Envisagée sous un point de vue purement théorique, Il
(*) Cet usage de réqaation aux carrés des difTérences avait été déjà indiqué, 6111762, par 'Waring , dans ses Miscellanea. Mais, dit LAGaAHOfi « je ne connaissais pas cet ouvrage lorsque je composai mon premier Mé- » moire 5ur lf»5 équations. »
LICONS D*ALGfiBRI. 419
méthode précédente M^out complètement le problème de la sépalion des racines. Mais si on considère, d^une part, la longnear des dklcals nécessaires pour foitner rcé[«alion aax carrés des différendli, quand la proposée s'élève un peu haut; et , de l'autre, la mnltifidc des Substitutions shccassivél» qu'on peut avoir à effectuer^ enljugera que l'âfiplication do celte méthode doit au moins être tréS-pénj^lc.
> A^ldc diminuer le travail fle& substitutions, on aura soin, dana éhgqtte câs Particulier, 'de prendre pour limite inférieure et poul^ liniie Supérieure Ses raèfnca^de ré^uation proposée,^ nombres tes plu|1^prochél^qu^n pourra, et aussi de choisir pOfir t le plHd gftLnd nonîbre possibft. . Vr.' ^.
* Apr^ avôft* détt^rrniné les litiites des racines, tant positives que
^%égativ^, il sdr{i.bii?n''de substituer immédiatement les nombres
entier^qpnséc^tifs cc^pipris entre ces limites; et s'a arrive qw les
ijl^nes des jGjÉtîltats indiqueitl jutant de racines réelles qu'il y a
d'unités dans le degré tic Téquati^, ^oitime on safi qu'il ne peut
jms y aVoir un plus gr^nd nombre de racilies, on sera dispensé de
calculer l'^uation. aux c^lrrcs dcs.diflerences. ]gp général, on ne
devra omettre srucun moyen pi^bprcjà éclairer sur la nature des
rflftinqs , aCa d'^en profi4ef p&ur simplifier les calculs.
^Le cas où l'oi^ saurait d'avance que toutes les racines^sont réelles
mérite sùtlout d'étias remarqué. Il est clarirqu'alorSTen opérant des
Substitutions de plus eaplus rapprochées, entre Ic^di&ites extrêmes
^ui comprennent toutes le3 racines, cm finirai, nécessairement par
^ trouver dans lès résultatâl^n nombre de çliangedènts de signes
éml Êa degré de l'équation ; par cori^équent alors tdhtes les racines
* s&ont réparées. Ce ca^ retiendra plus loin, n^ 479.
.^iB. fiemarque. Dans le <^t427, poifr arriver à l'équation aux càirés des différences^ on doit passer par l'cquflion^uic.différcnces, ft feUe-ci se trouve par une.énniinalj|^n. Or, le scjijl (Troeédé g;é- ' néral d'élirÉitiatiorf qi^c nous^ayçms expo§é e^ dlui (lu plus grand fK)miQiun diviseï* ; et ce que je veux faire ob§prver id , c'est qi#alo|i§ik est^pcu important d'obtenir une équati0ivlt)àlc qui ren-
* èrflaè toutes les difféiv!hccs j^es saciries et qui ne renfcrtoe qu'elles.
