s^tèrte [^/^^^ VHy=h,\yA-i

Dans les trois premiers syslëines, toule^c^solut^ns, excepté x^ — 1 et ^= — 1, sonj déjà connues, et, dans le *■, telles oà l'on a a?=— j- !e sont ^ussi ; de sorte qu'oif ne trouve véritable- ' ment que trois scrutions nouvelles, sflvoir : '

I j- = — 1. \ x=i+\/2, (. x = l— 1/2. Exemple 11. On propose de résoudre l&s deux éqbations

Ces équations ne se décomposent point et facteurs ; c'est poni^qj Ton passe iuinodiatement aux diitiâions successives, If^^ev^^' même des exemples III cl IV. • '

j:^—'iyx'+l,^y'—y+i)x—y>+y'~'iy 1 jP'-»%J:+,r*— J- • —if^+2y^'+(*y+y)x . . I x~y^

-}.(^=+()xV^J

Deuxiefhe divisia/l.

-ïTir'

Donc

les équiltloDS finales sont '

d'où

on tire

CoQftne on n'a introduit ni supprin|é aucun factsur, ces deux solutions sont celles d^ proposées elles-mêmes. ExnuFLË III. (^ propose à résoudre les deui équations* ■

yx^-i'Qx'—lQyk^Q. '• • .

LiçoNS d'algâbrc. 379

Première dwision.

Ftaisqu'on a multiplie par^, il faut çpsoudre les équations ^=0, Xjc'+Oj: — \ffy=iO^ lesquelles donnent .r=0,^=pj et examiner si ^ps valeurs rendent le dividende èsd\j3i zéro. Commexela n'arrive point , il sWnsuît qu'elles forment une soluUlh étrangère qu'il faudm supprijper. ., « •'* ' x

l^euxienie. éivisCon. ^

J^+(—Ar^ 7^-— 63^+81)

: (■-5r'H-7r^--(i37M-81)a.^+70y— 9Dr ' ^J[-5/+..».)(— 7j^*f9)x-490y + 1260y— 81Clr

— +25r— 7Ctr*+364x'— 846^+567^

: Ji !

25^— 70r/— 124r'+ 41^—243^ ^^ Les équations qu'il faut résoudre sont donc * "*

(—Tr + 9]a>t- sy — 7j^= 0 ♦

25r'—7«>-*—1264'+4l4j-''— 243^ = 0, La se(%de donne , ainsi qu'il el^ facile iie le vérifier j

t , en substituant ces^aleurs dans la pi^micre équation^ on obtint oor X les "valeurs coj^responda|}tes ^ *

lems la deuxième ^i'^ision, on a^Aè obll|[é.de multiplier p«r^ -7^+9, mai^Jil«ei^t facile de 'voir qu'aucune solutiop étrangère^ a- été i'ntroduit(f. Il y a ^onc seulement à iupprynec, dans les nqt solutions ci-d«ssus , celle quba été introduite jMtr la première

380 LEÇONS d'algébhb.

divisign. Il reste ainsi ^ pgur }fis équations proposées, les quatre solutions suivantes : , "*

— 3 + 31^ I •.-^■i-3KÏ5

Exemple IV. Soient enco|p les équations» § ^

x' 4- (8^—1 3) jf +jr'— 7j- +12=0,

^ première "dwision .

(12^— i2)ti7— 1^+42

Ce reste se décomposant en facteurs t2(^— l)'Cr — 1) , les csScuIifse simplifient , et l'on a ces de^x ^sternes d'équations : "^ • "^ . *

f .r-i=o . ,. *— i=Oe •

Chacun d'eux se résout immédiatement , cX Ton trouve

* Ji. ^*

Perfeclionnhmcnts ajoutésJrla méthode précédenh». ^

421 . Fendaftl longtemps, on a ccu qu'en ^umëttant exactement deux équations aux opérations^du plus grand commun diviseur, Iç dernier reste donnait immédiatement la véritabl(3f équation finale sans aucumo complication tde racine^ étrangères. Dans la Correspondance de 'V Ecole Polytechnique^ tome II, année ISU? j'ai corrigé cette erreur, et les niodificatiohs que j'ai proposées alors ont été adoptées dans l'cnsei^iement. De là o^t résultée la méthode expliquée dans l^aragraphé précédtînt, n'^ 416-i4l^9. Mais cette méthode a clle-menie reçu de M. Lab^tiç , en 1832 , de notables perfectionnements , qui ont étér reproduits pjir M. Sakrds sous une forme élégante, en 1^, et que je ^ais développer ici

'après ces auteurs. Pour plus de clarté, je diviserai cette cxpoition en trois parties.

