CHAPITRE XVIIl

RÉSOLUTION DKS KQUATIOÎSS NUMÉRIQUES.

Rnrin<»s coinmonsnr.iblp».

436. A défaut de raélliodes pour résoudre ré{[uation générale de chaque degré , le but vers lequel je dois tendre maintenant est de faire connaître les procédés à Taidc desquels on détermine , d'une manière exacte ou approchée, les racines des équations numériques .• on nomme ainsi celles dont les coefficients sont des nombres donnés. Les racines peuvent être réqlics ou imaginaires , et , parmi les racines réelles, il peut y en avoir de commcnsurables. Il existe pour trouver ces dernières des procédés fort simples que je vais exposer d'abord

4â7. Je commencerai par chercher les radbes commcnsurables entières. Soitléqualion'

dans laquelle je suppose que tous les coefficients soient entiers. Représentons par a une racine entière de cette équation, on devra avoir

[2] Aa*+B^^5 + Ca'+Da-f-E=0,

d'où, en transposant et divisant par a^

400 LRCONS d'alG^.BRE.

Enlin, la dornière ligue est iorméc v.w ajoutant le coefficient 2 du premier ternie 2jl'^ aux clcniicrs quotients ; et comme ou ne trou?e zéro que dans la colonne du diviseur 5, on conclut que 5 est la seule racine entière de l'équation.

Remarques. Cette racine étant connue, on peut diviser TéquatioD par le facteur x — 5, et on aura pour quotient

2jr'— 2x4-3 = 0, |ft

d*où Ton tire x=[± \V — 5. Alors l'équation proposée est complètement résolue , et ses trois racines sont

Lorsque F équation est privée de quelques termes, il ne faut pas oublier d'y avoir égard , en comptant leurs coefficients comme égaux à zéro; par conséquent, les quotients auxquels on doit les ajouter pourront être soumis immédiatement à de nouvelles divisions. On verra plus loin un exemple de ce cas (442). ^

439. La méthode qu'on vient d'expliquer ne montre pas combien les racines qu'elle détermine eutrenl de fois dans l'équation. Pour le reconnaître, le moyen qui s'offre le premier est de diviser l'équation par les facteurs com^spoudanls à ces racines, prises chacuue une seule fois, et d'examiner ensuite, soil par h\ substitution immédiate, soit par les règles du n" '. :;7, .1 ('(\s racii:; is apparliciîîient encore à l'cqualiou reslanlo. SU s'en IroiivcMiucI j.cs-uuî's qui la vérifient, on est sur qu'elle s eulreni au moins i!; uv lois (Luis la proposée. Par une nouvelle division, on eunnaîlia «elles ([rii j)cuveni y entrer trois lois 5 et ainsi de suite.

L(»s propriétés dos polyiionies dérivés donnent encore un aulrc procédé. On sait (4( ôj que si une rcjualion \ = 0 renfernii? le facteur [x — /7)', le polynôme dérivé V ùoit renfermer a — rz)"— '; donc 1(» polynôme X" déri\é de \' d- il contenir (.r — <^^)''~% et aiuïïi de suite: de sorte que le nombre des équations X = 0, X'=0, X"=0,... qui seront vérifiées par la valeur .r=.7 , indiquera combien l'équation X:=0 a des racines éf;;;les à (i.

Dans la recberclie qui nous oicupe, on pourra aussi s'aider de cette remarque, dont le lecteur dénîonîrera facilement l'exactitude: que, si uuî- racine entière a entre /: foi:> dans une équation à coefficients erUiei s, de la forme

Ax^^+Bx-^-' + etc. = 0 ,

LEÇONS d'algAbre. 401

! dernier terme doit être divisible par a^^ et les termes précédents, -x 07, j:',... j:»-', divisibles pîir a"—*, a"— %... a.

440. Après avoir trouvé toutes les racines entières, tant égales u'inégales , on peut les ôtcr de Féquation, et s'il y a encore des oicines commensurables dans réquation restante, elles doivent tre fractionnaires : occupons-nous maintenant de ces dernières, -leur détermination repose sur ce principe, que Si le premier erme d'une équation a pour coefficient r unité , et si les autres ernies ont des coejficients entiers^ cette équation ne peut tn^oirpour ^acines commensurables que des nombres entiers.

