Ce principe montre aus« comment il faut s'y prendre

achever la résolution de deux équations à deux inconnues, Ifflff qu'on est arrivé, par un moyen quelconque, à une équation

Y == 0 , dont les racines sont ^s valeurs de y, et qu'on a déterminé toutes ces racines.

Sî l'équation Y = 0 renferme , outre les vraies valeurs de j', des valeurs étrangères aux équations proposées, on les reconnaîtra ^ ce qu'elles ne feront point acquérir à ces équations de commun diviseur fonction do x, eton doit les rejeter. Au contraire, si nne Taleur de y vérifie les proposées , indépendamment de toute valeurde J7 , il est clair qu'en lui adjoignant telle valqpr de x qu'on voudra , les équations seront toujours satisfaites.

412. En général, la résolution do deux i-quations à deux inconnues consiste à trouver tous les systèmes de valeurs qui, substituées à ta place des inconnues , peuvent sfitisfaire aux deux

■ équations, et l'on ramène toujours celte détermination à la résolution des équations à une seule inconnue. Pour réduire ainsi la question , il faut donc chercher à déduire des équations données une équation qui ne renferme plus qu'une inconnue ; et tel est !

LEÇOAS D ALGÈBRE. 369

m effet robjct des méthodes d'éliminalion ; et l'on regarde comme parfaites celles qui conduisent à une cqiuidon finale ayant pour racines toutes les valeurs de cette inconnue sans complication de yalcurs étrangères. .

Klimination dans qiicl({ups cas fort simples.

413. Lorsqu'on sait résoudre l'une des deux équations par rapport à l'une des inconnues, on pourra éliminer cette inconnue par le procédé déjà expliqué n° 82, et que je vais rappeler ici.

Les deux équations étant représentées par

supposons qu'on sache tirer de N = 0 la valeur de x en fonction de^, et qu'on ait

On est assuré 'que cette fonction, substituée au lieu de x dans l'équation N = 0 , rendra N identiquemdfit nul , sans qu'il soit besoin d'attribuer de valeur particulière à y. Mais cette inconnue y doit être telle qu'(m mettant f[x) à la place de x dans la première équation, M devienne aussi identiquement nul ; donc il faut prendre pour valeurs de y les racines de l'équation qui résulte de cette substitution.

L'équation ainsi obtenue sera donc l'équation finale en j^; et, si on peut la résoudre , il n'y aura plus, pour avoir les valeurs correspondantes de X , qu'à substituer successivement chaque valeur de^ dans la formule x=^f[y). Quoique ce procédé soit fort simple, cependant le calcul exige quelquefois des précautions que l'exemple suivant apprendra à ne point négliger.

SdVnt les équations

[1] 24x^+ 20jc^ + 5^— 84 = 0 ,

[2] 32ji:'— 15r* +28=0.

La seconde donne

x = ±1^^2(15^—28); Pt en substituant ces valeurs dans la première, on trouve

On ne peut pas résoudre cette équation sans la ramener à une

forme rationnelle , et c'est à quoi l'on parviendra en isolant le radical dans nn membre et en élevant ensuite les deux membres à la poissance marquée par l'indice du radical. Ce procédé doit être remarqué parce qu'il est d'un usage presque continuel. On isole donc le radical, et l'équation devient

[a] ± 1 QrK2(15y-^28) = 420 — 65^ ,

puis on élève au carré , et l'on trouve , toutes réductions faites,

Cette équation se résout à la manière du 2' degré , et donne

Pour avoir les valeurs correspondantes de j: , il y a une attention à avoir, sans laquelle elles seraient fautives. A cause du. signe ±, qui était devant le radical , l'équation |j3] équivaut à ces deux-ci :

r [a"] — 1 0^K2(i Sy-- 28) = 420 — 65^.

Or, si on pouvait résoudre séparément chacune d'elles, les valeurs de y tirées de [-*'] devraient être substituées dans la formule

et les valeurs de y tirées de [a"] , dans la formule *

n est donc nécessaire de distinguer parmi les quatre valeurs de f celles qui appartiennent à chacune des équations [a] et [y!']. Le moyen le plus simple consiste à les substituer dans ces équJiions : et l'on reconnaît ainsi que les valeurs ^ =+2, ^=^-6, vcri- ■ Cent [a']; tandis que les deux autres, y = — 2, y=z-{-6^ véri' j fient [a']. En conséquence, on a pour les équations proposées quatre solutions, savoir :

j^=+2, lj. = -2, l^ = -6, (^ = +6. j

414. Lorsque les deux équations sont du mc^me d^ré par rap-i. port h l'inconnue qu'on élimine, il convient d'abaisser préalable-j

ment Tune d'elles au degré inférieur, au moyen de la soustraction , ainsi qu'on l'a déjà fait (nM94, Ex. III) pour les équations

Les équations [1] et [:2] se ni donc mieux traitées en leur appliquant cette observation , puisque l'une d'elles sera remplacée par une équation du 1"^ degré en x. Toutefois, il faut auparavant rendre le coelDSeient de x* égal dans les deux équations, ce qui se fera en multipliant l'équation [1] par \ , et l'équation [2] par 3. Alors, en les retranchant l'une de l'autre , il vient

84— * 13k* 80jc^ +65^— 420 = 0 , d'où jc = — — -^.

Cette valeur étant portée dans l'équation [2] , on obtient , toutes rédactions faites, l'équation flnale déjà trouvée

Les valeurs de y qu'elle détermine sont

et par suite la formule qui exprime x eny donnera , pour valeurs correspondantes , »

415. Souvent la résolution des équations s'obtient immédiatement en remarquant qu'elles sont décomposables en facteurs. Supposons, par exemple, que deux équations aient été ramenées à celles-ci

Pour les r Aoudrc , il faut chercher toutes les valeurs de x cidej qui peuvent rendre nuls à la fois un facteur de la première et un facteur de la socimde. On a donc à résoudre séparément ces quatrcî systèmes d'équations :

Je laisse au lecteur le soin d'effectuer les calculs, et je passe à des considérations plus générales.

372 LEÇONS D'ALGtBBB.

Klimination par la mclhodf» du plus grnnd cominoD diviseur.