IL

Quand on suppose /t = l ou/i = //i — 1, celte formule devient

égale à m. Mais si on fait successivement /^ = 2 , 3 , 4 , elle

donne des nombres croissants tant qu'on a

/i<m— w + i, d'où n<:i\{m-{-\)\

et, passé cette limite , elle donnera des nombres décroissants qui seront , dans un ordre inverse , les mêmes que les précédents. Ainsi, en général, la détermination d'un diviseur de degré supérieur à 1 , et inférieur à /// — 1 , dépend d'une équation plus élevée que la proposée.

399. La recherche des diviseurs d'une équation peut encore se faire par un procédé qui en général est plus commode, et qui consiste à introduire dans le calcul, comme autant d'inconnues distinctes, les coefficients du quotient aussi bien que ceux du diviseur. Touà ces cooffi('i(»nts sont en nombre m , et on les déterminera d'après la condition que la multiplication du diviseur par le quotient reproduises l'équation proposée terme pour terme.

400. Pour première application, je chercherai les diviseurs du 2® degré de l'équation du 3°; et comme on peut toujours faire disparaître le second terme de cette équation, je supposerai qu'elle soit

Conformément à la première méthode (398), je diviserai •r^-hQ.r+R par x" '\'px+q.

— x^ — px" — qx I X — p

— jyj:"+(Q— 5r)jr+R

Parvenu au reste du 1'^ degré , je dois égaler à zéro le multipli-

•M LUtam D'uLeftmti.

CAtear de j> dans ce reste , ainsi que !a partie tn<lt'pendaDtc <li; ~f i

l'on a ainsi ces doux équatioiis

De la seconde on lire y = , et jiar suite la première devl

C'est do celle-ci qu'il faudrait tirer le^ voleurs de /i,* et ensuite (il calculerait les valeur» correspondantes de y.

II est reniarquahlc que cette équation suit tonte pareille à la proposée, et c'est ce qu'il était facile de prévoir. En effet, chaque diviseur du 2° degré devant t^tre le produit de deux diviseurs du i", le coefficient du deuiLième terme de ce diviseur est la somoie de deux racines de l'équation proposée , chacune prise avec un signe contraire. Or, celte équation manquant de deuxième terme, la somme de ses trois racines est zéro^ donc la somme de dcui quelconques d'entre elles , prises avec des signes contraires , est égale à la troisième ; donc les valeurs du (XHilTicienlp ne sont autres que les racines mêmes de t'équation proposée.

401. Pour seconde application, considérons l équation du i' degré

.ï'+Q-£''+Rx+S=0,

et cherchons ses diviseurs du 2° degré par le procédé du n° 39!). On posera

et, après avoir effectué la mulliplicalion, on égalera entreeux ici multiplicateurs des puissances semblables de x. On a ainsi, pour déterminer les inconnues/), y, //, t/', ces quatre équations j

p+j,=Q, ,j + ,/+pp'=Q^ i,'f/+j>f/ = R^ qq'= Les trois premières donnent

p'+Qp—R , /+Qp+R

cl par suilc la quatrième équation devient

|p»4.Qp B)|p'4-Qf+B)^g

» MSÇONb DKLiithhË. 359

OQ bien , tontes rédactions faites ,

Cette équation est du 6^ degré ; mais comme elle ne contient qae des puissances paires de y;, on peut prendre // pour inconnue, et elle ne sera plus que du 3^ Si on pouvait en tirer les trois valeurs de j}\ elles feraient connaître pour p six valeurs , égales deux à deux et de signes contraires ; et ensuite on calculerait facilement les valeurs correspondantes de//, q et r/.

Il suffit de conuaitre une seule valeur de p pour qu'on puisse résoudre Téquation du 4^" degré : car alors elle se décomposera en deux équations du â'^ degré , dont les racines seront celles de la poposée. C'est ainsi que Descartes a ramené le 4« degré au 3°; nais ce procédé reste sans succès dans les degrés supérieurs.