Supposons d'sjJ)ord?qijp l'êquatitn finale renfcrifie tomes ces diff^cpces, et quelle ïfait que L-^ «ioraut de contenir dos racines étr2yi^èi;ps : la lirAKe^i^iférîeùre des racines de cette équation sera c^GertainenfM^it moindre qf|^ta^p1us petite différeivei^ Ars^^Sx^^ ^^\^
^ « . .« ■WJA'tf-i.te
42lt LIU;0!<S B^LGiBH»,- "»
proposée, et par cooséqnent oii*pourrï,li^re]^dre de i. Supposons, ea second li^, <ple VéqaaHoa finale quelques différeDces : c'cs[^ft, dans fes dtvisjojiâ ^u'oa<^re poUf effeclucr rélimiuation, onaura supprimé <}UL-lqucsT3C(eurs. Q^, en I dgalanlces facteurs à ^to, dtfâ'dc« ^'(Amliuns qui'do|ivenlce{itenir Efies diQËrenccs ; donc, si jjn évaluË^cs umites .mfftieures des raci|e« ~*e toutes ces équations,, aug^ilifen que cglle db Véqualion ûuale^u era encore askirà x|u'or ((eut DTSBdre '^al k I4 pl^p pëtileda es limites. "• " * * * ' **•'**' * - - **
■ 464«i^ais mainteiant j^égentydlB è^Mptes a'éodiiiroDï, Iiuis^efgmle5>it s'agira d'opérer la.séparAio^eg rAcii^.^ * *ÊxEMPLBl."SiJîfrèq(felioq*2 • -^ , ♦ V " •' • ♦
t Bor-lc-^hamp qu'elle lorïbG dans le oas-dn rf \Sifif ef qW<
.JMèqdfnt tlluli une éicînç positif c nujijâf, Si In vttut ivoirh
f^^tièrë d^ celle>racme, il si^lBra donc Je subsij^er au lien
f,\Apain^es 0, ]', ^.'..•«jqigu'àÇ4qu''A trouve dKus résu^'ll
de signes contrafres,' ■*■,.' j| '* ■
NfiftbressolistilH&ht.. ..;'■. o/V. 2;*
.. ^Résultats cerre8jK>hdant»..-;-3,—dj*l-'fi
A^si'la rajfineidont il s'agl^'vst'i'o^prise^tre Iti^t 2. , *
^•urc^rcRbr Ics,nRitaes b'égative^f'on- changera Jb^l — X.ÎÀ
* transforojéé Êr^ • ■ -
'•* et cominp ft>u?^S tQmc$ dfil Ife^igne-r^llest c'iàîr qd*elfc t^SfâtA' '• d^ l'acincjfQsfthg. Donc la pniposée n'a' pviut de racine qé^ti^ r
* ^on8 les deux autrçfe racines spnfimagTnaircs. ■ '.' . °
•^ ■", ExEnyLE fljSoifl'équHioo ^ **[ ' ..'•■-
' BUé'cstencsipdius le cas du s" 4^ j-lt, si M y |^p^gs xpat'~-x,. ' élbdevient celle5c)^ ■' . •-'.''.,* m '■' „
; •' laqbelTc es,^ sSs^dans^e même, {as. jloncJ^roposêe o'à qâednx' Mcineâr^M^'J'inejwSilive 1 J raBiJê n^^ite. -^ partie ênliért ^ ' ,se froivçraidoBc par lés'sub^tttjons eiî{:^s cobmerCi-deS^oiu : ■ .|t ' ^om^Htfsf., '■<>, ", i,. V, *-^|L .'O^l,— ,2; ;.'
LEÇONS d'aLGÂBRI. 421
Par coçséqoient , la sackie positive est entre 2 et 3 ; et la racine négative est entre*— 1 et —2.
Exemple III. Soit Téquation
Pour ne point pousser ^trpp lofa les substitutions, déterminons d'aboM les lio^ites supéhriepres des racina|; En écriyant Téquation wus cette forme* j^ ^
' et en cherchant «âne valeur de a: qui rcrMc Qositif le trinôme
^^iir' + ^— '6b^'on reconnaît que le ponlbre 4 csti limite supérieure
des raciQesi positives*. Si ensuitcbu ehangc omhi — x, tous les termes
d^l'éqijiatjpn proposée Reviennent positifs, et FSn en conclut qu'elle
n'a |foint de racines négatives.
. «^Li'éc^tion donnée n'ayant point de second terme, la somme des
^* racines dldit titre nuHc, par conséquent ces racines ne peuvent pas
être tontes positives. JDonc , puisque l'équation n'a pas de racines
^ négatif # ellg doit gn avoir d'imaginaires. Mais, d'un autre côté,
<fti sait nyelcs racines imaginaires sont en nom]}re pair (457) ^ donc,
'•. si VéqyatiDn a" véritablement des racines réelles, elles seront posi-
. tive^^^^u nombriB de deux.
^ainiehani il jypiiit essayer les substitutions des nombres entiers posittfs jusqu'à la limite 4.
Jïomb. subst. û, 1, 2, 3, 4; , . ,f Rés. corresp. +5,— 58,— 105,— 100, + 17.
Les signes montrent qu'il y a en effet deux racines positives ; l'une » . entre 0 et 1, l'autre entre 3 et 4.
