CHAPITRE IL

Vu calcul algébrique.

Comment on étend aux quantités négatives les opérations de ^arithmétique*

21. Les quantités algébriques peuvent , comme les nombres, $tre soumises à diverses opérations , telles que Taddition, la soustraction , etc. niais, pour les quantités littérales , ces opérations, ainsi que le fait observer M. Lacroix , diffèrent de celles qui se pratiquent sur les nombres en ce que leurs résultats, ne pouvant être que des indications de calculs à effectuer, ne présentent réellement qu^une transformation des opérations, primitivement inaîquées^n d'autres qui doivent produire les mêmes résultats. Les règles qu^il faut suivre pour effectuer ces transformations constituent le calcul algébrique.

22. Tant qu'on ne considère que des grandeon positives, les' dëfiniiions de rarithmclique font connaître avec précision Fobjet de chaque opération ^ mais elles deviennent insuffisantes quand on les applique aux quantités négatives. Par exemple , quelle signification ces définitions peuvent- elles donner à des énonciations telles que celles-ci : ajouter — 5 et —7, multiplier -|- S par -^^ 7f etc.? et u^est-il pas clair que de pareilles locutions doivent être ' rejelées comme étant tout-à-fait vides de sens', à moins qu'on ne j^ fixe par quelques conventions nouvelles celui qu'on veut y atta-* cher : or, c'est ce que je vais faire. A cet effet , je reprendrai cha-^ cune des quatre opérations; j'étendrai, autant quHl sera' possible^ la définition de chacune d'elles aux cas nouveaux qui se présenteront ; et quand cela ne se pourra point , j'établirai les conventions nouvelles auxquelles ces cas donnent lieu.

23. Addition. Cette opération, telle qu'on la conçoit en arithmé^tique, a pour objet de trouver une quantité qui contienne à ell^ seule toutes les unités et parties d'unité qui sont dans plusieurs quantités données. Cette définition ne peut s'appliquer qu'aux q^antitê^ positives; par conséquent de nouvelles conventions sont nécessaires pour faire connaître ce que doit être l'addition de dea^ac quantités comme «4-3 et — 5^ ou comme — 3 et +5, ou eiicoc*^ comme — 3 et — 5. Or, on peut comprendre tous ces cas, ans^i bien que celui où les deux quantités seraient positives, dans l^s deux conventions ou règles suivantes :

1® Pour ajouter deux quantités de même signe, on fait Z^ somme de ces quantités sans faire attention au signe ^ et onpla* ce signe devant la somme.

2** Pour ajouter deux quantités de signes contraires, on tranche la plus petite de la plus grande^ sans égard pouf tét signes y puis on donne au reste le signe de la plus grandel

D'après ces conventions , on aura sur-le-champ p

On a employé les parenthèses afin de mieux faire ressortir 1^ signes qui appartiennent aux nombres et ceux qui servent à indi" quer l'addition.

hJ^qQHHê d'aloebië. i3

st bon de remarquer que , d'après les conventions mêmes, it changer Tordre des deux quantités qu*on ajoute, sans que iltat change.

voit qu'en algèbre Taddition n'entraîne pas toujours avec lée d'augmentation. Cependant la dénomination de somme jours employée pour désigner le résultat. Quelquefois on y e mot algébrique^ par opposition à la somme arithmétique, iquelle on ne considère que les grandeurs absolues des qaan« ans aucun égard pour les signes dont elles sont affectées.

Soustraction. En arithmétique , cette opération peut être érée comIRt ayantf pour but de trouver une quantité telle lui ajoutant une quantité donnée on reproduise une autre té donnée. Cette définition est évidemment applicable à Ions

qui peuvent se présenter. Ils sont au nombre, de quatre^ et

les parcourir successivement.

i les deux quantités sont positives, et qu'on ait à soustraire

petite de la plus grande , ce sera le cas ordinaire de l'arithle , et le reste devra être considéré comme ayant le signe -f-.

a à soustraire la plus grande quantité de la pltis petite , ! cas qui donne naissance aux quantités n^ativeS (19); et in otera encore la plus pct'te de la plus grande, mais on ra le signe — au reste. Aiusi on a

