donne

et le changement de signe prouve qu'en effet la racine cherchée, est connue avec quatre décimales exactes. En continuant, on pourra porter Tapproximation aussi loin qu'on voudra.

Par des calculs semblables ou trouvera la seconde racine positive. Pour avoir la racine négative qui est entre — 3 et — 4, le-

432 UGONS D'ALGJbRB.

plus commode est de changer j: en — j: : la transformée aura une racine positive entre 3 et 4 , dont on cherchera la valeur approchée ; puis on prendra celte valeur avec le signe — .

470. Appliquons maintenant la méthode de Lagrange au calcul de la ii.ciTic racine. Sans le n" 464 , £x. 1 V, pour changer l'équation donnée

en une autre dont les racine^ différassent entre elles de plus d'une unité, on a fait x=- ^o:', et on a trouvé

n faut donc chercher, par le moyen des fractions continues, la valeur de j/ comprise entre 4 et 5 ; puis en la divisant par 3, on aura la valeur de x comprise \ et 3.

Les opérations qu'on doit effectuer successivement , pour obtenir x\ sont renfermées dans le tableau suivant :

Equation en x'

1" transformée

2« transformée ^

' Ay4- Ay4- \ A'y +TfT A'"= 0 , A = 4'— 63.4 +189 = + 1, A'=3.4'— 63 = — 15, -:A"=3.4=+i2, ~iA'''=+l;

j^î— 15r'4-l^+l=0, ^ = 14 donne — 27, ^ = 15 +181,

Bz3+BV+ \ B"z+ v^ B"'= 0 ,

z = 6 donne — 811,

isformée

LBçoiis d'algAbri. 433

C =27.6'— 180.6'— 27.6— 1=— 811; C =81.6*— 360.6— 27= + 729, iC" = 81.6— 180 =+306, ^C"^= + 27î

81 1 u^— 729tt"— 306tt— 27 = 0 ,

w = l donne — 251,

if

peut continuer les transformées. En les arrêtant ici, on aura

1 + etc. ;

réduites, calculées suivant les régies connues (311), seront

etc.

s la V% i , Terreur est en moins et < tt^-j ou ^j;

s la 2% 4J , l'erreur est en plus et <-rr-â5 ou ttt.';

s la 3% ^, Terreur est en moins et < es! 99 ou g^j^;

s la 4% V9' 5 Terreur est en plus et <

' — ou -- '- -

apprécier l'approximation de la 4% sans connaître le dénomi- ' de la 5% on remarquera que ce dénominateur est au moins 994-85 ou 184. .

in , on divise ces réduites par 3, et on a ces valeurs ,

lies sont approchées , alternativement en défaut ou en excès , is des fractions /,,

trouvera semblablement les valeurs approchées de l'autre positive ; et quant à la racine négative , comme elle est seule — 3 et — 4, on la cherchera en opérant immédiatement sur lion proposée sans passer par TéquaUon en x\ larque, La valeur d'une racine incommensurable n'étant obtel'avec approximation , on ne peut point ôter cette racine de

434 LIÇONS D'ALGteil.

réquation an moyen de la division , comme dans le cas où elle rait exactement connue. Si on négligeait le reste de la division et qu'on égalât encore le quotient à zéro, pour en déduire les autres racines , il est bien vrai que les erreurs seraient en général renfermées entre des limites assez étroites : cependant il pourrait arriver que ces racines subissent des altérations considérables, et même qu'elles cessassent d'être réelles pour devenir imaginaires ou uice çersâ. Aussi cette simplification ne doit-elle être employée qu'avec une extrême circonspection.

Racines imaginaires. — Limites des modules.

471 . Par des substitutions convenablement réglées , on peut toujours savoir combien une équation a de racines réelles. Si ce nombre n'est pas égal au degré de l'équation , on est sûr qu'il doit y avoir des racines imaginaires; et, pour compléter la résolution de l'équation , il reste encore à déterminer cette sorte de racines.

Elles sont comprises dans la formule x^=a+h \^ — i , a et 6 étant des quantités réelles qu'il faut trouver. En conséquence , on substituera dans l'équation proposée l'expression précédente; parla cette équation se changera en une autre de la forme

a+bK~=o,

où A et B devront aussi être des quantités réelles. Or, pour que cette dernière équation subsiste , il faut qu'on ait à la fois

La question est donc réduite à chercher les valeurs réelles de a et b qui conviennent à ces deux équations. A cet effet, on éliminera entre elles l'une des inconnues, ^parexemple; puis on cherchera les racines réelles de l'équation finale en h ; après quoi on cherchera les valeurs correspondantes de a , en ayant soin de rejeter les solutions dans lesquelles cette inconnue serait imaginaire.

Que les coefficients de Téqualion en x soient réels ou quïls soient imaginaires, ce qui vient d'être dit subsiste également. Mais , dans le cas où ils sont réels , nous rappellerons (386) que te racines imaginaires de l'équation doivent être en nombre pair, et par couples de la forme a-jibV — i .

472. Vax m'occupant des limites des racines p. 40S et 8iii vantes t

Liçofift d'algébri. 4S5

je n'ai eu en vue que les racines réelles : je vais montrer ici qu'on peut obtenir des limites entre lesquelles soient renfermés les modules de toutes les racines , soit réelles soit imaginaires. Considérons Téquation

[1] x^+Pjc^-'+Qjc^... =0,

dans laquelle P, Q,... peuvent être réels ou imaginaires. Pour qu'une valeur de x soit racine , il faut (377) qu'après l'avoir substituée dans le 1*' membre , le module du résultat soit zéro.

Nommons ^ le module de j: , et /?,;,.. . ceux des coefiBcients P | Q ^ ... les modules des termes de l'équation seront (376)

et , d'après le n*" 375 , le module de la partie Pj:*-"-fQ:c*-*+... ne devra point surpasser la somme ^(^~>+9^~~^+... Donc si on choisit pour p une valeur X telle qu'on ait

[2] t"»— /;(^-' — y^^-»— ...s=0 ou >0,

on sera certain , en vertu du numéro cité, qu'aie»^ le module du 1*^ membre de l'équation [1] ne sera pas moindre que la différence cidessus i et dès-lors ce module ne sera point nul, ou ce qui est la même chose , la valeur substituée au lieu de x ne sera point racine de réquation. D'ailleurs toute valeur de p au-dessus de > rendrait cette différence encore plus grande ; donc l est une limite supérieure des modules.

La quantité > sera toujours facile à déterminer $ car il suffira de substituer dans la différence [2] , au lieu de f , des valeurs positives croissantes jusqu'à ce que cette différence soit positive. Si les coefficients P, Q ,... sont réels , les modules/;, ^ ,... seront les valeurs mêmes de ces coefficients, mais prises positivement; et si on désigne par N la plus grande de ces valeurs , on pourra prendre immédiatement pour limite supérieure > = N + 1 .

Pour avoir une limite inférieure on fera j:= -, on déterminera,

dans la transformée en j^, la limite supérieure des modules des racines, puis on divisera l'unité par cette limite.

uiçom b'AUtUB.