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Or, pour satisfaire à celle-ci, il faut et il suffit cpie Tan de ses •fiMtanrs soit zéro ; ainsi on aurait à résoudre séparément les deux

fi sont de degré moindre que X. Semblablement chacune d'elles M décomposerait en deux autres , et ainsi de suite : de sorte que la résolution de l'équation X = 0 flnirait pas s'abaisser à des équations du 1^"^ degré. Malheureusement, on y erra tout à l*heure qu'en général la recherche des diviseurs est un problème ta moins aussi difficile que la résolution de Féquation proposée ^-méme;

Quand on parle dos diviseurs d'une équation X = 0, i| faut toujours, pour donner plus de précision au langage, entendre mae cette équation est ramenée à la forme ordinaire

[a] x^+'Px"'-*+Qx"'-^+ etc. = 0 ,

M que les diviseurs sont aussi des polynômes en x , ayant ton^ , ciqmme X, l'unité pour coefficient du 1'' terme. Alors, tout di- Nseur d'un degré supérieur au premier ne pourra être qu'un lait de quelquos-uns des facteurs simples de Féquation : au* ;nt , il y aurait plusieurs manières de la décomposer en fac* premiers, ce qui est impossible.

De là il suit que l'équation doit avoir autant de diviseurs du 2^

i 35C lEçoiïs D'AtctBits.

de|;rL> , du 3', etc. , qu'on peut former de produits en multipliant S ù 2 , 3 à 3 , etc. , SCS m taclcur<> itimples. Ainsi [â09},

le nombre des diviseurs Un 2' degré = - — ,

le nombre des diviseurs du 3' degré =; ~

etc.

398. Espliqucms maintenant comment on procède à la recherche de ces diviseurs. Supposons qu'on demande ceux da 2* degré.

Ils doivent tous étA de la forme jc'+px+q, et les coefficients/^ et <^ doivent Hrc tels qu'on puisse diviser exactement le '. polynôme X par x''+pj:+q. En conséquence, on eCfectuera celte division jusqu'à ce qu'on ail un reste de degré moindre que cedivisenr, c'esl-â-dire, du 1" degré; et alors on remarquetaqoe Bip et q avaient des valeurs convenables , les termes en a: dansce reste devraient se détruire entre eux , et les termes sans .£- se dé- 1 Iruire anssi entre eux. Or ce reste sera de la forme Aj;+B, ' A et fi étant des quantités dans lesquelles entrent les inconnues p et (/ combinées avec les coefficieDls de l'équation proposée : il faudra donc poser

et la résolution de ces équations , si elle était possible, ferait connaître^ et y.

Tous les procédés imaginés pour opérer une telle résolulion ! ramédent toujours à résoniir;* une équation unique quinecon-1 tient plus qu'une seule inconnue , et qu'on nomme ùquado'i finale. Ces méUiodes d'élimination seront expliquées plus Join;J mais on peut reconnaître dès à présent à quel degré doit s'eleTerj l'équation finale de laquelle dépend séparément^» ou y. En eilcl,| il doit y avoir autant de valeurs pour p ou q que l'équation a de diviseurs du 2" degré, et par conséquent chacune de ces quiintités, considérée séparément, doit être déterminée par une équation du degré ^m(/it — 1).

Lorsquem^3, ce degré:=3; mais lorsque m surpasse 3, il est plus grand que m. Ainsi , au delà du 3° degré , pour connaîd* p m\ q, on est conduit à une t^ualinn de degré plus élevé qnel*

LEÇO.NS DALGÈBA£. 357

proposée 9 et par conséquent elle est plus difficile à résoudre, sauf les cas particuliers .

En général , si on cherche un diviseur du degré n , Téquation finale, de laquelle dépend un coefficient quelconque de ce diviseur, doit s'élever au degré