CHAPITRE. XIX

I 01 fUUVOtS TStonËUfiS IMfOnTANTS.

■ itrl i (rcrUTA Ih raclnea qnavl elLn ;^

473. TsionâKE de DEscuns. Lorsqu'on passe d'un terme au suivant , Ml dît qu'il y a variation on permanence , sdon que le signe f^bauge ou qu'il reste te mâue. Par exemple , l'équation x' — 'is^ — 5j."+8x — 10 = 0 aurait trois variations et une permanence. Qa suppose toujours que l'équation n'a point de coellïcîenls ima- -ginaires, et ici je supposerai en outre qu'elle n'a point déracines Belles. Cela posé, le théorème dont il s'agit s'énoncera en c«s tnmes :

Daiu une èquaiùm queiconque , complète ou incompiète,-ie nombre d^ racines positives ne peut point surpasser celui det variations; et , quand il est moindre ^ la différence est toiyoun un nombre pair.

La démonstration consistera à examiner le changement iKt>dnit dans leS' signes d'une équation, quand on y introduit une nouvelle racine positire. Considérons donc une équation quelconque, complète ou incomplète , et renfermant teb signes qu'on voudra : je la représenterai de cette manière,

et ici P, Q, R, etc. seront des termes ordonnés comme à l'ordinaire et contenant une puissance de x avec son coefBdent Les points indiquent des lacunes dont chacune est remplie par des termes de même signe que celui qui la précède : c'est-à-dire qu'à j:" commence une série de signes+; à — P, une série de signes — ; et ainsi de suite jusqu'à une dernière série qui commence à ±iT et finit à dz U. D'ailleurs rien n'empêche qu'une série de signes ne se réduise à un seul. - ■

LEÇONS u'algâbrb. 437

Pour introduire dans l'équation une nouvelle racine positive +â, il faat multiplier cette équation par a:— â. L'opération peut se dis* poser comme ci-dessous :

*^ •••• — " ••••"f*v ••••""■*•• ••••iT ....xU

• •••—"" .... + Q ...t— R ....il -f"Urt

r'Wi-l- I

• ..•"■"x ....'-|-C^ ....—11. ....il 4" U^'

F, Q', etc. désignent les produits Pj: , Qo: , etc. ; et aucun d'eux n'est égal à zéro.

P", Q", etc. désignent des produits qui proviennent de la multi* plication par a , et qui renferment x au même degré que F, Q*, etc. ; mais, comme l'équation [1] n'est pas toujours complète , il peut se faire que plusieurs d'entre eux soient nuls.

V\ Q"', etc. désignent, dans le produit total, les termes de même degré en x que F, Q', etc.; et aucun d'eux ne doit être nul.

Enfin, on remarquera encore que, dans la seconde ligne de produits partiels , les lacunes peuvent contenir des termes de signes contraires à ceux qui se trouvent au-dessus dans la première ligne de produits : de sorte que les signes qui affectent , dans le produit total , les termes correspondants à ces lacunes, doivent rester indéterminés tant qu'on n'assignera point de valeurs particulières aux coelBcients de l'équation [1].

Or, quels que soient ces signes , il y a dans le produit total au moins une variation de o:^ + ' à — P"', tandis que le multiplicande n'en contient qu'une seule de j:"* à — P ; de même , il y en a au moins une de — F" à iQ"', et une seule de — P à +Q; et en continuant ainsi ^ on reconnaît qu'à la fin il y a au moins une variation de ±T" à +U^, tandis que le multiplicande n'en a aucune après ±:T ; donc le produit a au moins une variation de plus que le multiplicande. De là on conclut que chaque racine positive , introduite dans une équation., doit y apporter au moins une variation. Donc le nombre des racines positives ne peut point surpasser celui des i>ariations.

