SoienHes équations à résoudre

on leur fera subir d*abord les sîmpliGcalions qu'on va expliquer.

Ordonnons le polynôme M par rapport à y^ cherchons le plus grand commun diviseur des multiplicateurs des diverses puissances de y^ et divisons M par ce diviseur. Ensuite ordonnons le quotient par rapport à x^ cherchons le plus grand commun diviseur des coefficients des diverses puissances de .r , et divisons encore le quotient par ce diviseur. Alors nous pourrons décomposer M en trois facteurs, l'un fonction de j:, le second fonction de j^, le dernier fonction de x et de y. Désignons-les par U, U', U'', et l'on aura M = UU'U''.

On pourra décomposer scmblablcment le polynôme N; et^ en nommant Y, V, Y", les trois facteurs, on aura IN =YY'V'. . Maintenant, il se peut que les facteurs U et Y fonctions devaient un diviseur commun} (]u'il en soit de même des facteurs U' et Y' fonctions de y ; et encore de même des facteurs U" et Y fonctions de x ç^t y. Désignons ces, trois sortes de diviseurs communs par rZ, rZ', d",, et l'on décomposera M et N comme il suit :

m=dd'd">^iiu'a\ N= dd'd'y^v^'v".

Examinons présentement les diverses manières dont on peut satisfaire aux équations proposées ]VI=:0, N = 0. D'abord, il est évident qu'on y satisfait en égalant à zéro Tun des facteurs communs d^ d! ^ d" . Or, si on pose ^=0, celte équation ne contiendra qu'une seule inconnue x-, et quand on Faura résolue, on aura un nombre limité de valeurs de x , mais on pourra joindre à chacune d'elles une valeur quelconque de ^. Si on pose rZ'= 0, on aura un nombre limité de valeurs dc^, mais on pourra joindre à chacune d'elles une inlinité de valeurs de x. Enfin, si on pose l'équation d"=0^ comme d" contient x ciy^ on pourra donner une valeur arbitraire à l'une de cei; inconnues, à x , par exemple, et alors cette équation fera connaître les valeurs correspondantes de y. Ainsi, chacun des facteurs communs rZ, d\ d'\ détennine une infinité do solutions.

LEÇONS d'algèbub. 373

Les autres manières de satisfaire aux équations proposées consistent à égaler zéro, en même temps, l'un des facteurs m, a', ii\ de la première, et Tun des facteurs ^ , </, ^", de la seconde. On ne peut pas avoir à la fois ii = 0 et^ = 0, car ces facteurs ne contiennent que X et n'ont plus de facteur commun, de sorte qu'aucune valeur de jc ne peut les rendre nuls tous deux ensemble. Par une raison semblable, on ne peut pas avoir en même temps m'= 0 , p'= 0. De plus , il est clair que si on égale à zéro deux facteurs, dont l'un ne soit fonction que d'une inconnue,. il n'y aura , pour résoudre ces deux équations, d'autres difficultés que celles des équations à une seule inconnue.

Mais il n'en sera plus de même si on pose

car chacune de ces équations contient x et x H faut une méthode nouvelle pour les ramener à la résolution des équations à une seule inconnue , et c'est cette méthode qu'on va exposer. On doit bien faire attention qu'elles ne renferment plus de làcteurs dépendants de X seul ou de y seul ; et , en outre , qu'il n'existe entre elles aucun facteur commun fonction de j? et ^ : c'est en cela que consistent les simplifications que j'avais en vue.

417. Pour éviter les accens , supposons que les dernières équations dont on vient de parler, et qu'il s'agit de résoudre, soient représentées pal'

Âyanl ordonné ces équations par rapport à x, supposons que cette inconnue soit à un plus haut degré dans A que dans B, ou à un degré égal ; divisons A par B et arrêtons l'opération dès qu'on est arrivé à un reste qui ne pourrait plus se diviser sans mettre dans lequotienl des dénominateurs fonctions de y, Ilepréscntons par H ce reste , et par Q le quotient trouvé 5 on aura

A = BQ+R.

De cette égalité on conclut que si certaines valeurs de x et de j^ rendent nuls A et B , elles doivent donner aussi 11 = 0 j donc elles doivent se trouver parmi les solutions des équations

Réciproquement les valeurs de x et de y qui vériûcnt ces équa-

A . T( - i- ny^f

'ttonfl doivent donner AsiO, etflatirfont par coméqnent «n frapON^^ j .ato;, donc on peut remplacer le système des Aqoatfans p] ppÉ^. i odnideséqaations[â]. . « -^ J

Pour plus de 8im|didté, supposons, ce qui n'arrite que . dMS^ des.cas particuliers, que la diyisimi ait conduit, sans placer >- datti\ aucun dénominateur, à un reste de degré moindre, par npp^* àx, que le diviseur- B. Divisons maintenant B par R, et soppo-*^ sons encore que, sans mettre ^ en déncmiinateur, on Ait trouvé^ reste A'. Les équations [â] pourront être remplacées par éfpt: ' antres plus simples aooore, savoir

SI R' est de degré moindre que R , on divisera, à son tour Rfflr R'; et Ton continuera de diviser ainsi chaque reste par le soiiiptjç^^

En supposant que chaque division nouvelle œnduised'éllei44|^ i un reste de degré moindre en X'que le diviseur, sans qn'on,NP| (diligéde mettre au quotient des dénominateurs fonctkxis drj^ijl arrivera nécessairement à un reste independant.de ar. Sott.mSfMl reste : alors les équations [3] tiendront lien des proposées; et çotÉii la seconde, R'=0, ne contient qu'une seule inconnue, elle fera connattre les valeurs Recette inconnue; et ensuite la première, R = 0 , fera trouver les valeurs correspondantes de x,

418. Il n'y aurait rien à ajouter s'ir la résolution des.èqoar tions [1] , si les divisions pouvaient toujours se faire avec, les conditions énoncées-, mais il n'en est ainsi que dans des cas très-par ticuli»s. Cependant, pour que les conséquences trouvées précédemment ne soient pas inCrmées , il faut que les quotients ne contiennent ^ dans aucun dénominateur.

En effet, reprenons les équations A = 0, B = 0, et supposons que la division de A par B ne puisse point conduire à un reste de degré inférieur à B sans placer y en dénominateur dans le quotient

XJ

En désignant ce quotient par r=p , R étant une fonction de ^, on aurait

Si Ton met pour x et pour y des valeurs qui rendent A el B égaux à zéro, il peut se faire que K devienne aussi égal à z^ >