(+7) -(+3) = +4 et (+3) - (+7) = -4.

upposoiis que d'une quantité positive on ait à soustraire une lié négative : par exemple, de +3 à retrancher — 7. aut que le résultat soit tel qu'en lui ajoutant — 7 on rc- ; -f-^- ^^ 1^ il suit que le résultat doit être positif ^ car s'il ëgatif, en lui ajoutant — 7, on aurait un nombre négatif. De comme pour ajouter deux quantités de signes contraires il ^trancher la plus petite de la plus grande et donuer au reste 10 de la plus grande (23), on voit que le résultat doit être rand que 7, et précisément égal à 8 + 7 ou lo. Donc

(+3) - (-7) -= V"' Ht

Supposons que d'une quantité négative on doive retrancher

«iHé ^fatité p6sHife : pttr fsxemple, «jtté de <^3 on «ft à sém--

trtîre 4'7'

Le résultat doit être tel qu'en luî ajoutant +7 on retrouve -^3. Or la ftomtne de deux quantités^positives serait positive; donc le rfttiitat doit être n^tif. En outre> il est facile de voir que, si éUL fkit abstraction du signe de ce résultat, et qu'où en retranche ^^ le reste doit être égal h 3 : é^ikt ^ ce résultat, en grandeur absolue^ est égal & 34-'? ^u ^^' ^° ^^ donnant le ^;;ne — , on aura le ré^-sulut cherehé -r- 1 o. Donc j

(-3)— (-i-7)=:\io: ••

4* Enfin, conâdérons le cas où les deux quantités sont négatives.

Par exemple, si de —3 il faut retrancher —7, on observera qu'en ajoutant ^7 au résultat cherché on doit reproduire -^3; et coimne 7 surpasse 3,' il est clair que ce résultat doit être un nombre positif égal à Texcès de 7 sur 3 : donc,

Si, au contraire, il fallait de — 7 soustraire -^3, on verrait que le résultat doit être négatif, et que sa grandeur absolue eH égale à Texcès de 7 sur 3 : c'est-à-dire qu'on a

Il est à remarquer que dans chacun des quatre cas. qu'on vient . de pattourir le résultat est {toujours le même que si Ton eût ajouté le seteotod nombre , après avoir changé son signe, avec le premier. Ken entendu que dans cette addition on se conforme aux con-* VetitioUs^to n*" ffc3. Ainsi , on a cette règle simple et facile à retenir :

La eottstrâdHôh rei^m à une addition dans laquelle on ajoute ta quantité h ^Oîtstt^ijtirty prise avec un signe contraircy at^ec Vau^ tre qimHiié^ ' ' " .

Par cette règle , on aurait

(—17) — (—29) 5= (—17) + (+29) = +12. (+i4) - (^ii> ±r (+î4) + (-f-ia) ^ -f^.

LEÇoirs D*idLdnRi. t5

sS. M«iiTiPLi6ATioR. Soient aetb deai non^rcs quelconque!^ il y à quatre cas à considérer, savoir :

Le premier ca^ est celai de Tarithmëtique , car ^a et -f-& iM>nt la même chose que a et b ; et comme le produit de a par A se représente par ab , et que ab est la même chose que -f-n^, on peut écrire, en mettant les signes en évidence, -{?-â X -f-^ = -f-^*

La d^nition ordinaire de la multiplication peut s^appliquer au second cas ; mais pour le montrer clairement il faut examiner Tune après Tautre les hypothèses de b entier et de b fractionnaire. Si ce ntiltiplicateur est un entier, 3 par exemple, en répétant , suivant les règles de Faddition (a3), le multiplicande — a autant de foie qu'il y a d'unités dans 3, on aura — û — a — a ou — 3a : c'est-à-dire qae , pour multiplier une quantité négative par un nombre entier positif, on fait le produit sans égard aux signes, et qu^on lui donne ks^^ne — . De là on conclut qu'on peut diviser une quantité a^atiye par un nombre entier positif, en cherchant le <{uotient , sana %ard aux signes , et en lui donnant le signe — .

