CHAPITRE PREMIER

Notions préliminaires n .

Objet de V algèbre. Premières difficultés qui se présetnent,

1. Dans toute question qu'on peut proposer sur les nombres;, il doit exister, entre les quantités connues et les inconnues. Certaines conditions que renoncé de la question fait connaître; et )a solution a pour but de déterminer les inconnues de manière ^Vlles vérifient ces conditions. Il faut donc s'attacher d'abord à bien saisir les diverses relations par lesquelles toutes les quantités Connues ou inconnues sont liées entre elles, et trouver ensuite, au moyen de ces relations, qtielles opérations on doit effectuer sur les ({aantités données pour obtenir les inconnues. Tel est l'objet qu'on se propose plus spécialement dans cette partie des mathématiques à laquelle on donne le nom d' Algèbre.

2. Pour mieux apprécier les premiers moyens qu'elle met en œuvre , je prendrai le problème suivant : Partager 52 en trois parties telles que la moj-enne partie surpasse de 9 la plus pe^ tùcy et qu^elle soit surpassée de iZ par la plus grande.

D'après cet énoncé , les parties inconnues doiyent remplir trois oonditioni :

a LEGOlrs D'iLGàillÈ.

1* Que la moyenne soit égale à la plus petite augmentée de 9, a» Que la plus grande soit égale à la moyenne augmentée de i3y 3° Que la somme des trois parties fasse 5^. Maintenant , yoici par quelles déductions on arrive aux yaleurs des inconnue^ :

Puisque la moyenne partie doit être égale à la plus petite plas 9, au lieu de dire que la plus grande doit être égale à la moyenne plus i3 , on peut dire qu'elle doit être égale à la plus petite plas 9 y plus i3.

Donc la somme des trois parties se compose de 3 fois la plus petite, plus 2 fois 9, plus i3^ et comme 2 fois 9, plus i3, font 3i, on peut dire encore que cette somme est égale à 3 fois la petite partie, plus 3i.

Or, renoncé exige que cette même somme fasse Ss : donc, si oa retranche 3i de 52, le reste ai sera égal à 3 fois la petite partie ^ et, par conséquent, en divisant ce reste par 3^ le quotient 7 sera la petite partie.

Alors il est évident que la moyenne partie sera 7 plus 9, ce qai fait 16.

Et il est évident aussi que la plus grande sera 16 plus i3, ce qui fait 29.

Ainsi les trois parties inconnues sont 7, 16, 29. 3. Si, dans renoncé de la question, oi^ changeait les nombres donnés , sans faire aucune autre altération , on arriverait aux vaieun des inconnues par des ràisonnemens tout-à-fait semblables. Maison peut proposer la question d'une manière générale, comme il suit : Partager une quantité donnée en trois parties telles qu'Usait une différence donnée entre la moj'ennc'et la plus petite^ et aussi une différence donnée entre la plus grande et la moj-enne.

En ces termes , les quantités données peuvent être telles grandeurs qu'on voudra , et il ne s'agit plus de trouver que les inconnues sont égales à tels ou tels nombres particuliers, mais bien quelles opérations il faut effectuer sur les quantités données pour obtenir ces inconnues. On y parvient encore par les mêmes ràisonnemens , et alors voici comment ils se présentent :

La moyenne partie est égale à la plus petite , plus l'excès de la moyenne sur la plus petite.

Lt pliu grtnde est égslt à la moyenne , ploa Texoès de la plus Htande snr la moyenne. Donc on peut dire aussi qu'elle est ^;ale I la plus petite , plus Texcès de la moyenne sur la plus petite | plus l'excès de la plus grande sur la moyenne.

En faisant la somme des trois parties , on yoit donc qu'elle contiendra 3 fois la petite partie, plus 2 fois Fexcèsde la moyenne sur la petite , plus une fois l'excès de la grande sur la moyenne.

Or, cette somme doit être ^ale au nombre à partager ; donc , en retranchant du nombre à partager 2 fois Texcès de la moyenne partie sur la plus petite et une fois l'excès de la grande sur la moyenne , le reste sera égal à 3 fois la petite partie. Par coniféqnent , en divisant ce reste par 3, on aura la petite partie.