En y regardant de plus près, il est facile d'apercevoir que si , de x^i + 1 à — P'", il y a plusieurs variations , elles sont en nombre impair ; car, pour passer d'un signe à un signe contraire . il faut un

■MlNftaiplrilvrtMlBM. Lann^mechoscpeut Mdiredo — 1 Wy<#'*i— aptBfcMinlerTalles da prodnit. Àinst. en MtaHinUonqiie damleimiUiplirandG il n'ja pins devariattoS iprèi :tiT^ oo port eoodnKqne les variations nouvelles introdniles pimiia nctDe pabttlTe faM toujours en oorobre impair. Cela po»è, eonoeroiM qa'oo ait MA h vap équalîon toutes ses racines positives, yHfpiBttOD TMtntB 4oU nob* son dernier terme positif, ssns quoi Ab «mit «V noiM dtt >t(ine positive (456J . Or, pour arriver eu mtUtiftt MijjoDrs positif, à ce dentier terme qui iM,'lW ThitaHDns, s'il y en a , sont évidemment en s pilrf 6t, d'nURiUre cote, on doit revenir à l'équation . rétibUMuii loccessivemcnt chacune des racines sup> prinén.i éO^^liMl JiOwiM des racine» poûiwes esl moindre que f*W <Av tmritiiH^i if» d^renoe eut un nombre pair.

tWtt *■»«!» .fcpyitai CD remplace .r par — j:, foules les .ladMhdMUigtwitt & 4ÉW>i par conséquent le nombre des T«rU- CMM^ ^ InniltanBAM Miqoera combien , au plus, la proposa JlMBnlt 4l wAm MllMini . Par exemple , s'il s'a^l de I'équati<»i 4f-^t^H>i^êi COMÎMI die n'a que deux variations, on voit mt 4 àbard ^*cib ne pml avoir plus de deux racines positives. FBil,earaMlalruHfom6e en — a-, après y avoir changé tous les ligDeSf est :e* — a.r— 5=0, vi qa'elte n'a qa'one varlalioa, eb est certaia que la proposée n'a pas ^us d'une racine négatire.

4T5 . On peut dônontrer généralement qn'en réunissant les thÛtions de la proposée à celles de la transformée , le novilwe total de ces Tsriationa ne doit point surpasser le degré de l'éqnatioD.

Suent Gjt^+Hj:^-'' deux termes consécutifs de l'équation ;c-+etc.=0, et supposons-les d'abord de même signe. Apris avur changé x en — x , ces deax termes donneront une rariaticiB AU tt^ impair, et ils s'en donneront aucooe si k' est pair. SappH sons maintratant que les deux t»raes soient de signes contrains : si jf est impair, ils ne présentuv»! aucune Tariation daus la trauformée; mais si if est pair, ils en présenteront encore nue. Aisai, ot réunissant les Tsrïatfons de la proposée i celles de la transfsr* née , oa peut dire que denx termes consécutifs , dans lesqadi II différence des exposants est impaire, présentent toujours une viliation ; et que , si cette difllérraee est paire , ils en {«■ésentennl denx ou n'en présenteront aucune. Ce mmbre de variations ne surpasse donc pu la diflércnce des deux exposants ; et eoiBMe dtt

LsçoNS d'algébri. 439

Ifi dernier terme de Téqualion Texposant de x est zéro , on est cortain qne le nombre total des yariations ne surpassera jamais le dogré de Téquation. Et même, on voit que la différence, quand il y en a nne, doit être un nombre pair.

476. Puisqu'il ne doit point y avoir plus de racines positives que de variations dans la proposée (473) , ni plus de racines négatives

.4106 de yariations dans la transformée en — x (474) ; et puisque d'ailleurs le nombre total de ces variations ne peut point surpasser le degré de l'équation , il s'ensuit que si toutes le-s racines sont réelles , ce nombre total devra être égal au degré de l'équation , et qu'il y aura précisément autant de racines positives que de variations dans la proposée , et autant de racines négatives que de variations dans la transformée.

Lorsqu'on ignore si toutes les racines sont réelles, cette conclusion ne s'applique plus , attendu que les racines imaginaires peuvent subsister également avec des permanences et avec des variations. Par exemple, si les racines de l'équation jr*+/7j:+^=0 sont imaginaires, il est clair qu'elles le seront encore après avoir changé /? en — /?.

