JU'' X' J

Dans le quotient de \ par x'' aucun terme ne doit contenir x en dénominateur, cl le contraire doit arriver à tous ceux du quotient de Y' par x"--^ donc , eç faisant croître x à partir d'une valeur positive quelconque, le premier quotient doit augmenter, ou au moins rester constant si Y est un monôme , tandis que le second quotient diminue nécessairement. Ainsi , dés qu'une valeur positive a:= / rendra positif le polynôme X ou Y — Y', on sera certain qu'en y substituant au lieu de x des valeurs plus grandes, les résultats seront toujours positifs, et même qu'ils iront en augmentant jusqu'à l'infini. Au delà de / il n'y aura donc aucun nombre qui puisse anéantir Y — Y', et par conséquent / sera une limite supérieure des racines positives. De là on conclut que si on substitue dans X successivement, au lieu de a:, des nombres positifs croissants jusqu'à ce qu'on ait un résultat positif, le nombre qui donnera ce résultai sera la limite cherchée.

Maintenant, supposons que l'équation renferme des termes positifs entremêlés avec des termes négatifs, ce qui est le cas le plus ordinaire. Il est toujours permis de considérer le premier terme de l'équation comme positif. Réunissons-y les termes positifs qui oeuvent se trouver avant le premier terme négatif, et , faisai i

4M UQoiu bu^tiu.

^ ratm tennei posilifs, comparons cette somme aveu celle dea I oégilib de l'équation. Le raisonnement ci-dessus prouva I une limite supérieure des racines positives eu dé^' h- positive de x qui rende la première soiei th laMomidei et c'est k quoi l'on réussit facilement es it tu Ueo de JT des nombres croissants à partir de zéro. isIecMqaiDOUsoccupe, où les termes positifs et négatifs i, oa pourra souveul partager le premier membre de çution en [daneiin parties, dons chacune desquelles on aura soin 4>>H(tmui>m plittieurs termes positifs, suivis de termes négatib ' il ilfr4 Bdtadre. Alors on déterminera, comme plus haut, p» '•'•ÀUftf^ mccenib, oae valeur positive à partir de laquelle toulM 4l^.||urtlM mHnHtt tOÊÀlift»; et celle valeur pourra être prise pour ||Mri(B'<Artl^*> Souvent aossi il yaora plusieurs manières d'op^ . .lit it|i«il4«ëei larmes de l'êquatiou , ce qui pourra donner dtf- HtlBlAi^ liffltMi maison choisira toujours la limite la moins éle?^. DuM tou lei 4M, il est k remarquer non-seulement que la lindto ' ibqndle OD. parvient jouit de la propriété que les nombres f^ndi, étant nbititués dans l'équatioa , donnent des résultats Mb, Biais «DCOre qœ ces résultats vont en augmentant jusqu' fini. La première condition est la seule nécessaire pour qu'un ■oH limite supérieure des racines posiIives:car itrésulted'un théorème, qui sera démontré plus loin (453), que tout nombre ao-deuni. de la {dus grande racine positive, doit donner un résultat positif. Appliquons ce qui précède à l'équation

jr*— 3^' + 2 jr'~ 3 j: — 8 = 0.

En comparant le premier terme avec 1^ termes négatifs, on congidèrera seulement le polynôme x* — 3jr—dx — 8 : or, si ou essaie sDccessivemeot :r = 0, 1, 2,... on Trouve que x=\ donne oa résultat positif ^ donc ce nombre peut être pris poiir limite.

Mais le premier membre de l'équation se présente de lul-ntéoM oonime la somme des deux quantités

x*—Zx^ et 2j?'— Ir— 8,

dont ruse devient zéro , et l'autre devient positive , par l'hy polbèK x=S: or cela suffit pour qu'on puisse prendre 3 pour limite. Soit encore l'équation , qui nous a déjà servi d'exemple [444], II] x'+8x'-i'2x'—iOj:*—iOx^+l0x'—Ux—iQO =0.

iiindw -espMfed

u'àiîrl

nombre I

LEÇONS d'algébrk. 407

Parmi les différentes manières de décomposer le premier m^ubre, je choisirai celle ci :

(jf7— lOO)-f (8:i*+:i:c'— IOj:*— 4.0j:') 4- (IOj:'— 14:c)

ou (Ji-"— 100) + ^x\x^ + ■; oc^— -x—h) + 10j:(j:— -) ;

et comme chaque partie devient positive par la valeur j: = 2, on est sûr que 2 est une limite supérieure des racines positives. On "voit qu'elle est encore plus approchée que celle du n" 445.