Alors, en ajoutant à cette partie l'excès dont elle est surpassée par la moyenne, on aura cette moyenne partie^

Puis, en ajoûUnt à la moyenne partie l'excès dont elle est sur-» passée par la grande, on connaîtra cette dernière.

4* Dans la solution qu'on vient d^exposer, deux causes de corn* pKcation sont à remarquer. L'une vient de ce que chaque quantité, Connue ou inconnue , est continuellement désignée par Tensembh depluneurs mots, comme le nombre à partager; la petite partie , etc. L'autre résulte de ce que , pour rappeler les relations des quantités entre diles, il faut fréquemment répéter les expressions qui indiquent ces relatiops, conmie plus^ moins, multiplié par^ etc. A la vérité, ces mots sont en petit nombre dans le problème qui nous a servi d'exemple ^ mais on comprend que s^il y avait beaucoup de quantités à ajouter, k retrancher, à myl" tiplier, etc., le tableau écrit des diverses relations par lesquelles les quantités sont liées enti'e elles serait trop étendu pour que l'ceil pÀt en embrasser Fensemble. Ces difficultés étant bien reconnues, je vais montrer comment on y remédie.

JYotation algébrique. Explication de quelques dénominations,

5. Pour faire disparaître l'embarras produit par les péHphrases

<|ni servent à désigner les quantités qui entrent dans une question,

on représente ces quantités par des lettres. Ordinairement , les

données sont représentées par les premières lettres de l'alphabet a,

bjC.ytl les inconnues le sont par les dernières x, ;^, 2, • . •

4 LÈGOKS D^A^ÛÈBRC;

SouTent , pour designer des grandeurs différentes, mais qui ont entre elles une analogie qu*il importe de ne point oublier, on emploie une même lettre à laquelle on donne un accent ou plusieurs. Par exemple, on écrira af ^ a", a'", qu^on énonce ainsi : a prîmcy a seconde^ a tierce. Souvent encore on a recours à Falphabe t grec. Le lecteur donnera sans difficulté à ces premières conventions toute Teicension dont elles sont susceptibles.

Si tjuelques quantités données sont exprimées^ en chiffres , et surtout si ces quantités sont des nombres fort simples , il est évident qu'il y aura rarement à gagner, sous le rapport de la brièveté, à les remplacer par des lettres. Mais comme ces nombres s^altcrent par les calculs successifs, il n'est plus possible de reconnaître, à la fin des opérations, de quelle manière ils entrent dans les résultats,* ^ et de là û suit qu'en changeant ces nombres dans la question , il r faut recommencer tous les calculs qui ont déjà été faits. Quand on [ veut obvier à cet inconvénient , on le peut encore en mettant des fi lettres au lieu de ces nombres ; et c'est là un des plus grands a van- ^ tages que procure l'emploi des lettres pour représenter les gran- • deurs. a

6. La seconde difficulté « celle qui naît de la répétition des mots plus y moins y etc., employées pour désigner les relations des quantités entre elles, se résout naturellement en adoptant des signes particuliers pour indiquer ces diverses relations. Je vais faire connaître les signes en usage.

7* -|* signifie plusj et — signifie moins. Ainsi , pour indiquer qu'on ajoute hka^ on écrit «-f-&> ^^» pour indiquer que b est retranché de a y on écrit a — h.

&• On emploie le signe X» ou bien un simple point, pour indiquer une multiplication. En écrivant aX^ ou a,b^ on fait conmitre que la quantité a est multipliée par b. De même, ayciyCfi et a.b.c signifient que a est multiplié par by et que le produit est multiplié par r.

Lorsque les multiplicateurs successifs sont désignés par de sim* pies lettres, on supprime les signes de multiplication afin de rendre récritui:e plus rapide. Ainsi, abc a la même sigtiification que ^ aM.c ou ay^b'X.c.