477. Lorsqu'une équation est incomplète , il est souvent facile, par ce qui précède , de reconnaître qu'elle a des racines imaginaires. On comptera les variations de la proposée ainsi que celles de la transformée en — x\ et , d'après les n*"" 473 et 474 , il ne peut pas y avoir plus de racines réelles que ne l'indique le nombre de toutes ces yariations : donc , si ce nombre est surpassé par le degré de l'équation , on sera certain qu'il y a au moins autant de racines ioQAginaires que d'unités dans la différence.

Par exemple, si l'équation est xr^ — 1=0 et que m soit pair, on apprendra sur-le-champ qu'elle a , au plus, deux racine^ réelles \ et comme il est évident qu'elle en a deux , +1 et —1 , on peut aflBrmer qu'elle a m — 2 racines imaginaires.

ReportiMis-nous à l'explication du n"" 475. En représentant l'équation par a:"+Pj:'«-»+Qj^"*""""'*'+Rj:^-"-*'-'*"+elc. =0, et en ajoutant les variations de la proposée à celles de la transformée en — j: , on a vu que les termes j::"+Pj:^""" donnent une variation quand n est impair, et qu ils en donnent deux ou n'en donnent pas du tout quand n est pair. Par conséquent, si on nomme v ce nombre de variations qui est tout au plus égal à 2 , la différence n-^v pourra bien être ou zéro ou un nombre pair, mais ne sera jamais

LKÇONS II U^iBBB.

Mn aualo^uc peut se Taire sur deux termes k qoJtaBqnei de l'équalion : de sorte qu'en désignant . fir iS'y,«. In nonfcm de variations résultant des autres partiN U 1 ^fRlttoB , ancooe du diflérences

«BMM ■égafira. Bbla ri on désigne par V la totalité des variaticlÉ êB.Véi/ÊÊUlim «t da la transformée^ pois si on fait attention tf/à m»m»+iif+iil',.., on a Avidemment

Or, qHndlMMTarineade l'équation sont réelles, on a V:

M— y^0| doue, poiiqa'aucune des différences n — c, n' — t^yM

MpMtteeiiAgittTe.afaut qu'on ail

n-^càEft, f'—t''=o, n"—y"=0, etc.

IBnB t ri OMMOla de cm différences n'est pas zéro , on est itexai ^•atfpnM flxaoMn , qua'l'éqnation a des rncines imaginaireâ; t 'ite fOmnia&nMr qa!dle en a au moins autant qne cette difl&< raueraiteine d'nalUi:

Far exemple, supposons que Gx^+Bx*-* scient deux term entre lesquels manque le terme en x^~'. Si 6 et H ootleiDéne signe, ces termes n'amèneront pas de variation dans la tranaformét en — X, et on pourra affirmer que l'équatiou a an moins Aeax racines inAaginaires : tel est le cas de l'équation af+Ax+7=0. Mail si G et H sont de signes contraires, on ne pourra plus rien conclure] car les deux termes donnent déjà une variation et en dooDeront encore une dans la transfumée, ce qui en fera 3, nombre préciiément égal à la différence des deux exposants -. ce cas est celai de l'éqnatkHi .£> — 4a^+7=o.

Supposons maintenant qu'entre deux termes &r*+Hx*-^, iJeo manque deox ou davantage. Comme la différeuce des exposants est ^Z, et que ces deux termes ne penveut prodnire que deux lariations au plus, m est assuré sans aucun examen ollériear qne l'équation a des racines imaginaires.

478. Quand l'équation est complète et qu'on y remplace x par —X, il est évident que, sur deux termes consécntifs, l'un consepre son signe tandis que l'antre yreoA un signe contraire à celui qDll avait î donc les permaneaccs deviennenldes varia li(H]s,«t vice vwd.

LfiçoNS d'algâbrk. 441

On peat donc dire qu'âne éqaation complète ne peut pais avoir plus de racines négatives que de permanences.

Cette condusibn s'appliquera aux équations incomplètes si Ton a soin d'y rétablir les termes manquants, lesquels doivent être regardés comme ayant le coeflBcient ± 0. Par exemple, soit l'équation a? — 4a:+7 = 0 : sous cette forme elle n'a pas de permanence; cependant elle a une racine négative, car elle est de degré impair et son dernier terme est positif (456). Mais si on restitue le second terme ±0j:% elle devient a:^±Oa:* — 4j:-f7=0; et alors, qu'on prenne 4-Oj:' ou — Oj:% elle a toujours une permanence (*).