447. Newtom employait un procédé assez commode , par lequel on trouve souvent une limite plus approchée que par les autres, liponsiste à chercher un nombre tel que si on le retranche des' racines de réquatiôn proposée , il en résulte une transformée dont tous les termes soieiit positifs. Alors il est évident qu'aucune valeur positive ne pourra satisfaire à cette transformée , et que par conséquent le nombre dont il s'ag^it surpassera nécessairement la plus grande racine positive de la proposée.

Soit / ce nombre inconnu ; pour diminuer de / toutes les racines d'une équation donnée X = 0, on fait j:' = /+^, et il en résulte ane transformée en y^ qu'on peut mettre sous la forme

L, L', L",.'« représentant le polynôme X et ses dérivés X', X",... dans lesquels x aurait été remplacé par /. Or, on veut que tous les coefficients de l'équation en y soient positifs; par conséquent la \ question se réduit à trouver une valeur de x qui rende positives toutes les quantités X , X', X", X"', etc.

La quantité X étant du degré /w, X' est du degré //i— 1, X" est du degré m — i2, et ainsi de suite jusqu'à la dernière quantité, qui ne oontieRt plus x et qui est essentiellement positive. Il couvient donc de déterminer d'abord une valeur de x qui rende positive l'avantdernière quantité, ce qui sera toujours facile puisqu'elle est du l"degré; ensuite on augmentera cette valeur, si cela est nécessaire, jusqu'à ce qu'elle rende aussi la quantité précédente positive; et on continuera de même en remontant successivement jusqu'à X. Pour plus de comn:odité , on n'emploie ordinairement dans ces ess^ que des nombres entiers.

Pour exemple .soit Téquation

X = x*+ j**— ix'— 6^'~7000i>+800'3 X' =s &r»+4j:'—12j^'— 12^—7000, |X" =10:B*+fij-"— lir ■;f,X"'=10j:^+4x — ^rîX"="&i+l. ,

On Ttrit lor-Ie-dianip qnW Usant x=l, les deux dernitn p^T ' DOOM Mot podUb. ^X" le deviendra en preDantx^S; et X'ifi l'élevant jnqa^ x 3=7. Comme cette valeur rend aussi X posiUfioa cQDdiil qu'on fent praidre 7 poariimlte. On trouvexait TdisIbM - „|!Dr]|a.rtgkdqa*«U,et l+kTUOO oa M par celle da a* US. A , ^ JlaiMuigrM. On peot prouver d'one ' manière:.gteérale.qae , ^pj / 'CM «Maison p'anra jamiis à revenir sor les {M^cédeots. SnppofpB^ par mva^, qn'en commonçant par le polynôme da 1' degié^^tjt, 'ytfBriat jSDODesriveawnt jniq^'i X'', 00 ait IroflTè t^ ^nnde poritib ti^Ios pc^wnKB X",X"', X"",...Aagaienbiat^ «t diingeoos :i: en :^A ^ éoQUn ï les polToomes dérivés de X* njl i*",X"",,-. fl est Air que X" deviendra X"+X"'k+'-X'"h'+S-i '■ "■'- par conséquent, des que ^ valmr j:-=/ rei]dX",X'",..i ppttttk,'- €a est certain qu'une valeur |> l rendra encore X" positif. On voit même que plus x surpassera l, plus X" croîtrais. Jusqu'ici il n'a été question que de la limite supérieure des racines positives. Elle est en effet la plus importante, car elle sert à trouver toutes les autres. Pour déterminer une limùc iriférieun de ces racines, faisons x= - dans l'équatioo proposée, et représentons par / la limite supérieure des racines positives de la (ramformée. Il est évident que j sera un quotient momdre que la plus petite racine positive de la proposée, de sorte qu'on pourra prendre ce quotient pour la limite cherchée. Dans les applications, il «invieot qu'elle soit la plus grande possible ; par conséquent on chcdfiira pour / la limite la plus rapprochée qu'on pourra.

Si on n'avait pas d'autre but que d'obtenir une limïle inférieoie différente de zéro, on y parviendrait sur-le-champ en divisant, dans l'équation donnée^ le dernier terme par la sornmede ce dernier terme et du plus grand coe^deiit de signe contraire à ce terme. Pour d^ontrer cette règle , soit l'équation

[A] ^'--|-P:i5-f...+S:c'+Tji7i:U = 0.