Exemple IV. Soit encore l'équation
' Paisq|l^sllc est de degré impair, elle a au moins une racine réelle de
«signe c^n\raire au dernier terme, c'est-à-dire négative. Elle n'a pas
«d'autse radiée* négative : car en changeant. j: en — .r, elle devient
3? — 7a: —r 7 = 0 ; et celle-ci n'a qi:^'unc seule racine positive (458).
.^ soi^titution des nombres^ entiers suffira pour déterminer la
patlie'énticre de cette racine positive.
^' • ^ Nomb. subst; 0, 1, 2, 3, 4;
Rés. corresp. — 7,— 13,— 13,— 1, -H 29.
LIÇOM V'àLÊàÈM».
t ZloDC la racine positive de )a tr8usfi>riné4.eik — -r esl/nlré*3 el'
0 la racine négative de la pm[>osêe est entr?- 3 "et —4. >i les deax autres racines sont réelfea, eflês doivent éite pon- 1,
mais jusqu'ici leur existence restivin^crlairil. Pourlevei^le iQS !a substitution des oombroS.efltjei^. . ^ ' |
1 Nomb^abst. 0, t,* ^ Réa,. TOiTesp, 7, (,' J,
ao pro1ong:o puiiH les ' AabstituHbfis davantage, farce tiBË e =3 doDua^t x^>7j:', il est évidoul que les nonibres plus • ■"• des résuUals pocitifS' Les résujîuts ei-i^ssus élvij * . «i^ne.on n'aperçuil pas encore qtj'it }; ait deos' »^ t\ elles exislenl, on oe Jes reconnattra qn'^ „.-™ „„jbre9 plus rapprochés. . • ". *
, îl observer que dans le "cas oîi les deax Mtcij^es
„'i>b tiendrait jamais des r^idlats ije^igne9Coâ-,
»ODC D&'cssaire d'appliqaer à l'équalion donnée lfE<
s pour juger si elle a des racîfies^ales. On approul
le cette équation sont iffégalesf *' ' ' , '
v~, (~M> ui.'i ver sûrement à la séparation dfs dt^Si^racvies
douteuses, on aura recours k l'équation aux carrés des diCto-ence^
Dans l'exemple dont nous nous occupons enee monent*' '•^ a
trouve (429) que cette équation est
Soit fait B ;= — , il viendra *V '
On peut écrire cette équation ainsi . • -
et alOTs on aperçoit clairement que 9 «st une limite supérieure ws
<,'; Comme celle équation u'j point di/ racioes nulle), ou appr^^ilt^r là, «i on ne le savait déjà, que la proposée n'u point de racïuai ùg^Flei. O'ap autre cùlé , commcli'ï Mgnei de Icquatioii eu : sont alteriiu^irs, on petttf- Ëi-mer que la prapouée a toatea ses luclnts réetlei ; muU cotlu Anàcqûenci est fondée i\ir uaa ihéoiie qui icu cxpokée fia* tard (4So)- '
LEÇONS o'ALGiBMI. 4âS
valeurs positives de u. Donc > = ^ est une limite inférieure des valeurs positives de z ; donc enfin on aura une quantité moindre que la pins petite différence des racines de la proposée, en prenant
Tel serait l'intervalle à mettre entre les substitutions. Mais afin
d'éviter les fractions , on fera j: = --- ; et l'équation proposée se
transformera en celle-ci ,
OÙ il n'y aura plus qu'à substituer des nombres entiers.
Afin de diminuer le nombre des substitutions, il sera bon de déterminer les limites supérieure et inférieure des valeurs positives de a!. Si on remonte à la proposée, on voit d abord qu'on peut prendre k^pour limite supérieure de jc. Puis, en changeant jc
en * , elle devient x^ — j:' + - = 0 ; et comme dans celle-ci Tunité
est liante supérieure, il s'ensuit que dons la proposée Tunité est lioiite inférieure. Ainsi , dans celte équation les racines positives gont entre 1 et k^7 ; et par suite les racines positives de Téquation en jc' sont entre 3 x 1 et 3 x 1^7, ou entre 3 et ^63, ou enfin entre 3 et 8. En conséquence, on ne devra substituer dans Téquation en x' aucun nombre au delà de 8.