Supposons que, dans le produit — a X 4"^> '^ multiplicateur soit un nombre fractionnaire tel que y. D'après l'idée attachée à la mdtiplîcation , il faut prendre les j du multiplicande ^ ou , en d'autres termes, il faut diviser ce multiplicande par 5, et multiplieir le résultat par 7. Or, on vient de démontrer que ces opérations doivent s'exécuter sans avoir égard au signe ^— , et qu'on doit donner ce signe au résultat 5 donc — a X +1 == "-"|^- Donc, quel que soit ^ , on a toujours — « x +^ = — ob.

Dans lés deux autres cas , +a X — ^ et — û X — ^^ le multiplicateur est négatif. Or, la définition de la multiplication, en prescrivant de compose^ le produit avec le multiplicande comme le multiplicateur est composé avec Funité, ne montre point comment on doit avoir égard au signe — qui est devant le multiplicateur ; et sous ce rapport elle est insuffisante. Pour corriger ce défaut, on observera que dans les cas oii le multiplicateur est positif, le signe du multiplicande se conserve dans le produit^ et parla on est cbnduit naturellement à ajouter comme complément à la définition cette convention nouvelle que , dans les cas oU le multi-^

> 16 LEÇ09S d'algèbre. .

plicateur est négatif, il faut faire la multiplication comme j'i« était positif et changer ensuite le signe du produit* De là oa conclut immédiatement qu'on doit avoir -J-« X — b 5= — ab 'e« ^aX—b=^+ab.

Les difTërens cas qu'on vient d'examiner peuvent se résume:^ dans cette règle :

Pour multiplier deux quantités, quels que soient leurs signes on fait le produit de ces quantités, sans avoir dH abord égard au^n signes; puis on affecte le produit du signe -^ quand les deu^^ facteurs ont le même signe, et du signe ^^ quand ils ont des sign^ contraires.

L'usage permet encore d'énoncer la règle des signes par cds le» cutions abrégées :

-|-/?ar + donne -j- , — par -j- donne —, -^par — donne —, — par — donne +.

Remarquez que , si on change le signe d'un facteur, le produit doit changer de signe, et que si on change les signes des deux facteurs , le produit reste le même. Remarquez aussi que le produit ne change point quand on intervertit Tordre des deux facteurs.

26. Division. La dëhnition ordinaire convient parfaitemient à l'algèbre. Son objet sera toujours de découvrir l'un des facteurs d'un produit donné quand on connaît l'autre facteur; et par conséquent il faudra toujours qu^en multipliant le quotient et le diviseur l'un par l'autre, on reproduise le dividende.

D^abord^ il est évident qu'en faisant la division , sans aucune attention aux signes, on trouvera le quotient, abstraction faite du signe qu'il doit avoir. Il reste donc à déterminer quel doit être ce signe.

Lorsque le dividende et le diviseur ont le même signe, le qu<h tient doit avoir le signe -f- : car s'il avait le signe — le produit du diviseur par le quotient serait de signe contraire au diviseur^ et par conséquent aussi de signe contraire au dividende.

Mais quand le dividende et le diviseur ont des signes opposés $ le quotient aura le signe — : car s'il avait le signe +, le produit du diviseur par le quotient serait de même signe que le diviseur? donc on ne reproduirait' pas le signe du dividende»

De là on conclut que si a et b sont deux grandeurs absolues , loDt le quotient soit désigne par Cj on de?ra avoir

Addition et soustraction des menâmes,

27. Désignons par a et 6 déui grandeurs positives, ^addition, u égard aux signes dont ces quantités peuvent être affectées, ►eut donner les quatre expressions* :

[I] (+«)+(+''). f4-«)-H-i), (-«)+(+*), (-aH-(-A).

î'ant que les lettrés ^r et ^ ne recevront ^oint de valeurs partiulières, il sera impo$sible de réduire ces expressions à un seul erme; mais au moins peut- on les simplifier en les débarrassant les parenthèses et de plusieurs signes inutiles.

