THÉORIE DES RACINES EGALES

Transformation des cquationt.

S87. Considérée d'une manière générale , la transformation des éqnalions a pour objet de déduire d'une équation donnée une nou- Tdle équation dont les racines ai(»nt avec celles de la première une relation connue. Les questions suivantes, quoique fort simples, suffiront pour comprendre le but de cette théorie et les procédés qu'elle emploie.

I. Question I. Une équation étant donnée, changer les signes de

■ ses racines.

Par là on veut dire qu'il faut trouver une équation dont les racines soient celles qu'on obtiendrait en changeant les signes des Pleines de l'équation donnée ; donc, si on appelle x IJinconnue de l'équation donnée , et y cell^ de l'équation transformée, on devra avoir jc = — y. Ainsi il faut remplacer x par —y dans Féqualion donnée. 11 est clair, en effet, que si une quantité a est racine de Tone des deux équations, la quantité — a sera racine de l'autre. Soit l'équation abnnée

'* [A] jc^ + P j:"»-' + Qjr*-* 4- etc. = 0.

Après la substitution, les coefficients seront évidemment les mêmes, avec cette seule différence , que ceux des puissances impaires tle l'inconnue auront des signes contraires. Si m est pair, le premier terme de la nouvelle équation sera donc ^"*, et si w est impair, il sera — ^"». Mais comme il est permis de changer tous les signes de l'équation , on peut dans ce dernier cas rendre le premier terme %al à ^'", et alors ce seront les coefficients des puissances paires Vti prendront des signes contraire!.

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S88/ Quimoii H. Former^P équation dont les raaàfé i6U^^ €^proque$de celles JtuM éqùaiion 4ohnié . ^,^

Demie quantités dont le pioddft est 1 sont réciproques Vubb 4|

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'' oa bien » en nmltipUant par x», divisant par U, et renversant îedin l^des termes,

389' Question III. Multiplier par une quantité quelconque ï les racines (Tune équation donnée

L'énoncé exige que les racines de la transformée soient les produits qu'on obtiendrait en multipliant par k toutes les racines de l'équation [A]. Ainsi , y étant la nouvelle inconnue , on aura

jrzs^kx ou ^=^T\

et par suite l'équation [A] se change en celle-ci :

n est bien évident que la substitution de ka , au lieu de j^ dans cette équation , donne le même résultat que la substitution de a «a

le X dans Téquation [A] ; de sorte qae a ne peut pas être une 3 de l'équation en x sans que le produit ka en soit une de Té- 3n en y,

multiplie par k^ tous les termes de cette transformée et on t ainsi :

\ on Toit que ses coefficients peuvent se déduire immédiatede ceux de la proposée [A] , en multipliant ces derniers ressèment par k^^ k\ A:*,...A:^, de telle sorte que dans chaque \ de la nouvelle équation la somme des exposants de A: et ^ gale à m.

transformation précédente comprend celle qui se proposerait iriser les racines par un nombre k : car celle-ci revient à mul-

r les racines par -r , et par conséquent à diviser les coefficients

quation donnée par /:% k\ A*,...

). Question IV. Transformer une équation , qui a des coeffL" ^ fractionnaires t en une autre qui nuit plus de dénomina- , et dont le premier terme ait toujours V unité pour coefficient» issant la quantité k tout à fait indéterminée, faisons kx^=y^ fectuons la transformation du numéro précédent. Les coeffis P, Q , étant fractionnaires , formons un nombre N qui soit ible par chaque dénominateur, et prenons A = N. Il est clair lans réquation [B] les coefficients PA, QA:%... deviendront en- . Ainsi , on résout la question en multipliant les racines de ation donnée [A] par un nombre N , qui soit divisible par un des dénominateurs,

lelquefois on peut prendre pour multiplicateur un nombre idre. Par exemple , soit Téquation

Qultipliant ses racines par k , la transformée sera

3^ 5Ay 2A3^ *^ 2 4 9 '

38 dénominateurs disparaîtront si on prend âs4x9$ nuûs il

suiBra de prendre il =2x3. En effet , il vient

391. Question Y. Augmenter ou diminuer d' une quantité k Us racines d'une équation donnée

[A] a-»+Pa:^-'+Qj:'"-«...+Tjr+U = 0.

Posons j?=^*4-A", on aura ^ = jr— â:/ et par conséquent, en substituant ^+â au lieu de x dans [A], on aura une transformée dont les racines seront celles de celie équation diminuées de k. Pour qu'elles fussent augmentées de k il faudrait changer partout k en — k.

En opérant la substitution de ^+A:, on a d'abord

puis , en développant les puissances ,

[C] y'-^mk +P

mim — 1) -

riïi— I J^ i 1 jt'

+ (/n— 1)PX:

rm — a