Appliquons ce qui précède à l'équation

r. j:'— x"— *u:-''+ 4a:* + 5 j:»*— 5a:'-^ 2ji* + a = 0.

Id on a

X= aP^ x""— 4^:*+ 4j:r<+ 5jr*— 5j:'--2x+2, X'=7j:''-^6a'^— 20a:*+16ar'+15x'— 10:c— 2: •

et, en cherchant le plus grand commun diviseur de X et X', oa trouve

par là on est déjà certain que l'équation a des racines égales.

On cherche de même le plus grand diviseur commun £ entre le pdf nome D et son dérivé D'= 3jt* — 2x —1 , et l'on trouve

On est donc sûr que l'équation a des racines triples ; et puisque E est du l^*" degré, elle n'en admet point d'un degré de multiplicité supérieur au :V.

I En conservant à X, j X, , X3 , le même sens que tout à l'heure , on aura donc

X.X;X/= X = ,r^— 0?— 4ar^+etc., X,X,'= D = :c^— a^— a + 1, X3 = E = JC— 1.

En divisant la l*^*^ égalité par la 2% et la 2* par la 3«-, il vient

Puis, en traitant encore ces égalités de la même manière , on a

L'équation , décomposée en facteurs, sera donc

et par suite elle se partage en celles-ci ,

a'— 2=0, 07 + 1=0, a — 1 = 0, lesquelles sont faciles à résoudre et donnent

^Ktf

LEÇONS d'ai.GËBIIE.

itrc ilcnx inconnues ^ clj-,- et soit p une valeur donnée de. Si ou snbstitne (9 au lieu tley dans M elN, les résultais, que |i désignerai pnr M' et N', seront en général fondions de x. Or, est évident que la valeur p de ^ ne convient aux équations dOQj nées qu'autant qu'il existo au moins une valeur do x propre rendre nulles en même temps les deux quantités M' et N' ; ces quantités doivent avoir un commun diviseur fonction de x.

Il est clair, d'dilleurs , que cette condition suffit : car, sî D le commun diviseur et si on poseD = 0, chaque valeur x = 9 déduite de c^tte équation , étant substituée dans M' et N\ rcnA ces polynômes égaux à î!éro; par conséquent, en faisant à fois x = ix et^ = p dans M et N, ces quantités s'évanouiroid. c'est-à-dire que les équations propesées seront satisfaites.

Donc, en général, deujt équations à deux inconn données, pour qu'une valeur altriOuée à l'une rfes inconiuà CDwieiiae à ce$ équations , il est nécessaire et il suffit qtC i tubttilwinl dans ces équations , elle leurj'asse acquérir un ' nuBt diviseur fonction de l'autre inconnue; et, si ton ègt

■ to/ionun diviseur à zéro, on a une équation dont les ra sont les valeurs correspondantes de Vautre inconnue,