LEÇONS o'algébrb. 409

Ed faisant x= - y et ramenant Téquation résultante à la forme

ordinaire, il Yîent

T S Pi

r-+ ju ^""'-^ Tû ^'""^-^ ±û -^-^ ±ÏJ = ^-

Si on suppose que dans [A] le plus grand coefficient de signe contraire à ±U ait pour valeur absolue R, il est évident que —

sera le plus grand coefficient négatif de la transformée ; donc on

R 1 TJ

pourra prendre /= -. +1, et par suite y = , conformément

à la règle énoncée.

449. Quant aux limites des racines négatives, on les trouve en changeant x en — x dans Téqualion donnée. Par-là, on change les signes des racines, de sorte qu'en chcichant les limites des racines positives de la transformée et les affectant du signe — , on aura les limites des racines négatives de la proposée.

450. Lorsque dans uno équation tousles termes ont le même signe, il est clair qu'aucun nombre positif ne peut satisfaire à l'équation j ainsi il n'y a point lieu dans ce cas à chercher les limites des racines positives. 11 n'y a pas lieu non plus à chercher des limites aux racines négatives d'une équation dont tous les termes de degré pair ont un même signe , tandis que ceux de degré impair ont le signe contraire. 11 est clair, en efTet , qu'en y substituant un nombre négatif quelconque, tous les termes deviendront de même signe, et ne pourront point donner une somme égale à zéro.

Que les équations soient complètes ou incomplètes, ces remarques sont également vraies. Toutefois, si le dernier terme manque, réquation a une ou plusieurs racines nulles , mais en faisant abstraction de ces racines les remarques précédentes subsisteront.

451 . Je placerai ici une proposition qui a un rapport intime avec les recherches relatives aux limites , et qui est d'un fréquent usage dans la haute analyse.

Soit un polynôme X de la forme

X = Mx'»-t-Nx'»+Pj:/'+ etc.

dans lequel les exposants m, n, p, ... sont entiers ou fractionnaires, mais positifs et décroissants. Il existe toujours une valeur

fOtilwe de Z , teUe qt^en diMUlnt À % tks valeurs de pln$ e grande», Upofynonu X prendra dea vuleurs de même si son premier ïerme, et qui iront en augmentant Jusqu'à l MetlMisd'abM^Meafoclairxomman, etécrivtnv

X=M(x-+|;r-+|^+etc.).

Dans les parenlbèws , parmi les tomes en j^, j»°,.-- il P^ut s'ei ' troamr qni aient des eo^cteols potitifa : représentons pat 1~ ~ KXDDe de ces tffmes, et pu Y' cale dés termes a&clés de d tàokiê négatifs. Od aura

X=M (X-+Y— Y') = M fa- (1- X )

n ta dair que toas les termes du qqotjent de Y' par af avofr » draornintlelm despuissaoces positives de jt , et que pu coafléi^eat,,en doonaiit à j: une trés-graude valeur pusilive quoliait sera -Ci. Par soile, la quanUté cutre crochets &era ' dominait positive , car jc" est poâtir et Y ne renferme ~ que ttriMl twsilirs; donc X sera de mâne signe que M ou Mj:"-.

Heprésenlctfts par X cette très-grande valeur, et supposons qu'on fasse croitre x à partir de / ; le quotient de Y' par x" ira eu décroissants, tandis que x^etY augmenteront indcQnimeut ; donc la quantité X ira elle-même en croissant jusqu'à l'infini, et c'est ce qu'on voulait démontrer.

Si on veut assigner une valeur à X, on p^ut y parvenir, comme pour les limites, en substituant au lieu de .r d^s nombres posilils croissant jusqu'à ce que x" surpasse Y'; mais on y parviendra encore par le procédé suivant , déjàtmployé n' 378. Supposons que le quotient de Y' par x" soit

et qu'il soit composé de a (ormes. Posons les inédites R i S i T 1

ou, ce qui est la même chose, celles-ci

LEÇONS D'ALGiBRB. 411

En essayant successivement pour x des nombres de plus en plus grands, od en trouvera un qui satisfera à toutes ces conditions, et on pourra le prendre pour >..