Nomb. subst. 3, 4, 5, 0 ;
Rés. corresp. 4-27, + l,— 1,4-27.
Sans aller plus loin , les signes des résultats indiquent deux racines positives. Tune entre 4 et 5, l'autre entre 5 et 6. Par suite, la proposée en aura aussi deux. Tune entre ^ et ], l'autre entre 3 et f. On a déjà trouvé qu'une racine était comprise entre — 3 et —4 : ainsi les trois racines de l'équation proposée sont réelles, et complètement séparées.
Mëihodes tl'.i}>pr()xin]uliuD<
465. Méthode par rapprochement des limites. Après avoir montré comment on assigne pour chaque racine deux limites spé-
424 KEçoKtt u'algèbae.
dales entre lesquelles elle est senlc comprise, il resté encore à la déterminer avec telle approximation qu'on voudra.
Le premier moyen qui se présente, c'est de substituer, dans l'équation proposée , des nombres intermédiaires entre ces limites, jusqu'à ce qu'on en trouve deux qui, donnant des résultats de sî^es contraires , aient entre eux une différence moindre que la fraction qui exprime le degré de l'approximation. Alors chacun de ces nombres pourra être pris pour la valeur de la racine.
Pour mieux m'cxpliquer, je suppose que A et B soient deux limites qui ne comprennent que la seule racine a^ et que A étant moindre que B, on ait B — A=D. En substituant A+ ^D au lieu de JT, le signe du résultat apprendra si a est entre A et A4- ^D, ou entre A+îD et B; par conséquent cette racine se trouvera resserrée entre deux limites qui ne différeront plus entre elles que de îD. En répétant une opération toute semblable , on la resserrera entre deux limites qui ne différeront plus que de ^D; et il est évident qti'cn continuant ainsi on arrivera à deux limites dont la différence sera moindre qu'une quantité donnée o. Alors chacune de ces limites sera la valeur approchée de la racine , à moins de la quantité o. 11. n'est point nécessaire de prendre pour chaque nouvelle substitution un nombre qui soit exactement équidistant des deux dernières limites, et il sera souvent plus commode d'en employer un autre.
Par ce procédé on pourrait porter Tapproxinialion à un trèshaut degré; mais le c«alcul deviendrait extrêmement laborieux, à cause du grand nombre de substitutions qu'il faudrait effectuer. Aussi ne s'en sert-on que pour obtenir une première approximation, à 7'.. près, par exemple; puis on achève le calcul par une méthode beaucoup plus rapide?, qui a été indiquée par JNkwton, et que je développerai dans le n" suivant.
Quand la racine est < 1 il convient de l'évaluer, non à moins d'une fraction de l'unité, mais à moins d'une fraction de cette racine elle-même. Supposons, par exemple, que la valeur approchée ne doive différer de la vraie valeur a que d'une quantité <; /-^/. et soient A et B deux limites qui comprennent a^ A étant <B. 11 est clair que si on a B — A < /„ A, à plus forte iai:5on aura-l-on B — A<< /- a. Ainsi, il suflira de prolonger îv^s subslilutions successives jusqu'à ce qu'on ait deux limites dont la différence soit moindre que le dixième de la plus petite de ces limites. Au reste.
LKÇONS d'algébrb. 425
on pourra toujours ramener la racine à être plus grande que if
soit en changeant Tinconnue j: en - , soit en multipliant toutes
les racines par un nombre convenable.
466. Méthode de Newto?(. Cette méthode exige, comme on vient de le dire , que la racine cherchée a soit déjà connue avec une certaine approximation. Pour la commodité du calcul , il faut qu'elle le soit au moins à -^\ près , et c*est aussi ce que je supposerai. Nommons a cette valeur approchée , et faisons
Inéquation proposée X=0 se transformera en celle-ci
A+Ay +i AV+ 7T3 A'y+etc. = 0,
dans laquelle A , A', A'', A''\. .. sont les valeurs que prennent le polynôme X et ses dérivas successifs X', X", X"',.,. par la substitution de a au lieu de x. De cette équation Ton tire
A ÀV M"r^
La valeur de y qu'on veut trouver est < j'^ , par conséquent y^ ^3,... sont respectivement moindres que ,Ôô, ,zoz v Admettons, ponrun moment, que l'ensemble des termes qui renferment ces puissances soit <iôo : il est clair qu'en les négligeant, on aura pour j^ une valeur approchée à moins de 7Î0 ? savoir :
centièmes , j'ajouterai le quotient à la première valeur, a , et j'aurai ainsi pour la racine a une nouvelle valeur, p , que je regarderai comme approchée à moins de v^o.