Première partie. Quaud il faut résoudre deux équations entre eux inconnues a: cl j\' le mieux est toujours d'effectuer les impllGcations indiquées n'*416; mais pour l'explication qui ya aivre , il sufTira que les deux équations ne renferment plus aucun icteur algébrique indépendant de l'inconnue jc par rapport à lauclie on ordonne. Considérons donc deux équations qui remplissnt cette condition et désignons-los par

\ étant en a: de degré inférieur à A. Divisons A par B, en ayant oin de multiplier A par les facteurs nécessaires pour arriver à un este do degré moindre que B , sans prendre de quotient fractionaire ; représentons l'ensemble de ces facteurs par c , le quptient >ar q^ et le reste parR/*, r étant le produit des facteurs de ce reste [ui ne contiennent point jc. Après cette division , faisons tout à ait de la même manière celle de B par R; puis, après cette seconde livision , faisons-en une troisième \ et ainsi de suite jusqu'à ce {u'on obtienne un reste indépendant de jc.

Je supposerai , pour fixer les idées , que ce reste vienne après la troisième division et que ces divisions donnent

[i] c'A = Bq+Kr

On pourra , si on le veut , regarder reic connue premiers entre eux. £n effet, s'il n'en est pas ainsi, soit d le plus grand commun diviseur de c et r, l'égalité [1] donne

Do là, on conclut que d doit diviser Bq ; et comme B ne renferme plus de facteur indépendant de x , il s'ensuit que ^.doit diviser q. Or, rien n'empêche de supposer ces simplifications déjà faites dans l'équation [1] avant de passer à la deuxième division. On peut même ajouter qu'alors q ne devra avoir aucun facteur commun ni avec c ni avec /', car un facteur qui serait commun à ^ et à c , par exemple, devrait diviser Rr, et comme R n'en renfermo aucun

382 LBçoNs d'algèbre.

qui soit indépendant de jt, il devrait se trouver dans r; par conséquent c et r auraient encore un facteur commun, ce qui est contraire à la supposition. Les égaillés [-2] et [3] donnent lieu à des observations toutes semblables.

Il sera bien, dans la pratique , pour éviter les calculs compliqués , de faire en sorte que c et r n'aient en effet aucun facteur commun , qu'il en soit de même de Ci et r, , aussi bien que de c, et r^; mais les explications que je vais donner ne l'exigent point.

Revenons maintenant aux égalités [1] , [2] , [3]. De la première on conclut que si des valeurs de x et de ^ donnent A=:0 et B=0 , elles doivent aussi donner Rr=0 : de sorte que toutes les solutions des équations proposées sont comprises dans les deux systèmes [B=0, r=0] et [B = 0, R~0].

Semblablement, l'égalité [2] prouve que les solutions du système [B=aO, R=0] sont comprises parmi celles des deux systèmes [R=0, r,=0] et [R = 0, R. = 0].

Par l'égalité [3] .on reconnaît que les solutions du dernier système [R=0, R,=0] sont elles-mêmes renfermées dans le système unique [R, = 0 , A=0].

Donc enfin toutes les solutions des proposées A= 0, B = 0 , se trouvent parmi celles des systèmes suivants :

Mais on ne pourrait pas dire que réciproquement toutes les solutions de ces divers systèmes conviennent toujours aux proposées. En effet , l'égalité [2] , par exemple , montre bien qu'une solution des deux équations R=0 , /•, = 0 , doit donner B=0 si /•, n'a aucun facteur commun avec c^ , ce qu'il est permis de supposer; mais l'égalité [1] prouve que ces valeurs doivent rendre cA=0, ce qui peut avoir lieu sans qu'on ait A=0.

De là il suit qu'en arrêtant ici le raisonnement, il resterait à examiner, dans chaque cas particulier, quelles sdnt parmi les solutions des systèmes [4] celles qui doivent être rejetées ; de sorte que la méthode déjà exposée n'aurait fait aucun progrès. Mais M. Labatie a eu l'heureuse idée de former les égalités successives par lesquelles chacune des quantités A et B est liée avec deux restes consécutifs quelconques , afin de reconnaître si ces égalités n'offiriraient point d'elles-mêmesdes exclusions qui restent inaperçues dans les égalités [1], [2] , [3]. Or, voici comment se font ces calcuk.

LEÇONS d'algAbre. 383

Deuxième partir. Nommons d le plus grand commun diviseur de c et r, divisons Tégalité [1] par d^ observons que q doit être divisible par dj posons

et alors on aura

Multiplions cette dernière égalité par c,, puis re&iplaçons dans le second membre r,13 par sa valeur, telle que la donne l'égalité [2] :

il Tiendra

ce r

= (Gr/.+^QR+GR,r..

ce Nommons d^ le plus grand commun diviseur de -y avec /\, et di-

Ci)

visons régalité par r/, : le multiplicateur de R devra être divisible par ^,, et en posant

on aara