Remarques, Quand les exposants m^n^p^,.. sont tels que les termes du polynôme X ne deviennent pas imaginaires eny mettant des valeurs négalivcs à la place de j: , on pourra au^si assigner une valeur négative de jc, à partir de laquelle toutes les valeurs négatives plus grandes feront prendre à X des valeurs de même signe que le premier terme IM^f", et croissantes jusqu'à Tinfini. En effet, eu faisant x=— ^, X devient

X=M (— ^j-n+N (— ^«) + etc.

or, dequelquc manière que les signes se distribuent, on peut, d'après ce qui précède, déterminer une valeur posilivc^=À', qui remplisse, à l'égard du polynôme précédent , les conditions de l'énoncé $ donc la valeur négative x= — V sera celle qu'il s'agit d'assigner.

Lorsque tous les exposants du polynôme X sont entiers, les termes ne cessent pas d'être réels quand on y substitue des valeurs négatives dex; par conséquent, dans ce cas, on peut toujours assigner à X une limite positive x et une limite négative — )/, telles qu'en faisant croître x positivement à partir de \, ou négativement à partir de — /, il en résultera, pour le polynôme X, des valeurs qui seront constamment de même sigue.quc son premier terme, et qui pourront devenir aussi grandes qu'on voudra.

Théorèmes sur les indicatious que fournissent les substitutions de deux nombres quelconques

la place de l'inconnue.

452. Je porterai d'abord l'attention sur une remarque importante que le lecteur a sans doute déjà faite, savoir : Que si dans un polynôme X de la forme A^C'+Bjc^—'+Cj:^— ^-h etc., on fait Pttner x d'une manière continue, le polynôme X i^ariera aussi d!une manière continue.

A , B , G, ... son t ici des quantités réelles , et ce qu'il faut prouver, (fest en donnant successivement à x deux valeurs aussi peu diffé- 'rentes qu'on voudra, la différence entre les valeurs correspondantes de X pourra elle-même être aussi petite qu'on voudra.

En effet, supposons qu'après avoir altrUiuéè j: une valeur quelconque, on change j; en x+À. Si oaDomnie X,oefB0denei^&,

et si on désigne, comme à l'ordinaire, par X', X^',.** ^^ polynômes dérivés de X, on aura

X,=X+X7i4- 7 X"AV . . +AA'".

L'ensemble des termes qui suivent X, et qui contiennent les diverses puissances de A, représente le changement que subit X par suite du changement de x en oc+h -, or, il est évident qu'en choisissant h suffisamment petit, on peut rendre chacun de ces termes aussi petit qu'on veut ; par conséquent il en sera encore de même cie leur somme. Maintenant passons aux théorèmes.

453. Théorème I. Si deux nombres substitués successii^ement au lieu de x dans une équation X=:0 , de la forme

donnent des résultats de signes contraires, U équation a au fuqfns une racine réelle comprise entre ces deux nombres.

Représentons par a et |3 les deux nombres sub::titués qui donnent des résultats de signes contraires ; et pour flxer les idées, soit a<;f:>. Concevons, par la pensée, qu'on substitue successivement dans X, au lieu de x , toutes les valeurs depuis a jusqu'à p ; le polynôme devra lui-même varier d'une manière continue. Mais, par hypothèse, en y faisant d'abord x=oi. puis j^'=;3, on doit avoir -deux résultats de signes contraires; donc parmi les valeurs qu'il prend quand x croît depuis « jusqa a /8 , la valeur zéro doit se trouver au moins une fois. Or, la valeur de x par laquelle X devient zéro est une racine de l'équation X=0 ; donc, etc.

Remarques, Il faut bien observer qu'il pourrait y avoir erreur en affirmant qu'il ne doit y avoir entre a et |3 qu'w/^e seule racine de l'équation X=0. Et en effet, le polynôme X, sans cesser de varier d'une manière continue, peut, par exemple, avoir d'abord des valeurs décroissantes qui s'arrêtent à une certaine limite, après laquelle il croîtra jusqu'à une limite à partir de laquelle il reprendra encore des valeurs décroissantes , qui elles-mêmes , après s'être arrêtées , seront suivies de valeurs croissantes ; et ainsi de suite. Par conséquent, rien n'empêche que X , dans l'intervalle de j:=a à x=iB , n'ait passé plusieurs fois par zéro.

454. Théorème II. Lorsque deux quantités comprennent entre elles une racine de S équation X=0 , et n'en comprennent qu'une, si on les substitue sutccessi^fenient dans l'équation, elles donneront

deux résultats (le signes contraires. Et, en général, toutes les fois que les deux quantités comprennent un nombre impair de racines, les deux résultats seront désignes contraires ; mais quand elles ne comprennent pas de racines , ou quand elles en comprennent un nombre pair, les résultats seront de même signe.