On corrigera cette valeur p comme on a corrigé «. A cet efiet on posera
et ici la valeur de jr qu'il faudra chercher sera <C-,iz' En nommant B, B', B",... ce que deviennent les polynômes X, X', X", ... par la substitution de ^ à la place de x, la transformée sera
• B+B>'+-B'yH-,^:BV-Hetc. =0.
it les termes ea^,^', elc, oq a
'on a supposé j-< ,i,, les pnfssanccs supérkores de y MWt , II)' ; cl, en admellant qu'il en soit ainsi de toute la partie oés, la valeur précédente de j- serait approchée à moins de (; h)'' pourquoi l'on portera jusqu'à la 4' décimale l'cvaloatioo ^ tient de — B par B', puis on ajoutera ce quotient avec p, et l'on r la racine a une nouvelle valeur, /, qu'on regardera chée à moins d'nne unité décimale du 4' ordre, ni ainsi , et en néglig;eant toujours les termes qui .1 .ci puissances de la correclion j-, supérieures à la pr»- ^•e, on admettra que la partie négligée à chaque transformatiffii inoiadre qu'une uuilé décimale de l'ordre double de celui de la ère décimale à laquelle l'opération précédente avait porté 1 «iiliroKimalton ; et alors on obtiendra des valeurs approchées suc- j cessives, dans lesquelles le nombre des décimales ira toujours eo doublant. On voil combien l'approsimalion sera rapide, puisqu'on I aiira déjà 8 décimales après la troisième correcliou, 16 après la | Huatriôi:!!.', et aiusi de suite, j
On doit encore remarquer combicu est simple et régulier le calcul j de ces corrections ; car il est évident qu'elles se déduisent loute^ de I la même formule ^ ' ^ J
en y remplaçant d'abord x par a, puis par ^, et ainsi de suite : de telle sorte qu'après avoir fourni la première correction, elle fouroil encore la seconde, puis la troisième, elc.
Malheurcusnncul , les approximations qu'on obtient ainsi sont loin d'être certaines ; car elles reposent sur des suppositions qui ne sont point toujours vraies. Par exemple, il se pourrait que dans la première correction l'ensembie des termes eax', T'y- f^*- >r.'ii ou que dsns la seconde il fût Xt;;)'; elc. L'habitude da calcol suggérera, dans le$ cas piurtiuiliers , }m précaytio^ qu'il cODTiait
de prendre pour employer cette méthode avec sûreté; et même je ▼ais montrer qu'il sera toujours facile de vcrifîer, après chaque correction, si Ton a réellement atteint l'approximation présumée.
Remontons à la valeur p, qu'on suppose approchée k ,1^ prés. PoUir qu'il en soit ainsi , il faut que la vraie valeur de la racine soit entre p — ^l- et p ou entre p et p+ ,io« En conséquence, on substituera dans X les trois nombres (3— .;„ , p, p-h—ô; et si le résultat de la substitution de p — ;;„, ou de p+.L? est de signe contraire à celui que donne la substitution de p, on sera certain que la valeur p est véritablement approchée à ,;^ près. Mais si les résultats sont de même signe, on sera certain que cette approximation est exagérée; et dans ce cas il faudra prendre pour point de départ une iraleur plus approchée que a. Par exemple, au lieu d'une approximation à un dixième près , on eu cherchera une à un demidixième; puis on examinera, comme on vient de l'expliquer, si la correction fournie par la formule [1] est exacte jusqu'aux centièmes. Sh elle ne l'est pas, on recommencera le calcul , en se servant d'une preibièrc valeur encore plus approchée; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait la racine avec deux décimales exactes.
On examinera semblablement la valeur approchée qui résultera de la correction suivante ; et si la 4*" décimale est fautive, on la supprimera. Si les trois premières sont exactes, on procédera à une nouvelle correction, qui donnera une valeur dont l'approximation sera présunoiée s'étendre jusqu'à la 6* dcciraalo, ot qu'il faudra vérifier parle même procédé. La marciio à .sui\re n'a pas besoin de plus amples explications (*) .