On peut aussi , par cette voie , reconnaître quelquefois la présence des imaginaires. Après avoir rétabli les termes manquants en leur donnant zéro pour coeiBcients, on devra les regarder aussi bien comme positifs que comme négatifs ; et quelques signes qu'on adopte, on devra toujours, si tontes les racines de l'équation sont réelles, trouver le môme nombre de variations et le même nombre de permanences. Donc, quand il en sera autrement, Téquationaura des racines imaginaires.

Par exemple, soient, comme plus baut, Gx^+Hj:^-' deux termes entre lesquels il manque le terme en a:^-' . On le rétablira,et on aura

Si G et H sont de même signe, positifs, par exemple, ces trois termes donneront deux permanences ou deux variations, selon qu'on prendra +0 on —0 ; donc lorsqu'il manque un terme entre deux termes de même signe, l'équation a des racines imaginaires. Mais si G et H sont de signes contraires, on ne peut plus rien conclure ; car, soit qu'on prenne +0 ou — 0, l'ensemble des trois termes donnera toujours une variation et une permanence.

Soient encore Ga:*+H x*-*' deux termes entre lesquels il en manque plusieurs. En les rétablissant on aura

Or, on pent donner au troisième, Ox^-^ , le même signe qu'à Gx^;

(*) Ordinairement on énonce le théorème de Descartes comme il suit : TJne équation ne saurait avoir plus de racines positives que de variations, ni plus déracinées négatives que de permanences. Mais la seconde partie de cet énoncé est inexacte, à moins qa*on n'ajoute que l'équation est complète, restriction inntile pour la première partie. L'équation x^ — ^x+^^z^o suffit pour montrer la justesse de cette remarque.

Mi uQom a'uAtmt.

M alors; d'après ce qui vient d'âtre dit, on seni,sùr qns l'équathat

A^g.raciDe|i^(^naires. ^ "

n ao-eit fadie de démonlrcr que le rétabliss^ent des termes

mmquaatfl peol conduire aux mêmes conséqueDccs que les cuondé-

rttions du n" 4T7i mais ces détails sont superflus. ■

. 479. La règle de Dmcshtes peut servir à trouver les racines d'une

V^Qstionqnand on sait qu'elles sont toutes réelles. Je supposerai, ce

'qoi est toujours permis , qUQ l'équation n'ait plus de rseioes ë^les ,

et je me dispenserai aussi de parler des raeiacs négatives, alteodo

que leur délenninatioD se ramène à celle des racines positives.

' D'après la règle de Descabtes, puisque l'équalion proposée en x

Va que des racines réelles , elle doit avoir précisément autant de

VJirialions 'que de racines podlives. Or, si ou désigne par a un

Aombre réel quelconque, et si on fait ^ — 11= y, toutes les racines

de la transformée en j/ ou ar — « seront encore réelles ; par con-

' tiquent le nombre des variations de cette transformée indiquera

'- . Itnssi combien elle a de racines positives.

D'un autre côté, il est évident que si ^ est un nombre porïtif, que l'équation proposée en an n'ait pas do racine entre 0 et a ^ transformée en .r^« conservera autant de racines positives que proposée ; mais que, si celte proposée a des racines entre 0 et a, la transformée aura do moins un pareil nombre de racines positives- Donc, en comptant les variations perdues lorsqu'on passe à la transformée en .l'^a, on saura combien la première a de radnes positives entre 0 et ». Pareillement, a' étant >a, à on passe de l'équation en a: — a à une nouvelle transformée en ce — a.\ le a(»nbte des variations, qui se trouveront de moins dans la seconde que daos la précédente, fera connaître combien l'équation primitive, en x, a de racines positives entre b et ^'. Cela posé , voici comment oa peut déterminer successivement tous les chiffres des racines, jusipl'i tel ordre décimal qu'on voudra.