Quand les facteurs sont des nombres , celte simplification n est

pins pefinise : car si on Toulait , par exemple ^ indiquer le produit de 3 par 4 9 et qu'on écrivît S/{y on confondrait ce produit avec le nombre trente-quatre,

Lorsqu^on multiplie une quantité littérale parnn multiplicatenr numérique , on le place au devant de cette quantité : on lui donne alors le nom de coefficient. Ainsi 3â et \b signifient la même chose que ^xBet^Xfî^etf sont des coefficiens.

g. Pour indiquer une division , on écrit le diviseur au-dessous

du dividende, et on Ten sépare par un trait horizontal. 7 signifie

a dix^isé par b* Quelquefois aussi on écrit a\b,

10. On nomme puissances d^une quantité les produits qu'on forme en multipliant cette quantité par elle-même une fois ou plusieurs fois, aa est la 2*^ puissance ou le carré de a; aaa en est la 3** puissance ou le cube; aaaa en est la 4** puissance^ ainsi de suite*. On indique ces puissances, d'une manière abr^ée, en n'écri- Tant. la lettre qu'une seule fois, et en plaçant à sa droite, un peu. au-dessus, un nombre qui marque combien de fois .elle doit être écrite comme facteur. Ce nombre s'appelle exposant* Par exemple, a^ représentera aaaa ou la 4' puissance de a , et on lira a eX' posant quatre y ou, plus simplement, a quatre. Cette notation, imaginée par Descautes ^ a eu la plus heureuse influence sur les progrès de l'algèbre.

II faut bien prendre garde de confondre le coefficient et l'exposant. Si j'écris 3a , le nombre 3 est un coefficient ^ et si j'écris o^f le nombre 3 est un exposant. Or 3a et a^ expriment des quan* tités bien différentes : car 3a est la même chose que a-f-a-f-a, et a^ est la même chose que aX^X a* On comprendra mieux encore la difTérence^ si on met #n nombre particulier à la place de la lettre a. Par exemple, si on mat 4 1 3a représente 3 fois 4 eu 1 2, tandis que a^ représente 4X4X4 <^^ ^4*

1 1 . La quantité qui , étant élevée à une puissance , produit une 'quantité donnée , est une racine de cette dernière. Ce sera une racine a*, 3®, 4*> etc., selon qu'il faudra en faire la 2* puissance, ia 3", la /\^j etc., pour reproduire la quantité donnée. Ainsi, la racine 4' de lô est 1 , attendu qu'on reproduit le nombre 16 en éleyant 2 èi la 4'' puissance. La racine deuxième prend ordi-

O LEÇONS D ALGEBBE.

naîram^nt le nom de racine carrée^ et la jracine troisieHie celai à» racine cubique.

Le signe y/ , qui s'appelle radical ^ indique une racine à extraire. On lui joint un nombre qu'on nomme exposant ou indice^ et qui marque de quelle racine il s'agit. \/a indique la racine 4*

de a. Dans la racine carrée , on sous-enteud l'indice , et on écrit simplement Va,

12. Le signe = est celui de' l'égalité. Ainsi, en écrivant Sa-f-aa = 5a, on indique que si à trois fois a on ajoute le double de â , la somme est égale au quintuple de a. L'ensemble des deux quantités, ainsi séparées par le signe =, se nomme une égalité. Chacune des deux quantités se nomme membre. Celle qui est à gaucbe est le premier membre ^ celle qui est à droite est le second.

•i3. Le signe >• veut dire plus grand que; et le signe < vent dire plus petit que. Ainsi ^ a'^b signifie a plus grand que b; et a<^b signifie a plus petit que b* Remarquez que l'ouverture da signe est toujours tournée du c6té de la plus grande quantité.

i4* Les dénominations de quantité littérale, quantité algébriqucy expression littérale^ expression algébrique^ sont employées indifféremment pour désigner un assemblage quelconque de quantités représentées par des lettres, et unies entre elles par les signes des différentes opérations. Telles sont ia^ et a^ — Vab.

Chacune des quantités qui sont jointes entre elles par les signes + et — s'appelle terme , et assez ordinairement le signe fait partie du terme. Dans l'expression ga — û^*+ Vû^ , il y a trois termes, savoir : 9a, — û^», +V^^

On appelle quantité monôme ou simplement monôme^ une expression algébrique qui n'a qu'un seul terme; et polynôme y celle qui en a plusieurs. En particuliei* , on appelle binôme y trinôme^ qnadrinôme^ quinôme^ celles qui en ont deux , trois, quatre ou cinq. Quelquefois encore on donne aux monômes le nom de quantités incomplexes j et aux polynômes celui de quantités com' plexes.