La seule inspection de Téquation en /? a suffi pour juger qu'elle doit s'abaisser au S"" degré , et il semble que ce ne soit là qu'un résultat heureux et tout à fait inattendu du calcul. Cependant rien n'était plus facile à prévoir. En effet, si on désigne par a^ 6, c, d^ 1^ quatre racines de l'équation proposée , les valeurs de 77

devront être

— a — ^, — a — c, — a — rf,

Or, c^tteiéquation n'ayant plus de 2« terme, on a a + b+c + d= 0 j donc les trois dernières valeurs de p sont égales et de signes contraires aux trois précédentes ; donc l'équation en p ne doit contenir que des puissances paires icp.

402. Je ne quitterai point ce sujet sans donner un dernier exemple de la facilité avec laquelle la composition des équations fait prévoir certaines particularités du calcul.

Soit l'équation copiplètc du 4® degré

et soit toujours x^ +px + 7 un quelconque de ses diviseurs du 2« degré. Ici la somme des racines a+Z>+^+/i=--P, cl les six Uleurs' de p ne seront plus égales deux à deux et de signes contraires; mais ce qu'il y a de très-remarquable, c'est que si on cherche l'équation en ;? et si on en fait évanouir le 2« terme au iiK>yen delà règle connue (392), les autres puissances impaires de 'inconnue devront aussi disparaître.

36â LKÇONS D^LGÈBKK.

En changeant x en x+y ou en y+x , on aura

On peut donc regarder Y comme un produit de m binômes, qui ont y pour premier terme, et dont les seconds termes sont jc — a, jc — 6, x — c, etc. Par suite , les règles connues (212) détermineront la composition des multiplicateurs des diverses puissances de^. Ainsi, la partie indépendante de j^ sera égale au produit des m facteurs {x — a)(x — b){x — c)....; la quantité qui multiplie j^ sera égale à la somme des produits de ces facteurs multipliés m — 1 à m — 1; etc. On vient de voir que ces mêmes quantités sont repré-

X' X" sentées par X, --, — , etc. de sorte que la composition des polynômes dérivés se trouve mise en évidence.

Si l'on Se borne au seul polynôme X', on pourra donc dire qu'un polynôme du degré m étant donné , son polynôme dérivé est égal à la somme des produits de ses facteurs simples, combinés m — 1 à m — 1; et comme ces produits peuvent s'obtenir en divisant successivement X par chacun des m facteurs x — a, x — à, x — c,.... on aura encore

X' = -h : + + etc.

Cela posé, admettons que Téquation X= 0 ait des racines égales, ou , ce qui est la même chose , que' X renferme des facteurs élevés à des puissances ; et soit

X = {X'-'a)''{x—by{x—c)(x — d)..,.

On ne prend ici que deux facteurs élevés à des puissances; s'il y en ayait davantage , le raisonnement ne changerait pas. ^

On vient de démontrer que le polynôme X' est égal à la somme des quotients qu'on obtiendra en divisant successivement X par chacun de ses m facteurs simples ; donc , puisque n facteurs sont égaux à X — a , et n' égaux à x — 6, on aura

n (x—ay- ' [x—by {x—c) [x—d)

+ nix—a)''{x—bY'-' {x—c)[x-^d)

X'= \ + {X'-'aY[x-'bY\x—d),„.

+ {x—aYlx^bYix—c),,,.

•f etc.

