Si on considère deux équations conjuguées
[1] Y+ZK^=0, [2] Y--ZK^=0,
qui ne diffèrent que par le signe de Z\/ — 1, et dans lesquelles Y et Z sont des polynômes en x dont tous les coefficients sont des
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KMiibres réels ; les racines de Tune seront les quantités conjurées ks racines de l'autre. En effet, soit x^a-^-bV^^i une radne le l'équation [1], et soit T+Z'^^i le quotient de son premier membre par x — a — bl^ — Ij on aura identiquement
[3] (Y'+ZV^){x—a—bl/^)=zY + Z\/^.
En effectuant la multiplication indiquée dans le premier membre ^ on trouve le produit
Or, en changeant dans les deux facteurs Z' en — Z' et 6 en — b, on Toitque, dans le produit, la partie qui ne contient pas 1^ — 1 reste la même , et que celle qui contient i^ — 1 change seulement de signe ; donc , par cela seul qu'on a Tégalité identique [3] , on doit aussi avoir
[H] (Y'— ZV— l)(x— tf +6K— 1) =Y-Z K— 1 .
De là on conclut que x=a — b\/^^ est racine de Téquation [2] : c'est-à-dire qa'on obtient toutes les racines de cette équation en :^ngeant dans celles de Téquation [1] le signe de V^ — 1. Si on ne 'ait attention qu'aux racines réelles, cette conclusion montre qu'elles ont les mêmes dans les deux équations.
386. Une particularité remarquable se présente lorsque les efficients P, Q, R,.... sont réels : c'est qu'alors l'équation ne Nïut pas avoir une racine imaginaire a+bl^ — 1 sans en avoir une econde égale à a — bl^ — 1. En effet, supposons qu'après avoir livisé X par x — a —6 1^ — 1 on réunisse tous les termes du quoient qui contiennent l^ — ^^1, et que ce quotient soit représenté par Ï+Z y^^ de telle sorte qu'on ait
[5] X=(Y+Zl/^)(x— ^z — 6|/=î.
En effectuant la multiplication, le produit pourra s'écrire ainsi :
[6] X = {X'^a)Y+bZ + [{x—a)Z'-bY]y^.
Mais puisque X est un polynôme qui ne contient pas K—1 la par-
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lie qui, dans ce produit , multiplie V — 1, doit B'anéaotir d'elle* même ; donc on doit avoir «mplemeat
Maintenant , dans les deux facteurs de l'expression [5] changeons Z en — Z et ft en — b. Pour avoir le nouveau produit, il suffira de faire les mêmes changements dans l'expression [6], et par là elle ne subit pas d'autre altération que celle du signe de la partie affectée de K-— 1. Or, on vient de voir que cette partie est nulle d'ellemême ; donc , on retrouve encore pour produit le polynôme X. Ainsi l'on doit avoir
X=(Y— Zl/^)(:r — ^+fcj/^);
donc la valeur x=a — fc J/ — 1 est racine de l'équation X =0.
Il suit de là que les racines imaginaires de cette équation sont en nombre pair et peuvent se grouper par couples de la forme x^=^a±ihy — 1. Eu multipliant entre eux les deux facteurs du l**" degré , correspondant à un tel couple, il vient
(^a— i|/— 1)(j:— a+il/-^) = (x— a)^+6"
Ce produit est un trinôme réel du 2' degré , c'est-à-dire que ses coefficioiits sont réels.
On peut dor.c regarder comme démontrée cette belle proposition; Qu'iuie èquatioji algébrique à coefficients réels est toujours coni' posée d' autant de facteurs réels du 1'*'' degré qu^elle a de racines réelles , et d'autant de facteurs réels du 2*, qu'elle a de couples de racines imaginaires.
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ni
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