On appelle termes semblables ceux qui sont composés des mêmes lettres affectées des mêmes exposans. Ils peuvent d'ail* lenrs dififerer par le signe et par le coefficient* Dans l'expresaion

^a^b'-^iab^ — '2a^bf le premier terme ^a^b est semblable tu troisième -— aa^b. Toutes les fois qu^un polyu6me reoferiof .des termes semblables ) il peut recevoir certaine simplification doB^on parlera plus loin (29).

En algèbre , on nomme quantités rationnelles celles qui ne

renferment point de radical. Telles sont 17, |<i, a-|^— .

On appelle quantités entières celles qui sont rationnelles et ne contiennent aucun dénominateur. Telles sont 4 7> 2a*6,3a*— éc.

i5. Lorsqu'une quantité est composée avec une autre, on dit qu'elle est une fonction de Cette dernière. Par exemple^ l'expression Sx* — \/x est une fonction àe x.

Pour désigner d'une manière, générale une fonction de :r , ou écrit f\x)j et alors la lettre F est employée comme une abréviû' tion du mot Fonction. Lorsqu'on veut représenter plusieurs fonctions dIfiRérentesde Xy on varie la forme de cette initiale. Par exemple, on écrira JF*(x), Jlx)y f{x)y quelle que soit d'ailleurs la loi d'après laquelle chaque fonction est composée.

Quand on se sert de la même lettre F, et qu'on écrit F{x)y F(jr)^ on désigne par là deux fonctions composées semblablement, l'une avec Xy et l'autre avec j* , de telle sorte que la première se change en la seconde quand on y met y au lieu de x»-

Ce qui vient d'être dit s'étend naturellement aux expressions dans lesquelles il entre plus d'une quantité. Ainsi , l'expression ixj — x-J-^/ 7* sera une fonction de x elj-; et en écrivant Fix^y) on désignera d'une manière générale une fonction quelconque de aretj-.

application, de la nota^n algébrique,

16. Afin de faire ressortir les avantages qui peuvent résulter de la notation algébrique, je vais l'appliquer à la solution du problème énoncé u° 3.

Je désignerai par a le nombre à partager ; par b l'excès de la moyenne partie sur la plus petite; et par c l'excès de la plus grande sur la moyenne.

Kl

8 LtÇOKS D*ALC£BEE.

De p)as, }e repréienteral la petite partie par. • ^r.

Alors la moyenne sera . • • x^^* bj

Xa plus grande sera. a: -f" ^ *f* <^9

Et la somme des trois parties sera . • • •. 3x -f"^^ ~l~^*

Or cette somme doit être égale au nombre à partager a ; donc on a Tégalitë

3ar -|- 2^ "t" ^ == ^• Si on retranche 2b et c de chaque membrey il vient

3x=a — 2^ -«— cj •t si on dWise par 3, on obtient, pourj'inconnue x^

La plus petite partie étant une fois connue y les deux autres s^en déduisent faéilement.

17. La manière dont Finconnue x est exprimée mérite de fixer l'attention : ce n'est point une valeur numérique, c'est nxïefot^ nuile^ un tableau qui montre de la manière la plus claire quelle^ opérations on doit effectuer sur les données pour avoir Finconnu^ * En effet, on peut remplacer les lettres et les signes par des énoo^^ ciations conformes aux conventions établies ^ et alo» la formula) ainsi traduite en langage ordinaire, se change en tïette règle ;

. Du nombre à partager retranchez le double de l'excès de I^ moyenne partie sur la plus petite j et encore V excès de la pTs^^ grande sur la moyenne^ puis divisez le reste par 3 ; le quotie^^ sera la plus petite partie*

Dès qu'on prendra pour les données des nombres particulier5, les opérations pourront s'effectuer : c'est ce qui s'appelle mettre une formule en nombres. Par exemple, en adoptant les nombres tels qu'ils sont dans l'énoncé du n** 2, on devra remplacer a par 5a, b par 9, c par i3^ et alors on aura

18. Les formules qu'il faut mettre en nombres ne sont pas tou*

» = a Xj' X93.8X2>X9 = 8x4X9 = 288, nséquent on aura, pour Finconnue Xj

abb -|- 4 29^

:ommençs^ns doivent s'exercer à traduire les formules allés en langage ordinaire et à les mettre en nombres.