467. Méthodb de Lagrangb. Elle consiste à exprimer chaque racine réelle en fraction continue. Si elle exige des calculs laborieux , au moins conduit-elle à une approximation certaine.
(*) Là OBO&IBTBI& ANALYTIQUE fait Connaître de la manière la plus simple à quoi tient rincerliyide de ces approximations successives; et en même temps elle indique les conditions qu'il faut remplir pour la faire disparaître. FooAiEftt dans son ^analyse des Équations^ a ajouté à la méthode de Nkwtox des perfectionnements, qiû , au fond , ne sont autre chose que le déveh^ppoment de cette remarque; mais, pour les faire connaître, il faudrait employer des considérations q^i appafticnuent aux mathématiques supérieures : c'est pourquoi je renverrai fi l'ouvra^çe même de FotRiER, ou aux Eléments d'Algèbre de INlM. Mayer c^Choquet. Ce sujet a aussi cté traité avec «uccès par M. ViKCEHT, dans uû^émoire inséré parmi ceux de la Société royale île LiUei et M. Gaughy t% a fait Tobjet de plusieurs publications récentes.
Oi>
raddi
UÇONS DALaSBAR.
D'après ce qui a été dit en parlant de la séparation des rauiD fik ta lia du w 461 , il est permis de supposer que les racines i l'équation à résoudre différent entre elles de plus d'une unité, et que ta partie entière de chaque racine réelle est déjà connue- Soit
l'équation dont il s'agit , et soit a la partie entière d'une radi réelle et positive.
Si on fait a; = «+-, on aura une tranformée en ^^ que je représenterai par Y= 0 , cl qui sera du^éme degré que X ;^ 0. La valeur de y qu'il faut connattre , pour avoir la racine cherchée, doit être positive et >'! ; et de plus il est évident que^ uc^ul avoir qu'une seule valeur de celte espèce , autrement il y auraitdeus valeurs de X entre a et ct + i. Donc, si on substitue dans Y=0 ]j suite i , â, 3,... on est sûr de parvenir à deux résultats-de sigMli contraires ; et les deux nombres substitués compreadronJ|êntre la valeur cherchée de x> de sorte que le plus petit iJcTces dem!.' nombres sera la partie entière de cette valeur. -
Nonuuons p cette partie entière, et faisons j'^ une transformée Z =0, qui aura une racine unjque ^. t : de sorte que la substitution des nombres 1, 2, 3, etc. fixa encore connaiire la partie entière de cette racine- * ^
Soit 7 celte parlie entière , on fera s=:y+—; et .il viendra ma nouvelle Iransforméc , U = 0 , dans laquelle ïl y aflra une racinE unique > 1 , dont on déterminera encore la partiV entière par la substitution des nombres 1,2,3, etc. On CQQfinu^a ainsi la suite des transformées aussi loin qu'il sera nëccs^ire. '^
Maintenant , si on observe qu'on a posé successivement
on en conclut que la racine cherchée peut s'exprimer per la fraction continue ' * ■.'
On sait qu'en calculant les réduites successif on peut alleindrc
LKOONS DALGÈBBE. 4fi9
telle approximation qu'on veut (313). Mais , pour no point faire de calcnls inutiles , il sera bon , à mesure qu*on trouve les nombres *9 ^9 7» 6(c., de former les réduites correspondantes (311) ; et dès qu'on parviendra à deux réduites consécutives telles qu'en divisant ronité par le produit de leurs dénominateurs ^ on ait une fraction moindre que Terreur permise , on sera sûr que la première des deux aura lapproximation requise (313). ..
