BH

alors -— ■ devient et peut avoir une valeur finie ou infinie, et K 0 *^ '

par conséquent R peut lui-même prendre une semblable valeur. Donc on ne peut plus affirmer que toutes les solutions des équations A=0, B=0, se trouvent parmi celles du système B = 0, R=0. La réciproque ne serait pas plus vraie, car B et R étant ré ■ doits à zéro , K pourrait être aussi réduit ù zéro, et dès lors le second membre pourrait n'élre point nul ; donc A lui-même pourrait n'être pas nul.

Pour éviter les fractions , on aura recours au même moyen que dans la recherche du plus grand commun diviseur. Remarquons d'abord qu'il n y a plus de facteur commun fonction de y dans les différents termes ch» B ; en sorte que si Ton multiplie le dividende A par le co(»flici;»nl du premier terme de B, ou bien, lorsque cela suffît, par quelques facteurs de ce coefficient, la division deviendra possible;, et aucun facteur commun n'aura été introduit dans A et B. Mais cetîe multiplication peut ajouter aux équations proposées des soiulious étrangères : en effet, si C représente ce multiplicateur fonction de y^ Q le quotient , et R le reste,

on aura

, CA = BQ+U;

et cette égalité prouve que les solutions des équations B=0 , R=0, sont les mêmes que celles des équations CA=0 , B=0. Or, ces dernières équations se partagent en deux systèmes , savoir ;

[A = 0,'b = 0] et [C = 0,B = 0]:

donc, outre les solutions des équations proposées, les équations B=0, R=0, feront entoro trouver celles des équations C=0, B=0. Il faudra donc résoudre ces dernières, dont Tune C=0 ne contient que^, puis substituer les valeurs correspondantes de x et dej/dans l'équation A=Oî et les couples de valeurs qui ne satisferont point à cette équation devront être de trop parmi les solutions des équations B = 0, R=0. Par conséquent ces couples devront être supprimées.

La question est ainsi ramenée à résoudre les deux équations

Oa examine d'abord s'il y a dans R des facteurs fonctions de y ou de X. Supposons qu'il en existe, désignons-les par/ et/, et

376 LEÇONS D*ALGéBllE.

soit r le quotient de R par^'; on pourra décomposer R en JJ'^r^ et par suite remplacer les équations précédentes par les trois systèmes suivants :

Les deux premiers systèmes n'offrent point de difiicuUé, car f ne contient que y^ et/' ne coBtient'que x ,- il suffit donc de s'occuper du troisième.

JJ et r n'ont aucun facteur commun : car s'il y en avait un , il devrait se trouver dans A et 13 , ce qui est contraire à la supposition. l)e plus, ni B ni r ne renferment de facteur fonction de y seuloa de X si^ui ; donc on peut traiter les- équations

lout-à-fait comme les proposées A = 0 , B = 0. Ainsi, on les remplacera elles-mêmes par deux autres

qui seront dans le même cas «que les précédentes, mais dont la seconde , r =0 , sera de degré moindre en x que la première , r=0.

Celles-ci à leur tour pourront se rcniplacor par deux autres, dont la seconde sera encore de degré moirfJre que /''=0.

En continuant ces opérations, qui sont en tout semblables à celles qu'on ferait sur A el B pour chercher le fflus grand commun diviseur de ces polynômes , on arrivera'tonj^rs à un dernier reste qui ne contiendra plus Tinconnuc x. Suppcjpons que ce reste soit r'-. alors les équations proposées dépendent desléquations /'=:0, /'^O, lesquelles ne peuvent offrir aucune difficulté, puisque la deuxième ne contient plus que la seule inconnue j;. V

Il ne faut pas oublier qu'en remontant des équations /•=0, 7'=0, aux précédentes B==0, /'^O, il peut se faire qu'il y ait quelques solutions à ajouter et d'autres à supprimer; qu'il peut encore en être de même en remonlan^^ des équations B = 0 , r= 0, aux équations A = 0, B = 0; et ainsi de suite, s'il y avait un plus grand nombre de divisions successives.

419. La méthode qui vient d être développé;» coiuluit, en général, non à une équation unique en j^, mais bien à plusieurs, dont quelques-unes peuvent donner pour^Vtlc incoanuc» des valeurs fausses. Quand on aura reconnu toutes celles qui entrent véiitabiemeiil dans des solutions communes aux deux équations, il sera facile , si

LEÇONS d'aloIMiae. 377

cela est néce^ire y^dctidcs réunir dans une seule équation, qu'on prcndra'^alorS pour TéqUation ûnale ; maijs cette réunion est rarement utile. '^

* Quand on a fait toutes les |$tmplifications prcUminaires (416), les jpolynomesuiue Ton iMimct aux djbrisions successives ne peuvent plu»>àvoiftde facteurs communs ; et , comme ces divisions sont absolvmentjes mêmes qu'on ferait pour déterminer le plus grand commun divis(!Ur dcs»deu\ polynômes, on est certain de ne point arriver à'un roste nul.

Maift il peut se faire que les termes en ^ se détruisent dans le dernier resfé, et que ce reste se réduise à un nombre. Alors ce ^t6 ne peut pas être retdu ég^al à zéro ; et de là onidoit conclure -quoife^ équations proposées soni impossibles ou in$ompatibles , à moiAs qu'il n'y ait eu des solutions supprimées dans le cours du calcul , et dont la méthode a appris à tenir (fompte.