A:^+ PA:"»-' + QA"-*. . . +TA: + U

La raison de cette ressemblance est facile à trouver. Égaler àj zéro le dernier terme de l'équation en j^, c'est supposer qu'une deri valeurs de ^ est nulle : car lorsque cette équation n'a plus de demiin terme, elle se vériûe évidemment en faisant ^= 0. Par suite la relation x=y'\'k devient x = A:/ donc on doit prendre pour/: une quelconque des valeurs de •; donc k doit être déterminé parla même équation que x,

393. Remarques. Lorsque Ton fait évanouir un terme, il se peut qu'un ou plusieurs autres disparaissent en même temps ; mais i! faut pour cela qu'il y ait entre les coefficients de l'équation donnéel quelques relations particulières. Supposons, par exemple, qa'ôal demande celle qui doit exister pour que le second terme et le troi-| sième disparaissent ensemble. Il faudra qu'on ait à la fois ?

/nA:+P = 0, i/w(m— l)A:'+(m— 1)PA"+Q = 0.

Or, la première équation donne A= ; U faut donc que cettn

valeur satisfasse à la seconde , ce qui donne y

ou , réductions faites ,

telle serait la- condition cherchée. Si de là on tire la valeur deQ pour la porter dans l'équation [A] , on aura la forme générale im. équations dont le second et le troisième terme doivent disparaître al même temps.

LAGONS d'algèbre. 353

394. Il ne faut pas croire qu'on puisse , par des iransforma- Ikms successives, faire évanouir d'abord un terme, puis un seoond, puis un troisième, etc. : car chacpie opération ferait rejfvaltre le terme anéanti par la précédente. Soit en effet une

ition

j:« + Qj:*»-a + etc. = 0 ,

li manque déjà do second terme. La substitution de>^ •+• ^ au lien

.r donne

. (j^+A)«+Q(j/-+A:)'»-a + etc. = 0,

Oq , en développant ,

W, an voit que la valeur de h qui anéantirait le terme en ^~"* Serait différente de zéro, et que par conséquem le terme en y"-' reparaîtrait.

395. Souvent la composition des équations met en évidence le saccès des transformations. Supposons que l'équation [A] décomposée en facteurs soit

[1] ( j:— fit) {pc'-b) {x^c) . . . = 0.

Si on remplace x par— j:, et si ensuite on change les signes de tous les facteurs , ce qui est permis , il vient

et il est évident, à la seule inspection de cette équation , que ses racines sont égales à celles de la proposée, mais de signes contraires : c'est la transformation du n"" 387.

Le changement de j: en — dans [1] donne

Onpeutmultiplier les facteurs respectivement par -, t-, — ,... et ^duingcr le signe de chacun. De cette manière il vient

ai

iu

L$^» OÂUitBU.

l'exige la question il.

Faisons -i' = V, ft mullipUons chaque facLrur par i, ce qui rc- Tient il mulliplicr loute l'équalion par l-^; on trouve

équation dont les racines sont^n , Ai, kc,... Cette transformatiim est celle du n" 389. *

Faisons comme au n'^ 391, j:— ^+A ■ l'cquatiou [Ij déviant

et celle-ci a évidemment pour racines a~i, b^k, c — A,..., c'«là-dire, les racinefde la proposée, chacune diminui^'e de X. Lorsque , pour faire évanouir le deuxième terme de l'équalioii

[A], on foil x=y-

donc , en se souvenant que a sera

- , les racines de la Iraiisfomiée sont

c... = — P{n°3.Si), leurs

c'csl-à-dire que l'équalion en 7- n'aura point de second terme, te qui est en eit'et le but de la transformation.

396. Dans les questions que nous avons traitées , il y avait i^lre l'inconnue primitive x et la nouvelle inconnue y une relation fort simple : mais quelle que soit cette relation , la marche à suivre sera toujours la même. Ainsi, on exprimera d'abord cette relation par une équation , puis on en tirera la valeur de x en y, \m enfin on substituera cette valeur dans Téqualion proposée.

H pourrait se faire que l'équation de relation entre j.- et y ^ trop compliquée pour être résolue par rapport » x. Alors il faudra éliminer r, entre celte équation et la proposée, par les n»thiides qui seront esposées plus tard.

R^rherche det diTueurs des équatiom*

397. La résolution' des équations serait complète si Ton pouyait toujours, lorsqu'une équation est donnée, déterminer un diyiseur de cette équation : car alors on descendrait par des rédactions successives jusqu'à des équations du i" degré. En effet, soit

Féquation proposée, Y un diyiseur de X, et Z le quotient; cette équation se changera en 9