Le calcul des équations transformées en ^, s, etc. est assez long; et, aCn de le faciliter, il convient de remarquer la loi suivant laquelle les coeilicients de chaque équation se déduisent de
Téquation précédente. Or, quand on fait j: = a + - dansX=0,
si on nomme  , A', A'',... les résultats qu'on obtient en mettant a à la place de x dans X et dans sç^ dérivés X\ X",.'*c1a transtomRe peut d'abord s'écrire ainsi :
, ^,1 A"l A'" 1 ^ ^ A+A'- + — -^+— ■-3+elc. = 0.
t^ar conséquent , en multiplian]^ par ^, m étant le degré de l'équa* tion, la transformée Y = 0 sera
Ajr+Ay-^' + lAV'-'+ïNA'V-s+etc.Jfe,
Qt l'on saura comment ses coefficients scf déduisent de X. L'équation Z = 0 se calculera semblablement : c'est-à-dire I ^'elle sera de la forme
^ et que les coefficients B , B', B", etc. , s'obtiendront en substituant p à la place àey dans le polynôme Y et dans ses dérivés. Ainsi de suite pour toutes les autres transformées.
468. Remarques. Tout ce qui a été dit jusqu'ici, sur la détermination approchée des racines réelles , pourrait évidemment s'appliquer aux racines commensurables , si^onjivait négligé d'en débarrasser l'équation. En prenant toutes Tes précautions, nécessaires pour ne conserver «uc des décimales exactes , la méthode de Newton finirait par donner une quantité décinfele terminée ou périodique î et celle de Lagrange condùtalt à une transformée qui aurait une racine •tentière. Toutefois, sans parler de la Ion-
4S0 LiçoNS d'algIbri.
guenr des calcals , on comprend que ces méthodes seraient insofflsantcs pour découvrir cette sorte de racines : car, lorsqu'une racine serait incommensurable, elles n'apprendraient pas si les opérations doivent s'arrêter ou se prolonger indéGniment.
Lorsque la seconde méthode fera trouver une fraction continne dans laquelle certains dénominateurs se répéteront dans le même ordre , on pourra soupçonner q«e la fraction continue est périodique ; et alors, d'après ce qui a été démontré (318), elle représenterait une quantité irrationnelle de la forme a + V%, Pour décider si la ' fraction continue est véritablement périodique, on s*y prendra comme il suit. Supposons que Y = 0 et ¥,= 0 soient des équations qoi donnent le même dénominateur dans les deux premières périodes : il est clair que ces équations doivent avoir une racine commune , et par conspuent on pourra la Tcconnattrc en mettant dans chacune la même leltre pour rcprcs(*nter l'inconnue, et en cherchant ensuite leur plus grand commun diviseur. Cette racine étant trouvée, on remonte facilement à crflc de la proposée X = 0. J'ajouterai encore que si cette proposée ne renferme que des coefficients rationnels, die ne peut pas avoir la racine isrationnelle a-^y/h sans avoir aussi la racine a — Vl). Cette proposition est trop facile à démontrer pour^u'il soit nécessaire de s'y arrélef*^.
Appli''alion d^s méthoîrs d'apjtroximation à un exemplp.
4(»9. Soit rcquatiou
On a trouvé n*» 464: Ex. TV, qu'elle a une racine positive entre
4 et -, une autre racine positive entre -f et ^ , et une racine négative entre--3 et— 4. Proposons-nous de calculer, par la méthode de Kkwton , la valeur approchée de la première racine.
11 faut d'abord en approcher à /.. près, en resserrant les limites
5 et '-,. Ces limites, en décimales , sont 1,33 ct1,67; et les signes des résultats pro^nait de la substitution de ces nombres dans l'équation sont -h et — . Si on substitue le nombre moyen 1,5, le résultat est — 0,1i>r); donc la racine est entre les limites 1,33 et 1,5. Or, le hombre intermédiaire 1,4 ne diffère de la seconde que de 0,1, et de la preirtière que de 0,07 ; par conséquent on est sûr que la valeur .r = 1 ,4 est approchée à /.; près.
LiçoNS d'alcébm. 431
Maintenant poor obtenir une plus grande approximation, il fant recourir à la formule [1] du n"* 466 ,
Dans notre exemple on a X=j:3 — 7x4*7, X'=3j:^ — 7; et par suite la formule des corrections sera
Si on y substitue la valeur approchée x = 1,4, il vient
^ = -Yl2 =""^'^^^ et de là'on conclut la valeur de x, approchée à .i^ prés ,
Mais cette approximation n'est encore que présumée. Pour la vériGer, je substitue dans Téquation, d'abord la valeur 1,35, puis cette valeur augmentée de 0,01 :