D'abord les parenthèses ne servent ^u'à mieux représenter aux reux le signe qui est propre à chacune des quantités qu'on ajoute : lînsi elles ne sont pas strictement nécessaires, et on peut les sup- )rimer. De plus, comme a *et ô signifient la même chose que f- a et-f- ^, on pourra oter le signe -|- placé dans les parenthèes. Par là les quatre expressi<Ais deviennent

tfais il y a encore ici des doubles signes qu'on peut éviter. Sn efiet^ d'après la règle de la soustraction (24)9 l'addition de — b ' avec une qu|intité quelconque revient à soustraire b de cette quantité, par conséquent, au lieu de -| 6, on peut mettre — b, et

alors les expressions [1] prendront les formes suivantes, qui sont lespl^s simples qu'on .puisse leur donner ,

Donc , en règle générale | on peut dire que V addition de deux monômes se réduit à les placer l'un à la suite de r autre sans changer leurs signes.

Par une suite nécessaire , attendu que la soustraction est une

toaiours es remp ^^^^ ^^ „^ «ga

^^'-^'^Tdifacultéquauà tous les «rm

Ainsi on a énaeu» ^^^.4o -a

•,«. + K+^'''*^ ' * tUésAe même signe qu ou

* 1. ce sont aes quantités -«i^^e-

Dans chaque "** J^ i^ preuuere legie • .,p • oar conscquen'- r jw termes se*-

r rm'ent ces .éduct - ^^^^ and Us Jjec . ^^^ ^.

. Pour arriver 5'/''.^^^ J, „a P^^y"^"^ '.-iTl c'e'st que la '»' Wables sont di^-- tage presque con^^-1 • ^^ ^ .^^ ^ remarque qu est d ^^^^^e, ^^^^^J d'eu^resU

leur d'ua.poly«^«^«^^^^ ,,^^^^^

lequel ses termes ^.^^^^ ^^ ^^ , ^ .^^gj ^^

touiours précède du ^^^ ^.Acon^^^^^ ^ ^.^es, du»

• qut :ricS;;^^^--^:tr^^^

aiqaéesdans«po»J

ces opérations saccessîyes reyiennent tant&t à retrancbery sur une partie de la première somme, une partie de la seconde , tantôt à retrancher, sur une partie de la seconde, une partie de la prefnière. Par là il devient clair que le résultat définitif doit être égal k Texcès de" la plus grande somme sur la pluspetite et avoir le >igne de la plus grande ; et cémme les deux sommes demeiurent les mêmes dans quelque ordre que les termes du polynôme soient placés, on conclut que Tordre de ces termes peut être interverti à volonté , sans que la valeur du polynôme soit altérée.

Cela posé , supposons que le polynôme donné ait des termes semblables. Par exemple , qu^il soit

On pourra changer de place les quatre termes semblables — 86', 4-3*3y — 56', -j-4^'> ^^ ^6* rapprocher les uns des autres comme Usuit:

36'+ 4*3 — 8*3— 56'+ 7^5— ga*b+ab\

Alors remarquez que les termes positifs 36^+4^^ peuvent être remplacés par un seul +76' 5 qu'ensuite les termes négatifs —8^3 — 56' peuvent aussi être remplacés par un seul — 136^. Les quatre termes semblables seront déjà réduits à deux +76^ — 136*. Mais ces deux- ci se réduisent eux-mêmes à un seul — 66' 5 par conséquent, en reportant — 66' à la dernière place, le polynôme simplifié sera

En général , plusieurs termes semblables pourront toujours se déduire à un seul; son coefficient sen^a la différence entre la somme des coefficiens précédés du signe + et la somme de^coef' ficiens précédés du signe — ; et son signe sera le même que celui des coefficiens dont la somme est la plus grande.

Dans l'application de cette règle , il ne faut pas oublier que le premier terme , quand il n'a pas de signe , est censé avoir le sign^ +, et que les termes devant lesquels on n'écrit pas de coefficient sont censés avoir le coefhcient i •

3o. Remarque. Quoique Tordre des termes soit indifférent, on

les dispose presque toujours de manière que les exposans d'an

même lettre aillent en croissant > ou bien ea décroissant : cerïJ s^appelle ordonner. Le dernier polynôme est ordonné par rappor:::^ aux puissances décroissantes de a^ et il Test aussi par rapport au^r~ puissances croissantes de ^.

Addition et soustraction des polynômes»

3 1 . Si à à-^b on doit ajouter c+c? — e , pour indiquer celt

addition , on enveloppe la seconde quantité entre des paren -

thèses et on écrit

Maïs je vais montrer que les parenthèses peuvent se supprimer.