Des quantités négatii^es*

L*algëbre admet dans ses calculs une classe de quantités ue — 5, — 7, etc., qu'on nomme quantités négatives j et iporte de connaître dès à présent. La question suivante, s fort simple, m'aidera à me faire mieux comprendre. narchand a fait un certain bénéfice dans la première an" son commerce, et une perte F année suivante : on demande gement qui en résulte dans son capital, ésignera par a le bénéfice de la première année» et par h essuyée dans la seconde. Si à surpasse £ , il est clair que al du marchand aura reçu une augmentation exprimée

10 LBGOirs D^ALGBB&E.

«onsertent tou}ours l'expresaion a — b pour indiquer le ohangemeut du capital^ mais, ne pouvant plus retrancher & de a , ils font la soustraction dans un ordre contraire, c'est-à-dire qu'ils retran* chent a de ùy et ils placent le signe — devant le reste. Par ce signe ils avertissent que le résultat ne doit plus être regardé comme une augmentation apportée au capital ^ mais bien coàime une diminution. Par exemple, si a vaut 7000 francs, et si b vaut 4000 fr., il y a véritablement augmentation de 3ooo fr.; mail si , au contraire, a Vaut 4ooo francs, et si b vaut 7000 fr., au lieu de dire que le capital souffre une diminution de 3ooo fr*, on dira en termes équivalens, quoique fort éloignés du langage ordinaire , que Faugmentation est de ^3ooo fr.

Les exemples sont nombreux dans lesquels il y a lieU de considérer ainsi les grandeurs sous deux acceptions tout-à-fait contraires, dont Tune les présente comme devant être ajoutées, tandis que l'autre les présente comme devant être retranchées. Tels sont les gains et les pertes d'un joueur ^ tels Tavance et le retard d^une montre^ telles encore les distances qu'un mobile parcourt sur une ligne, selon qu'il avance vers l'une des extrémités de cette ligne, ou bien vers l'extrémité opposée. C'est pour embrasser d'une manière générale ces deux acceptions contraires, que les algébristes ont employé les quantités négatives; et, laissant de c6lé toute question particulière, c'est de la soustraction qu'ils font naître ces quantités , comme on vient de l'expliquer plus haut.

Ainsi, en résumé , lorsque dans une soustraction la quantité à retrancher surpasse celle dont on doit la retrancher j on est conryenude soustraire la plus petite de la plus grande ^ et d'indiquer ce changement d'ordre en plaçant le signe — devant le reste.

Ce sont les quantités isolées, ainsi précédées du signe —, qu'on nomme négatives. Par opposition, celles qui ne sont point affec-* tées de ce signe, sont censées avoir le signe -|-9 et on les noname positives^

ao. Reprenons l'expression a — ^, et supposant que a conserve une grandeur fixe,, faisons croître b à partir de zéro. On obtient d'abord des résultats décroissans ; et quand b est égal à â, la différence a — d est zéro. Si on continue d'augmenter 6, on trouve des quantités négatives j et plus b sera grand, plus ces quantités

^4|;atiir^, considérées d^ns leurs v^leum ^b^ol^ief» «^roQt grandes. Par exemple, prenons a s?: 3, et faisons soccessiyement ^ =s:*o, i|^ ^> 3 : les valeurs de a — b seront 3, a, i, o. Mais si b continu^ de croître, et qu^ou fasse ô = 4> 5, 6,... on aura — i, — a, — 3,...

Or, parce que ces valeurs n^atîves viennent à la suite des nombres positifs décroissant 3, a, i, o, on convient de les regarder comme plus petites que zéro ^ et, parce que les quantités négatives qfd ont une valeur absolue plus considérable viennent après celles qui ont une valeur moindre, on les r^arde aussi comme plus petites que ces dernières.

Ainsi ^ d'après ces conventions, -—a est moindre que séro, et — 5 est moindre que — a. En se servant des ngnes <C et >(! 3), on peut encore écrire

— a<o, — 5<^ — a, oubien o> — a,— a> — 5«