TA
Si on voulait présenter cette équation dans un ordre inverse, c'est-à-dire , de manière que les exposants de y fussent croissants, on substituerait, dans [A], k+y au lieu de y-\-k. Alors il vieot
K+K>+iKV+-:3KV...-f-r^^0, en faisant , pour abréger, K =A'«+PA'«-« + QA-'»-^..+TA:+U,
K'''=/w(w-.l)(/»-2)Aî'"-34.(;yj.l)(;;j.2)(/7i-3)Pi:'»-4+,.., j
etc.
Remarques, Ces quantités K, K', K", etc. sont liées avec l'équation proposée [A] suivant une loi très-simple sur laquelle il imporlô de fixer lattention.
LBÇONS d'algAbw. 351
La première K se forme en écrivant k au lieu de x dans le prenier membre X.
K' se déduit de K en multipliant chaque terme de K par l'expo* ant qui affecte k dans ce terme, et eu diminuant ensuite cet expo- Binl ^'une unité. Comme le terme U équivaut à UX."*, il doit s'anéantir dans cette opération, puisqu'il est multiplié par zéro.
K'' se déduit semblablement de K'; K''' de K"; et ainsi de suite.
Les quantités K', K'', K'",.* portent le nom de polynômes déri-vis, K' est le polynôme dérivé de K , K'' est le polynôme dérivé de K', etc. On dit encore que K' est le premier polynôme dérivé de t, que K'' est le second , et ainsi des autres.
Les lois précédentes donnent le moyen d'effectuer avec facilité la substitution de k+y à la place de x dans une équation quelconque. Tar exemple, soit celle-ci
«laura K=F--2yt'— 4)t+5, K'=3^'— U— 4, K"=6A— 4, ^"=6^ et par suite, en ayant soin de diviser K" par 2, et K"' 'par 2. 3 9 la transformée sera
(i3 2A'4^+5)+ (3A:*— 4*— 4)^+(3ifc— 2)y+j^= 0.
392. Question VI. Transformer une équation en une autre qui manque cPun certain terme.
Soit toujours l'équation
faisons j:=^+A-, y étant une nouvelle inconnue, et k une indéterminée dont on peut disposer à volonté. Par cette substitution , on obtient réquation désignée plus haut par [G]. Si on veut que le second terme disparaisse, il faut déterminer k
par l'équation
mA+P = 0, d'où k=: :
.îJ P et alors la valeur j:=^+A: devient x=x . Donc onfaitèva-
nouir le second terme d'une équation en substituant , à l'inconnue de cette équation , une nout^elle inconnue , à laquelle on ajoute le coefficient du second terme de V équation , pris a^fec un signe con^ traire et diwé par le degré de réquation.
35â LEÇONS d'alqébre.
Le troisième terme disparait en posant
/vw(/»—l )*•+(/»— 1)P^+Q = 0.
De là on tire en général deux yaleors pour k^ par conséqaent i] existe deux substitutions différentes pour transformer une éqpatioa en une autre qui n'ait plus de troisième terme. j
L'évanouissement du quatrième terme dépend d'une équation dn troisième degré ; et ainsi de suite jusqu'au dernier, qui ne disparaît qu'en déterminant k par une équation toute semblable à la propo-' fiée 9 savoir :