De l'équation en j: on déduira les transformées en x — i, x — 2,,.. jusqu'à celle en x — 10; et en comptant les variations perdues i chaque transformation, on apprendra combien la proposée a dl racines entre 0 el 1, combien entre 1 et 2,..., et enfin combieB entre 9 et 10.

Les racines dont l'existence est ainsi reconnue sont toutes <10; mais quand on aura une méthode pour les déterminer en décimales, il sera facile d'obtenir aussi les racines ctHuprises de 10 à iOO, d«

lira

LEçopfs d'algébrb. 443

100 à 1000, etc. En effet, «suffira de faire jc=i0jc' dans l'équation en j:, et de chercher les valeurs de jc' qui sont <10 ; puis de faire y=10a/' dans l'équation en jc', et de chercher les valeurs x" qui sont <10 ; ainsi de suite. Si , par exemple , après avoir trouvé Téqaation en jc", on cherche la transformée en a." — 10 et que tous ses termes soient de même sij^ne , on sera certain que la proposée en jc n'a point de racine positive >1 000. Par ces raisons, je me bornerai à expliquer comment on trouve les chiffres décimaux des racines <1 0.

Supposons qu'on ait reconnu qu'une ou plusieurs racines soient comprises entre le chiffre a et a-i- i . Pour trouver les dixièmes de ehacune, on fera iO{jc—o:)=x^ dans l'équation en j:— a, puis on cherchera la partie entière des valeurs de jc\ par le même moyen qui a déterminé a : c'est à-dire qu'on calculera les transformées en a/ — 1, x'— 2, etc., en ayant soin de ne pas aller au delà de j/ — 10, et qu'ensuite on comptera les variations perdues à chaque transformation , ce qui apprendra s'il y a des valeurs de a/ entre 0 et 1, entre 1 et 2, etc. : par là on connaîtra le chiffre des dixièmes de chacune des racines cherchées. Soit ol celui qui appartient à l'une d'elles, on fera 10(jc'— a')=j/', on répétera sur l'équation en jc" les opérations qui ont été faites sur l'équation en a:\ et on connaîtra le chiffre oc" des centièmes. En continuant ainsi on pourra trouver autant de décimales qu'on voudra.

Il peut se faire qu'on rencontre plusieurs racines qui aient les premières décimales communes. jMais comme l'équation en jc n'a pas de racines égales , on est sûr que les racines comprises entre a et a-f-l uniront toujours par se séparer. On reconnaîtra que la séparation d'une racine est complète, quand la dernière transformée n'aura qu'une seule racine positive de moins que la transformée précédente, ou , ce qui est la même chose, quand elle n'aura qu'une seule variation de moins (*).

(*) La méthode que je viens d'exposer sommairement a été publiée en 1807 par M. BuDAN, dans un ménioiic ayant pour titre Méthode nouvelle pour la résolution des équations. L'auteur en facilite beaucoup l'application au moyen d'un procédé fort simple, qu'il désigne sous le nom ô! Algorithme ^ et qui permet de calculer les coefficients des transformées successives en X — I, X — 2, etc., sans autre opération que l'addition et la soustraction. Cet algorithme se trouve démontré dans la deuxième édition^^mon Algèbre : pour abréger, je le supprime dans ceîlc-ci.

M. BuDAN a aussi essayé d'étendre la même méthode à toutes les équations, lors même qu'on ignore la nature des racines ; et il a cru y réussir au moyen de la seule règle de Descartes. Mais les analystes en ont juge autrement.

.44B.,C'flft ano rediardie importante qae celle des condilidft j WKMpcUei on reooUHlt que toutes les racines d'une équaltoo Hnl ' léilkg : ott pent jr parranfroh appliquant le théorème de DtscAB-rns t l'dfHtlon aux arrte dis.diS^enccs.

