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D'un autre côté , pour a: = 0, ces fonctions doivent se réduire aux

441 ' LKÇom D'jtLGtsni.

fliCMei-MdMaAgalttàa;etcommeonsapposequcnllafi WK*) ni anoiBe dei précédentes oe devicnacDt zéro par la val i|B«aKa,caflitlArquesi A est saffisamment petit, lessî^ k'MklIatl] se ponrroDt fitre altérés, en passant de x=a fxsa-fAi^Badtnila partie qui vient après F(0(x) . Alnaij i loBn de eooiviKr ks signes des dens lignes ci-dessmur V ■ pn . Pe>{«— ft), F— ){a-A),... F(a— A), FCa— ftÇ JS\ FtO(a + A), FC'-)(a + A),... FCa+A), FCa+»).

" ■ Dérdl^ooi F<*-0(a— A), Fy-')(a— ft} , etc. En ayant é •n'fafpolUMi F(<i) = 0, F(a) = 0,... F('->Xa)=0,ilT

p({--)(a— ») ^ Fti-)(a}— AF(0{a) + etc.

«i fiF(0(a} + etc. *

. FP— ){«— A)=.FP-')(a)-AF(--0{a)+iVF{0(<0— etc. =H-ÎA'Fl')(a)— etc.

. Jm ipUBtUé 4 4tant aussi petite qa'oa rent , le premier Aért MMOt Mt OBe-qaantilé de signe contraire à F(0(<i] , le second i * qbantiti de même ligne , et ainsi de soite, en alternant les signoT jasqn'à F(a— A).

Si on développe de la même manière les râleurs correspondantes à a+A, il est évident qu'on aura des quantités toutes de même signe que Ft'Xû). D'un autre cùté, les signes de F(0(rt — h] et de F(0(a +/i) doivent être les mêmes que celui de F('X(î). La ligne [2] n'a donc que des variations, lesquelles sont en nombre i , tandis que la ligne [3] n'a que des permanences.

Ainsi, l'ensemble complet des signes delà suite [1] , lorsque j passe de a — h à a + h , doit perdre i variations, c'est-à-dire, tout autant qu'il y a de racines égales à a.

3° Supposons encore que la valeur x = a rende nulle une seole des fonctions, mais que ce soit une fonction intermédiaire Xt") ou F(°)(j?). Écrivons la suite [1] comme ci-dessous, en mettant des points à la place des termes qui nous sont inutiles ;

....X(- + 0, XM, Xf"-'),....

X(") étant la seule fonction qui devienne zéro pour j: = a , il s'ensuit que cbacune de celles qui sont avant ou après X{") doit donner le même signe en y substituant a~h,a-i-h,aQ. a.

Si la suite précédente ne comprenait aucune des rendions X('-0,

LEÇ02Î8 d'algèbre. 449

X("-»)... qui sont après XC"), le cas que nous examinons serait semblable au premier, et on sérail sûr que la suite des signes correspondants à a^h , comparée avec la suite des signes correspondants à «+/*, perdrait une variation. El même on a vu que cette perle a lieu , parce que les deux derniers signes présentent Tune de ces combinaisons :

Pour a — h ... H I

Pour ^ + A ... + + )

Par conséquent , si on écrit sur la même ligne les valeurs que prennent les trois fonctions XC''^ 0, XC"), X("-'), par la substitution de a — h ; et au-dessous, sur une autre ligne, les valeurs que prennent ces fonctions par la substitution de ^+^9 les signes ne pourront offrir qu une de ces quatre combinaisons :

Pour a-^h ... -\ h

Pour tf 4»/* ... + + +

Quelle que soit la combinaison , ce tableau montre qu'en passant de a — h à a+/*, lasuite [t] perd deux variations ou n'en perd aucune. 4** Supposons que plusieurs fonctions consécutives deviennent nulles , et qu'elles ne comprennent point la dernière X. Ecrivons la suite [1] comme ci-après,

et admettons que les i fonctions comprises entre X(«+0 et XC«-0 deviennent zéro, sans que cela, arrive à aucune autre. Ce n'est que dans cette partie qu'il pourra y avoir des modifications de signes en passant de a: = a — h à j: = ^ -»-/*. Si la suite [Ij unissait à X(«), on rentrerait dans le 2'' cas, et Ton conclurait qu'il doit y avoir i variations perdues. Mais pour avoir égard à la fonction XC»-0, il faut distinguer l'iiypothèse de i pair et Cv^lie de i impair.