Supposons que a soit une racine réelle comprise entre a et p , et qu'elle soit seule. Le polynôme X est divisible par x-^a , et en nommant Y le quotient, on peut mettre X sous la forme

X==(jr— û)Y.

Faisons successivement x = 0Lcix = p; les valeurs de Y devront être de môme signe : autrement il y aurait entre o^ et 3 une racine de réquation Y= 0, laquelle, serait une nouvelle racine de X = 0 comprise entre a et (B , ce qui est contre Thypothèse. Mais d'ailleurs le facteur x — a changera de signe : car les différences a — ^ et p — a sont de signes 'contraires, attendu que a est entre a et p; donc les deux résultats qu'on obtient, en substituant a et p dans X , sont de signes contraires.

Supposons plus généralement qu'il y ait entre a et ^ un nombre impair de racines a, b ^ cf etc. On sait que X est divisible par le produit (x — a) [x — b) {x — ç)..., de sorte qu'en nommant encore Y le quotient , on aura

X=(a7 — rt) (.r— 6)(a: — c)....X Y.

On démontrera comme tout à l'heure qu en faisant a: = a et J7=j3, les deux valeurs correspondantes de Y auront le même signe , tandis que chacun des facteurs x — «, x — b^x — c,... change de signe ; et comme ces (acteurs sont en nombre impair, on en conclut que les résultarts dos subtitutions de y. et do p dans X doivent être de signes contraires.

Celte même démonstration prouve que s'il n'y a point de racines entre a et p , ou que s'il y a un nombre pair, les résultats des deux substitutions auront le même signe.

Remarque. Le théorème qu'on vienUde démontrer mérite une grande attention , et doit surtout \^^ en garde contre quelques assertions hasardées auquellos on poiirrait se laisser entraîner. Par exemple , de ce que les subslitulions de doux quantité.^ donnent des résultats de signes contraires, on peut bien conclure, d'après le théorème 1 , que ces quantités comprennent une racine : mais on

aurait tort d'affirmer qu'elles n'en comprennent qu'une ; car le théorème II prouve qu'il pourrait y en avoir plusieurs, en nombre impair. Pareillement, lorsque les résultats sont de môme signe , on ne saurait affirmer que les deux quantités ne comprennent aucune racine, car il pourrait arriver qu*il y en eût un nombre pair.

455. Théorème III. LorsqiCune équation rCa point de racines réelles, si on y substitue , au lien de x , des quantités réelles quel» conques, les résultats seront toujours de même signe,

£n effet , si Ton trouvait deux résultats de signes contraires, on serait assuré que l'équation a au moins une racine réelle comprise entre les deux quanti tés substi tuées , ce qui est contre la supposition.

Remarque. Quand on a divisé une équation par tous les facteurs correspondants aux racines réelles, J'équation restante doit être dans le cas dont il s'agit. Mais une équation qui contiendrait des racines réelles donnerait encore des résultais de même signe, si chacune y entrait un nombre pair de fois. En effet , en nommant a, 6 ,... ces facines , on peut alors écri^re l'équation ainsi :

{x^ay" (n^br.^. XY = 0.

Or, quelque valeur réelle qu'on sulJstitue au lieu de x^ les facteurs [x — <2)"*, [x — by/^.., ne sauraient devenir négatifs ; et, d'un autre côté, Y ne peut î^oint changer de signe, puisque l'équation Y = 0 n'a que des racines imaginaires.

45C. Plusieurs conséquences du théorème I''^ se placent ici.

1^. Toute équation de degré impair* a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.

Le premier terme étant toujours supposé positif, considérons d'abord le cas où le dernier terme est un nombile négatif — U. Nommons 4-/ une limite supérieure des racines positives, déterminée comme il a été expliqué précédemioçnt . Si dans l'équation on fait j:=+/, on aura un résultat positif'; et si. on fait x = 0, on aura le résultat négatif — U. Donc, entre 0 et +/, l'équation a au moins une racine réelle, laquelle ne peut être que positive.

Ma-nlenant , considéronsj|^s où le dernier terme de Téquation est positif. On remplacera x par — jc j et comme le premier terme deviendra négatif, on le ramènera à être positif en changeant tous les signes de l'équation. Par là le dernier terme deviendra négatif; donc, en vertu de ce qui vient d'être démontré, on est sûr que la

LBÇoi^s d'algèbre. 415

transformée a une racine posiliye , et par conséquent la proposée a une racine négative.