. 8oitXs=0 l'éqiiatfc|B.d(aBÉe, et D=0 l'équation aux cairés des

•^^llf..— 1-qf St1ii'y^JwT.-fmnarf.^ar..rir.flai.^llo= leS CSITéS

'; ^Bl'nrsdUKrenoeiMnilt des quantités réelles et positives; donc ' réfiiaUonDsO demMnOimplèle et n'avoir que des variatioBS 4e âim. Hâta m^poioai qa'il y ait des racines imaginaires dans .Xs-O, et «dmeU<ll», alui qu'on l'a démontré n° 386, qu'elles s^ tPOimiit ptrooa^ de là Torme a± bV~i^ a et. b étant des qouttlèirMlei. Le mit* de la différence entre les deux racines dteM«lMple flrt 9iy^i)' ou ~ib\ quantité essentiellement Bégattre. -L'éqmtta OasO aurait, doue des racines négatives; or nn|i nrt hiipinriliin qmnl elle est complèle et que les signes + et - 7 iOBt ■lÉwaaIlfa. Doue, pour qu'une équation n'ait que a cûui. ritllny it^aut tt il iu0lique l'équation nuxcarrét « ySraBicM.Md «ompAte et m'ait que des variation». ,fiaar l'iqntfèB da 3* depré

on a tPMTé (429) que l'équalion aux carrés des différences est aî + 6Qî;'+9Q*i + 4Q' + 27R' = 0.

Si l'on veut que cette dernière soit complète et ne présente que des Tarialions, il faut qu'on ait Q<0 et 4Q'+a7R'<0. Or, la seconde condition ne peut pas être remplie sans la première j donc, pour U réalité des racines de l'éqnatiou du 3' degré, une seule condition est nécessaire, savoir :

481. Ce lliéorènie a été pahlié, en 1807, dans l'ouvrage déji cité page 443. Après avoir observé qu'on pouvait facilement en apercevcnr lA^ité à l'yard des équations qui n'ont que des racioes réelles , I^ Bcdak ajoutait « qu'il avait de fortes raisons delà » croire applicableàune équation quelconque, nplnstard, en 1811, il mit cette assertioa hors de doute par une déinonstratiou qo'il

8 + et— j ! des r^ I

LtçoNs d'algAbri. 4f 5

OMKunnniqtia à l'Institat. Lagranoe et Lbgendrr , qui furent chargés d'en faire rezamen, jugèrent que la démonstration était exacte et que le théorème était nouveau.

Cependant , longtemps après , Fourier en a revendiqué Finvention , et les preuves sur lesquelles se fonde cette tardive réclamation sont développées dans l'avertissement qui précède l'ouvrage composé par ce savant, et publié par M. Navier, en 1831, sous le titre ^Analyse des équations. Laissant de côté cette controverse , qui a peu d'ibtérét pour la sdencc en elle-même, je me suis conformé aux condnsions de Lagrange et de Legendre, et j'ai désigné ce théorème par le nom deM. Budan. Pour mieux le faire connaître, je reprends les choses de plus haut.

Une équation en x étant donnée, et a étant un nombre positif quelconque , soit fait x =:^ + ^ : on aura une transformée en y dont toutes les racines seront celles de la proposée diminuées de a; et il est évident qu'autant l'équation en x renfermait de racines entre 0 et a , autant il y aura de racines positives de moins dans la transformée en^ ou j: — «. Or, lorsque toutes les racines d'une équation sont réelles , on a vu que le nombre des racines positives de cette èqaation est égal à celui des variations de signes : donc , si Téquation proposée en x n'a que des racines réelles , on devra trouver dans la transformée en x — a autant de variations de moins qu'il y avait de racines entre 0 et a dans la proposée. La présence des imaginaires empoche cette conclusion d'être générale ; mais dans tous les cas on peut établir, et c'est là le théorème énoncé par M. BoDAN , que le nombre des racines de V équation en x , comprises entre 0 et a, ne peut point surpasser le nombre des varia-' tions perdues en passant de cette équation à la transformée

en X — a.

Soit X= 0 une équation du degré w en x^ et sioient X', X",... X('"""'^ XC"») la suite des fonctions dérivées de X, jusqu'à celle qui ne renferme plus l'inconnue x. Si on fait x =y-\- et, , on obtiendra la transformée en j^ ou x— a; et, si on ordonne cette transformée à la manière ordinaire , ses coefficients seront les valeurs que prennent, pour x = a , les fonctions