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459. Les régies quu^^ut à découvrir les racines commeMrables étant d'uae appl^Hn très-facile , il convient , toutes les fin qu'on a une équation à ^ndre , de rhcrclicr d'ab'ird les raciues de cette espèce, tant ëgalt^Hwég3les,el de les supprimer ensuilesn moyen de la divisiou. ^^^kilé . ces racines pourraient se tr

Nir les mêmes procédés que les racines incommensurables , mais es calcnls qu'ils exigent sonl fort laborieux, et ils le sont d'autant plus que le degré de Téquation à laquelle on les applique est plus slevé ; c'est pourquoi Ton doit toujours commencer par abaisser ce degré autant que possible : or, la suppression des racines commensnrables est un moyen d'opérer cet abaissement.

La même raison suffirait pour rechercher si l'équation a des racines égales , aGn de la décomposer, dans le cas où il en existerait , en d'autres équations plus i^imples dont toutes les racines fussent inégales (405). Mais on doit remarquer en outre que cette préparation est nécessaire pour le succès des méthodes qui vont être exposées.

En conséquence , je supposerai toujours , dans ce qui va suivre , que l'équation à résoudre n'a plus ni racines commensurables ni racines égales , de sorte qu'en parlant de racines réelles il ne sera question que de racines incommensurables et inégales.

460. La recherche de ces racines se partagera en deux parties distinctes. Dans la première , on déterminera , pour chaque racine , éeax nombres entre lesquels elle sera comprise , et comprise toute seule : c'est ce qu'on appelle la séparation des racines. Dans la seconde , on se proposera d'évaluer les racines avec tel degré d'approximation qu'on voudra.

Si on change dans une équation l'inconnue x en — a: , et qu'on prenlie avec le signe — les racines positives de la transformée, on aura les racines négatives de la proposée. Ainsi , il suffira de montrer comment on trouve les racines positives des équations.

La première méthode rigoureuse qui ait été connue pour opérer la séparation des racines porte le nom de Lagrainge : c'est elle que je vais exposer d'abord.

461 . Soit une équation quelconque X= 0, qui n'a plus de racines égales. Imaginons qu'on y substitue successivement au lieu de l'inconnue j:, des nombres positifs/?, ^, r, 5,... formant une suite croissante, commençant à la limite inférieure des racines positives, unissant à la limite supérieure , et en outre tellement choisis qu'entre chaque nombre et lc.suivant il ne puisse tomber qu'une seule racine de l'équation. D'après le théorème II (454), on saura avec certitude, par les signes des résultats des substitutions , quels sont ceux de ces nombres qui comprennent véritablement une racine ou qui n'en comprennent point ; et alors la séparation des racines positives serait complète.

418 LEÇONS d'algAbri.

La condition essentielle à laquelle sont assujettis les nombresp, f , r,s,.., c^est que deux d'entre eux, pris consécutivement, ne puissent pas comprendre plus d'uue racine : or, cette condition sera remplie, si on choisit pour ces non^bres les termes d'une procession arithmétique dont la raison soit une quantité $ moindre que la plus petite différence qui existe entre les racines positives de Téquation proposée. Ainsi, la difficulté se réduit à connaître la raison â. C'est ce que Nkwton avait déjà remarqué dans son Arithmétique unii^rsMé^ et Lagrange y est parvenu au moyen de l'équation aux carréà des différences des racines de la proposée (*).

On a montré (4-27) comment elle s'obtient : supposons qu'on l'ait trouvée et qu'on ait évalué , par les procédés connus (448) , la limite inférieure X de ses racines positives : on sera sûr que cette limite est moindre que le carré de la plus petite différence qui \ existe entre les racines de la proposée ; par conséquent on pourri faire $ — \/î. Comme K). est ordinairement incommensurable, on prendra préférablement un nombre rationnel <yï.

Lorsqu'on pourra trouver pour \ un nombre > 1, on choisira pour 9 le nombre entier au-dessous de K/; et alors, pour opérer la séparation des racines , on n'aura qu'à substituer des nombres entiers dans l'équation X = 0. Quand ou aura reconnu ainsi qu'il y a une racine entre deux de ces nombres, on pourra encore substituer les nombrc^s entiers intermédiaires, et déterminer, par les signes des résultats, les deux nombres entiers consécutifs entre lesquels elle est comprise.

Le plus souvent \ sera une fraction <1 , par suite 8 sera aussi une fraction <1, et on aurait à substituer des nombres fractionnaires. ' Mais on les évitera par une simple transformation, en faisant x=^^x . En effet, pour que deux valeurs de jc aient entre elles une différence >o, il est clair que les valeurs de x' doivent différer entre elles de plus d'une unité ; et dés lors on pourra trouver pat des substitutions entières les deux nombres consécutifs qui comprennent chaque racine réelle de la transformée en x\