Lorsque i est pair, le nombre des termes X(«+0,... XC») est impair. Or, d'après ce qui a été dit dans le 2^ cas, si on descend de XC"-*"^ à XC**), les siijnes résiiltaat de la substitution de a — h seront alternatifs; donc XC") sera de même signe que X(«+0. Au contraire, les signes résultant de la substitution de a+h seront Ions semblables à celui de XC"-*-'). Mais ceîte dernière fonction doit avoir le même signe après chaque substitution; donc aussi la fonction X(") aura le même signe ; donc, de a:=a— A à x=a+h^' le nombre des variations perdues est égal à L

Qunnd i Dst impair, le nombre des foDCllons Xf'"»-''),...XW t*t pair: ■-! le raisiniDomciil ci-dessus pruuve que In sutMtUuUooi do»— /i cl n + A doimi'nt pour XHdcs rësullals de signes opptsâl. De IJI il suit i]uc \es deux Icrmes X(') et \<— ') ne peuvent olIHr, après ces subslitulions, que l'onc de ces quatre combinaisons •■

Dans In première et la dernicne, une permanence est remplacée par Uni^ Tiiriatioui et dans les deus iak-rmédiaires, une varialiuoest remplaclïc par une permanence. Donc le nombre des variations perdues par la suite [l ] n'est plus i , mais bien i — 1 ou i + 1 .

Ainsi , tjuand t est pair, le nombre des variations perdues est i ; el quiind I est impair, ce nond>re est i — 1 ou i+l ; donc ce novifere ^m est toujours pir.

^H 5° Supposons ca dernier lieu que la substitution de a fasse éva- ^B nouir des fonctions daus diverses parties de la suite [I}. ^i dans eu ^Kltfuctious il s'en trouve ' consécutives parmi lesquelles soit comprwe ^^Ljiï dernière \ , l'équaliân \ = U ai racines égales à a , et , par ce ^^qui a i^IÉ dit r et i", un sait que ces fonctions évanouissantes donnent liflu à uiui perle de i variations lorsqu'on passe de jt = a — A h a.' = a + h. Et quant aux fonctions intermédiaires évaouuissaiites, ee qui a été dit 3" el 4" montre qu'elles ne peuvent faire perdre qu'un nombre pair de variations. ^

Les cinq cas que nous venons de parcourir melltHit en évidenn les conséquences suivantes. Quand x croît d'une manière conliniM^ lus changements qui s'opèrent dans les signes de la suite [1] nepMveot pas augmenter le nombre des variations, mais seulement It diminuer. Chaque fois que x vient à dépasser une racine a, il y des variations perdues, dont le nombre est le même que celui dtf racines égales à a renfermées dans l'cqualion , ou le surpasse d' nombre pair. Il peut aussi arriver qu'il y ail deBvariatioDSp»di sans que x jtasse par une racine de l'équalioo, et alors elles h toujours en nombre pair.

Donc entiii, si, après avoir subslitué dans la suite [t] une valeV

x=a on substitue une valeur plus grande x=:!i, le nombre A*

% variaUons perdues sera ou égal au nombre des racines compris

enire k ot p. ou le surpassera d'un nombre pair. C'esl U le tli*»-

' Bêiue qui ctaii à démontrer.

LEÇON* D'ALfiâBàl. 451

483. Si la substitution d'une valeur x=a Taisait évanouir une on plusieurs fonctions de la suite [i], on p mrrait être embarrassé sur la manière de compter les Variations. Fourier élude la difficulté en substituant, au lieu de a^ des nombres a — 4 et a+À, qui en di£Ërent aussi peu qu'on veut. Aucun calcul nouveau ne sera nécessaire pour détfTminer les signes qui résultent de ces substitutions. D*abord, les fonctions qui ne s'évanouissent point par la valeur j:=a, doivent conserver les mêmes signes ; et quant aux fonctions évanouissantes, il suffira de rappeler ce qui a été dit n*» précédent (4'']. On a vu en effet que la substitution a—h remplace les zéros par des signes alternatifs dont le premier est contraire au signe à la droite duquel ces zéros sont placés, tandis que la substitution de a + A amène ca même signe à la place de chaque zéro. Ce procédé est appelé par Fourier régie du, double signe. Il revient à remplacer les zéros d'abord par des signes tels qu'on ait le plus possible de variations, et ensuite par des signes tels qu'on en ait le moins possible.

Par exemple, supposons qu'on ait trouvé,

Pourj: = /ï, +0— +0 0 0 0— 0 + ;

en appliquant la règle du double signe, on aura

Pour jr = /z— /*, H + — I 1 — + -j-,

Pour j;=a + /*, + + — + + + + + h.

On voit alors que x^ en passant par la valeur a, fait perdre 4 variations à la série des signes. Il est d'ailleurs évident que l'équation n'admet point a pour racine, puisque la dernière fonction n'est pas devenue zéro pour x=^a. On verra tout à l'heure que ces quatre variations perdues indiquent avec certitude la présence de quatre racines imaginaires.