2** Toute équation de dcççrè pair, dont le dernier terme est négatif'^ a au moins fleux racines ivolies, l'une positive et Vautre négative.

Faisons successivement j:=Oetj:=+/, on aura deux résultats de signes contraires ; donc l'équation a au moins une racine positive. Ensuite, si on change a: en — x dans Téquation , la transformée aura encore son premier terme positif, et son dernier terme négatif; donc elle aura une racine positive ; donc la proposée en aura une négative.

Remarque. Quand l'équation est de degré pair et que son dernier t^me est positif, ces raisonnements ne font plus connaître si Téqualion a quelque racine réelle, parce qu'alors les substitutions ne donnent plus des résultats de signes contraires. C'est qu'en effet les équations qui n'ont que des racines imaginaires doivent nécessairement être de cette forme : car , si elles étaient de degré impair , elles auraient au moins une racine réelle ; et si , étant de degré pair, leur dernier terme était négatif, elles en auraient au moins deux.

457. Par des raisonnements analogues à ceux du n"" précédent, on tire du théorème II les coinéquonces qui suivent.

1® Dans une équation de degré impair, les racines réelles de signe contraire au dernier terme sont en nombre impair, et les ra~ cines de même signe , s il y en a , sont en nombre pair.

Lorsqiie le dernier terme est négatif, les substitutions jc= 0 et a:=i + l donnant des résultats de «ignés différents, on conclut , en vertu du théorème II , que les racines positives sont en nombre impair. Si on change x en — x ^ l'équation se transforme en une autre qu'on ramène à avoir son premier terme et son dernier terme positifs : or, qu'on fasse dans celle-ci Jt'=0 ou x est égal à la limite supérieure de ses racines positives , on a deux résultats positifs; donc les racines positives de celte transformée , et par suite les racines négatives de la proposée ne peuvent être qu'en nombre pair.

Lorsque l'équation proposée a son dernier terme positif, la transformée aura son dernier termcJA|iif. On pourra donc lui appliquer les dernières conséquences ,^H[r suite on conclura que la proposée a un nombre impair de ray^ négatives et un nombre pair de racines positives.

2^ Dans une équation de degré jg^EÈi le dernier ternie est né-^

419 LEÇONS b^LGâms.

gatif. Ut raeiiu» poaitifV lont en nomi/i-e impair et le* racines ai' getiva aiuai en nombn impair; et si le dernier terme est positif. Ih raeioêt dé eAaque Morie ne peuvent exister qu'en nombre pair. • Cette eouéqbeitce s'obtietit bÎ racilement en reprenaDl lo raiwnnement d-demu , qa'it est inutile de s'y arr^^t^rdavanla^e.

Remarque. Hua bm\l»&a, onroit que le nombre total des ri-

doei réeUea ett da mtaie parité que le degré de i'équalion , c'est-

A-diN qu'il eét impair oa pair, seloo que ce degré est impair on

pitr. DonCji'flya desncines ima^Daires dans l'équation, elles j

•ont en notplire pav, ce qui est conforme à la remarque déjà faite ,

n* pi;èoédent , et à la pn^sition qui termine le n" 386.

,458. T(dd eaoCm une proposition très-simple , qui doit trouver

' Jk'fAaoefci- Sitate,équtUiùn se compose d'une mite de termes]»-

tit^t, i^ris kiqueb U n'jr nit plus que des termes ncgati/s.àlt

■^''0tau^miW radtiepositipe af n'en attra qu'une.

Pniaqae >od dcnkr tnine est négatif, elle a certaincmeot mu ndiilf|MidtiTe(4Mt); et pour démontrer qu'elle n'enaqu'une, db «■iaoaiiencommt dans leif 446. Aommons Yla somme des lensa pCMlUft, — Y* celle des tenaes n^atifs , et j:' la plus petite puissaoa de ar ftinfennée dans Y : ou peut écrire l'équation sous cette r<»iH

Soit .r=(z la valeur positive qui satisfait à l'équation , ilfantqn'OB

ait ;

Or, en augmentant x , le premier membre de cette égalité id|mentera ou tonl au moins restera conslant, tandis que le secool diminuera ; et le contraire arrivera en diminuant j". Itonc j=« eslija seule racine positive de l'équation.

luu^keut ip^^Bn tn aà^ndre

:al<^kég