviendrait zéro en faisant x=za, et ^ ]^r conséquent a serait une nouvelle racine de l'équation X=ro. \. Ce raisonnement est fondé sur ce qu'un produit ne peut pas être nul lors- * cancan de ses facteurs ne Test. Cette assertion , ainsi qu on Fa déjà ref turque dans le coroll. n^ 3^7, est évidente d'elle-même quand les facteurs Sont réels. Mais ici les lettres x, a» b, c..., peuvent représenter des quantités imaginaires, et il n'est plus évident que les termes du produit ne puisant point se détruire entre eux sans que cela arrive dans Tun des facteurs. ^ar cette raison y la démonstration dn texte doit être préférée, à moins qu'on i ^ veuille B*aippnyer tar le corollaire qu'on vient de citer.

342 LEÇONS d'âlgâbre.

Le coefficient du^^ ternie^ pris at^ec un signe contraire^ est la somme des produits des racines multipliées trois à trois. Ainsi de suite ^ en ayant soin de changer les signes des coefficients de termes de rang pair, Enjin,^ le dernier ternie,^ prii avec son signe ou avec un signe contraire ,^ suii>ant que le degré de V équation est pair ouimpair^ est le produit de toutes les racines.

On sait (212) que dans le produit de plusieurs binômes tels que j?+«, j:+6, x+c^,.. le Coefficient du 2® terme est égal à la somme des seconds termes des binômes , que le coefficient du 3* terme est égal à la somme de leurs produits deux à deux, etc. Or, on a vu tout à l'heure que dans une équation de la forme jr«+Pjr"-~'+ etc.=0, le premier membre est composé de m facteurs simples x — /z, jc — 6, o^c, etc. , et quel£p quantités a^ ï, c ,etc. , sont les racines de cette équation. On pourra donc appliquer iq||les règles qu'on vient de rappeler, pourvu qi^'on ait soin d'y remplacer a, b, c^,,, par — a^ — ô, — c,^., c'est-à-dire, parles racines elles-mêmes, prises afcrec des signes contraires. De là résulte le théorème énoncé.

383. Remarque, Il semble, au premier coup d'œil, que ce» relations pourront faire connaître les racines. En effet, elles donnent sur-le-champ des équations dans lesquelles entrent ces racines, pt qui sont encombré égal aux coefficients de Téquation (abstraction faite du premier terme dont le coefficient est l'unité). Or le nombre de ces coefficients est égal au degré deréquation* ainsi on aura autant d'équations que de racines inconnues. Mais malheureusement, quand on cherche à les résoudre, on est toujours ramené à l'équation proposée elle-même, de' sorte que la question ne fait aucun progrès.

Pour plus de simplicité , je prendrai l'équation du 3" degré

En désignant les trois racines par ^, ft, <?, on aurait, pour déter^ miner ces racines , les trois relations

Pour en déduire une équation qui ne contienne plus que la seule inconnue a , le procédé le plus simple consiste à multiplier la 1"*

par a% la 2« par a , et à les ajouter ensuite avec la 3% membre à membre. Il vient d'abord

■^a^b'\^a*c-{-abc — abci

poia, en effectuant les réductions et transposant — A

û'+Pa'+Qa + R = 0.

Les inconnues bçic sont ainsi éliminées , mais on arrive à une é({aation tout à fait semblable à la proposée, et dont la résolution doit par conséquent offrir les mêmes diflicultés.

n en serait encore de même de l'équation (pii ne renferme que 6 on c. En effet, si au lieu de mulliplier les deux premières équations par a* et a, on les multipliait respectivement par W et par ^, ou bien par c^ et par c, cl si ensuite on les ajoutait 'avec la 3% on (^tiendrait ces équations,

etl'on voit que l'on est toujours ramené è des équations entièrement semblables à la proposée.

On pourrait croire qu'en cherchan| quelque autfe procédé d'élittination , il serait possible de parvenir à une.équation d'une résolation plus facile. Mais voici un raisonnement qui doit convaincre da contraire. Les trois ijgconnues «, //, c, entrent do !a même ma-^ nière dans les trois équations, de telle sorte que ces équations ne changent point quand on fait entre a^ b^c, telle permutation qu'on voudra De là il suit que les mômes calculs qui conduisent à l'équatioD finale en a doivent se répéter pour avoir Tétjuation finale m b ouen c, avec cette seule différence qu'on remplacera partout a par b ou par c. Chacune de ces trois équations finales doit donc à elle seule déterminer les valeurs des trois racines de Téqaalion proposée [1] , et par conséquent aucune d'elles ne saurait être différente de celte équation elle-même.

On arrive encore plus rapidement à cette conclusion en observant que chacune des lettres a^ b^c^ rcprésonte indifTéremmonl lelic faciae qu'on voudra. Donc, lorsqu'on aura trouvé par un moyen ^ladconque une équation qui ne renfermera plus que a^onb^ ou c,

344 LEÇONS b'algébrk.

elle devra détenniner ponr valeurs de cette ioconnae les racines mêmes de Téc^alion proposée, et par conséquent être toute semblable à cette équation.

Olisenrations auxquelles donnent lieu les racines imaginaires.

384. On sufjpose ordinairement que les coefficients des équations algébriques sont réels ; mais on atteindra une plus grande généralité en les considérant comme représentant des expressions de la forme a+b K — 1, aei b étant des quantités réelles : car cette hypothèse comprend la première en faisant ^=0. Dans le no 379, c'est en donnant aux coefficients ce degré d'étendue, qu'il a été reconnu qu'une équation algébrique a toujours au moins une racine de la forme a'\*b]/—i^ réelle ou imaginaire; et maintenant je veux faire remarquer qu'en admettant cette proposition comme d^ootrée, les m racines de Téquation X=: 0 ou

[A] af^ + P j:«-' + Qx"»-» + etc. = 0

doivent toutes avoir la même forme a+b K— 1.

En efîot, soit x=^a^b V^ — 1 la racine dont l'existence est démontrée. On sait que le polynôme jc"' + etc. est divisible par jc — {a + bl^ — i). Or, quand on effectue cette division, les quantités a + b P^— 1, P, Q , etc. ne peuvent se combiner que par addition, par soustraction, et par multiplication; donc les coeffi- • cients du quotient j:''*«^*rhotc. seront encore de la forme a+bl^ — 1. Par suite, l'équation .r'"-'+etc. = 0 aura aussi au moins une racine a' + b'V^ — 1 de cctlc forme, et en divisant j:'"— ' + etc. par œ—[a'+b'\^ — 1), les cocfïïcieiUs du quotient j:'»--=» + etc. seront encore de la m^me forme. En continuant de raisonner ainsi , il est clair que le polynôme primitif X se trouvera décomposé en m facteurs tels que x — {a+-b [^ — 1) , et que par conséquent les racines de l'équation seront toutes de la forme a + bV^'^^X,