4M. Soit Tcquation X = 0 oa

Quand elle a des racines égales à ^ , il est clair qu'après Tavoir diyisécpar j: — a, l'équation résultante doit se vérifier encore en y faisant x=^a. Or, en introduisant cette hypotlièse dans le quotient rapporté n" 380, il devient

et ce résultat est le même qu'on obtiendrait en substituant a au lien de X dans le polynôme

mx'"- ' + [tu — 1) Pjt" '"-^ -f [m — 2) Qar'"-^, . . . +T ;

donc ce polynôme, que j'appellerai X', doit s'évanouir par cette substitution ; donc il est divisible par x — a^ donc x — a est facteur commun à X et à X'. \

Réciproquement , si x\a est facteur commun à ces deux polynômes, on sera sûr que Tequation X = 0 a des racines égales à a : car alors il est évident que la substitution de a au lieu de x fait évanouir à la fois et X et le quotient de X par x — a.

On rem^qucra sai^Hjùite que le polynôme X' se déduit de X d'après une loi très-simple'yiïui a déjà été remarquée (391), et qui lui a fait donner le nom de polynôme dérivé.

Ce qui précède montre bien que le plus grand diviseur conmiun ae X avec X' ne doit contenir que les facteurs égaux de X , mais on ne voit point à quels degrés ils s'y trouvent. Quoiqu'il soit très-facilft d'y parvenir par les considérations dont je viens de faire usage , jeçréfère reprendre en entier la théorie des racines égales par un [ffocédé qu'a indiou^ M. Lacroix dans son Complément des élémeats d^ algèbre^ eiqui me parait le plus simple. yK05. ConsidéronSc^'une manière générale les polynômes dérivés oeX , et montrons odbment ils sont composés avec les facteurs de X. D'abord , par ce qui a été dit dans le n*" 391, on sait qu'en changeant X en x+y dans le polynôme X, et en nommant X', X", X'",.- les polynômes dérivés successifs de X , le résultat de la substitution sera un polynôme Y qu'on peut écrire ainsi :

Xf -Yti -^rni

Maintenant soit

^6i LEÇONS d'algèbre.

sont à la 1'° puissance , les facteurs triples à la 2% etc. Si D est numérique 9 c'est que l'équation n'a point de racines égale^.

Cherchons de même le plus grand diviseur commu^ntre le po- /-' lynome D et son dérivé. Il devra être le produit des facteurs multiples de B, à une puissance moindre d'une unité : de sorte qu'il contiendra les facteurs triples de X à la r® puissance, les quadruples à la 2% etc. Si E est un nombre , il n'y aura pas dans X=0 de facteur dont le degré surpasse deux.

Cherchons encore le plus grand diviseur commun F entre le polynoflie E et son dérivé. Supposons que F contienne encore l'inconnue j:, mais qu'il n'en soit plus ainsi du commun diviseur de F et de son dérivé. Alors on sera sûr que dans X les facteurs de l'ordre le plus élevé sont ceux du 4% et que F est le produit de ces facteurs abaissés au 1" degré.

Désignons séparément par X,, X^, X3, X^, les produits des facteurs de cliaque degré de multiplicité , mais chacun pris une seule fois , savoir : par X, le produit des facteurs simples, par X, celui des facteurs doubles , par X3 celui des facteurs triples, par X4 celui des facteurs quadruples. On aura

X = X.Xj^Xj X/, D = X2X3*X4 , E = X3X4*, F = X4 .

De là , en divisant chaque égalité par la suivante , on tire X DE

=jj = XjXjXjX^ , ■= := X^XaX^ , =; =: X3X4 , F= X^ ;

puis , en divisant encore chacune de celles-ci par la suivante ,

jy — -^i» "^ — ^2 5 pS — -*3î -T A4.

Ainsi on voit qu'on pourra toujours trouver X,, X,, X3, X4 , et par conséquent ramener la résolution de l'équation X = 0 à celle j des équations partielles i

qui contiennent isolément les racines de chaque ordre de multiplicité , mais chacune prise une seule fois. Lorsqu'une des quantités X,, X,, X3,... sera égale à un nombre , on sera averti par là que les racines dont Tordre de multiplicité répond à cette quantité man- \ quent dans l'équation X ^ 0.

LEÇONS d'algâbrr. 365