Pour le démontrer, soit Téquation

dans laquelle P, Q,...T, U, sont des coefficients entiers. Mettons an lieu de xun nombre fractionnaire y , qu'on peut toujours regarder comme irréductible , Téquation deviendra

Delà, en multipliant par b""-^ et transposant, on tire

Or, aeib étant des nombres premiers entre eux, le 1^ membre de cette égalité est une fraction irréductible , tandis que l'autre est un nombre entier ; donc l'égalité est impossible. Donc aucun nombre fractionnaire ne peut satisfaire à Téquation.

441. Lorsqu'après avoir cbassé les dénominateurs, le coefficient du premier 4crme n'est pas l'unité, on transformera l'équation en une autre qui remplisse cette condition, et pour cela il suffira de faire V inconnue x égale à une noui^elle inconnue y, divisée par le coefficient du premier terme de V équation proposée.

Alors il est clair que toutes les racines commensurables de cette équation répondront à des racines commensurables de la transformée, et comme celle-ci ne peut en avoir que d'entières, on les déterminera toutes par les règles connues , après quoi on en condnra celles de la piaposée.

Pour montrer directement comment on découvre la transformationd-dessHS, supposons que l'équation donnée soit

kx^+ Bjt"-' + Cx"-' + etc. = 0 ,

•ife

iOt UÇOm D «LGtMI.

A,B,G,.... Aluldescoef&clenIsenUérs.Fidsons ■r=-, iUicjif Ml M«i, CD BtdUpliatit parr^',

' àkn on voit qae le coe^dRHt de^ deviendra ^al & rnqitd, et jpç la aàlres ooiitficieDtg sâronl «itiera, en prenant z= A ,'ce qui art èooCorme à te règle énoncée.

Ad rate , cette règle revient i celle da a* 390 , et ici encore il cOBTkat d'«fa«rTcr qu'on pourra dans certains cas parliculien dhoWr peur z au nombre moindre que Jl , ce qui donocra une mùiàriilèe dont les coefficients seront plus simples. . *

US. Poor termioa-, proposons-noqi de flfierdiertoul^ lea H* Cbm eooamanipnbleB de l'^ïquatioD ,:

On poari^U chercher d'abord les racines entières'^ mais I« co^GÏents étant peu considérables, il sera mirax de transfonoer tout de suite celte équation en uno autre d(ml le premier coeffident toit l'tibité , sans que les autres cessent d'être entiers. Suivant la règle générale, il faudrait faire ^ — 'ji maissi un fait x= -, oo verra, sans peine qu'on peut prendre z = 2, ce qui revient & poser X =t'-. En effet, par là on troave celte Irgnsfonnéc

y—iiy+uj—2i=o. '

Comme elle ne peut avoir pour racines comnjensar^bles que dci nombres entiers, après avoir ri»;onnu que +t cl — ^1 ne penvenl point la vériûer, je lui applique les règles connues (437).

+ ï,+3, + l.+ 6. + 's,+ ii, + 24,- I,- 3.- i,- 6. 8,-i=,-i(, QiiolP.ot.-ii,-8,-(i,- 4,- 3,- .,- .,+ ■=.+ 8.+ 8,+ 4,+ 3,+ a.+ p,

+ ï,+6,+8, + (o,+ ii.+ iï,-t-i3,+»6,+3a,-f:ao,+ (8. + i7,+ ,6.+rS Qu(,liml.+ i. + a. + j. ■ ■ + I, ■ -.i3, - - 5,-,^,. ' - •

-io,-9,-g, -10, -i4, -^i6,-pét.

QuoGrak - 5.-3, ■ ■ +IÎ, ip 4,- -

LEÇONS d'algAbri. 408

LUX quotients de la 6'' ligne il fallait ajouter le coefficient de ^ ; nais comme ce coefficient est 0 , on a divisé immédiatement ces [uotients par les diviseurs correspondants

On reconnaît à la fin que +3 et — 4 sont racines de l'équation în^. En la divisant par le produit (y— 3) (^+4) , il vient

y— j^-f2==0, d'où ^ = - + -i/z:7.

Les quatre valcui's de ;y étant connues, la relation j:=: "^ donnera

celles de a? , savoir : a- =- , jc=: — 2, j:= j ± - k"'^^.

LiiuilM des rucines doi équatioiu.

443. La méthode qui sert à trouver les racines oommensurables n'est à proprement parler qu'une suite de tâtonnements tellement coordonnés , qu'on est sûr de trouver toutes les racines de cette espèce qui peuvent exister dans une équation. C'est encore par des tâtonnements qu'on obtiendra les valeurs approchées des racioas incommensurables ; et , pour établir les règles qui doivent les diriger, la première question qui va nous occuper sera d'assigner des limites aux racines , c'est-à-dire , de déterminer deux nombres entre lesquels soient comprises toutes les racines positives de l'équation, et deux nombres entre lesquels soient comprises toutes les racines négatives.

444. D'abord, proposons^nous de déterminer une limite supé" rieure des racines positives.

Soit ,r"' le premier terme et N le plus grand coefficient négatif d'une équation donnée X =::= 0. Si on considère la quantité

on est sûr que la partie positive n'y est pas plus grande que dans X, et que la partie négative n'y est pas moindre. Or, il est facile d'assigner à jc une valeur x ~ /, à pariir de laquelle toutes les valeurs plus grandes rendront X, positif; donc aussi, à plus forte raison, toutes ces valeurs rendront-elles X positif. Ainsi, à partir de x:=l aucune valeur ne devra anéantir X , et par conséquent on pourra prendre / pour la limite cherchée.

404 LEÇON* b'ALfltLBaE.

Pour délenniner l rappeloà» (53) que :r" ~ l {X^—' + i^-*„.+ x-i'i}; en craséqaeoce on anra

Or, aoos celte forme , on voit sar-Ie-c)tatnp que X. sera positif î prenint X=rN-i-l Oa x>^+l -, donc on peut prendre pout^ witê Mvpiricuiv Jet racines positives d'une éqUation le plus gn €»eficimt H^atif augmenté de C unité.

*tVltf<elteri^, oatroQTe /=1I>1 pourlimiledesradnesâsJ!

jt] af+éi^+ia'—lQx^—Wx'+iO^—Ux—tWi^ft.

i la même voie , on peat parvenir à une t illtt oD aura égard au rang du premier terme q^ • V^ ce terme renferme aif-', reiH^s«itons es pir-K'le-^tofnad coeSicient n^tif, et posons

on potun' nisooner sur X, comme sur X,. D'abord on a

ar-1 ~ j,— 1 *

donc X sera positif si on substitue au lieu de x une valenr plus grande que 1, et telle qu'on ait

Ces conditions seront évidemment remplies si on trouve pourjc une valeur >>1 qui satisfasse à l'équation

on, ce qui est la même chose, à celle-ci :

{x-iy=s.

Delà on (ire en effet une valeur >1, savoir: x = i+\/N.

Ainsi on peut établir celtp règle ■ Duplusgrand coeffîcienl négatif de l'équation extrayez la racine dont l'ordre est marque par la différence entre le degré de. l'éguation et le degré du pf*-

LftçoNft d'algébri. 405

mier terme négatif, puis à cette racine ajoutez L* unité; la somme sera une limite supérieure des racines positives.

l^orsquclc premier terme négatif sucœdc immédiatement au premier terme de l'équation, cette limite coïncide avec celle du numéro précédent; mais lorsqu'il est éloigné, et que le coeiBcient N surpasse Tunilé , elle sera toujours plus approchée. Par exemple,

dans réquation [1] elle est 1+KlOO ou 6, limite beaucoup moindre que le nombre 101 donné par la première règle.

446. Ces deux règles sont d'une application prompte et facile : mais comme elles donnent presque toujours une limite trop éloignée, la marche suivante doit être préférée.

Supposons d'abord que l'équation donnée X=0 se compose d*une suite de termes positifs, après lesquels il n'y ail plus que des termes négatifs, tous de degré moindre que les premiers. Soit Y l'assemblage des termes positifs, — Y' celui des termes négatifs, et jc la plus petit*; puissance de jc renfermée dans Y; on aura