Concevons pour un moment qu'on ait effectué les opénatios^Ms indiquées dans le second polyn6me o^d — e> et que le résult^aat soit une quantité positive +^' ^^ ajoutant +P avec a— ô, il vient a— ^+^' 0^ peut changer la place des termes et écrire -4-^4"^ — ^« Mais ici Faddition de a et la soustraction de b Joe * doivent venir qu^après les opérations qui donnent -4"iP; par coi3séquent on peut remettre, au lieu de +i^, le polynôme o+rf — e^ et alors on a c-f-^ — e-^-a — b. Enfin oh transportera aux deruifercs places les termes qui viennent de +i^, et on aura

Si le second polynôme était égal ^ une quantité négative — Pj le même ^Raisonnement se ferait encore en mettant partout — --P ail lieu de ^Py et on arriverait encore au même résultat. Dans ce résultat^ les termes des deux polynômes se trouvent écrits^ avec leurs signes, les uns à la suite des autres ; et il est évident que la même chose doit arriver , quels que soient les polynômes qu^on ajoute. De là on conclut cette règle :

Pour ajouter des polynômes^ il suffit de les écrire les uns à l suite des autres^ en consentant les signes de tous leurs termes.

Après avoir appliqué cette règle, il ne feut pas négliger delki la réduction des termes semblables, s^il y en a. Pour faciliter ce' rédaction ^ on ordonne assez ordinairement les polynômes |

^^ LEÇONS dVlGÈB&E. 21

'apport à une lettre, et on les écrit les uns sous les autres : alors ^n fait immédiatement la réduction. Yoici un exemple :

Somme. • • ja* — jaù + i ic* + -J.

32. Passons à la soustraction. Pour .indiquer qu^on doit sous- U'airc c+É? — e de «—6, on écrit

-t, pour arriver à une expression débarrassée des parenthèseSy on ^^isonnera comme il suit.

Diaprés ce qui a été. dit n^ 2^^ la soustraction revient à une ad« Ution dans laquelle la quantité à soustraire est prise avec un »igne contraire. Or , la valeur d^un polynôme est égale à la diffé** ^ence qui existe entre la somme de ses termes positifs et celle de ^es termes négatifs ; et le signé de cette valeur est celui de la plus grande des deux sommés : donc cette valeur ne fera que changer ie signe, si on change dans le polynôme tous les + en — , et tous les — en +• H suit de là que, pour soustraire un polynôme d'une quantité quelconque, il sufEt de changer les signes de tousses termes, et de Fajouter ensuite à cette quantité. Mais, dans Taddit-îon, les polynômes qu'on ajoute se placent à la suite les uns des autres, en conservant les signes de leurs termes^ donc.

Pour soustraira un polynôme y il sujffit de Vécrire^ après avoir ^angé les, signes de tous ses termes^ à la suite dç la quantité dont il doit être soustrait.

On peut encore démontrer cette règle en prouvant que, si on ajoute au résultat le polynôme qui était à soustraire, on reproduit la quantité dont il devait être 'soustrait. En eâct, pour faire cette addition, on écrira à la suite du résultat les termes de ce polynW avec leurs signes; mais ces termes se trouvant tous, dans le résultat, avec des signes contraires, il est clair qu^ils seront détruits, et qu^aprcs la réduction il ne restera plus que ceux qui composent la quantité sur laquelle la soustraction devait être faite.

^2 ÛÇONS D*ALGiBRt!«

Voici un exemple de soustraction :

Soustraire de. . . ga* — ùab + 2b* + ^hc le polynôme. . . . 5a* + 4«^ — 3^" — ^^c

Reste avant ç ga* — ^^3flô + 2Ô» +t^^

. la réduction, t — 5a* — ^ab + 36' + jbcy

Après la rëduceion, ^a* — 7^6 + 56* + i^c.

Multiplication des monômes.

33. Pour indiquer des multiplications successives, on est cou- — venu (8) d'écrire les facteurs à* la suite les uns des autres, ep \^s séparant parle signe X > ou seulement par des points, ou mèiiB.^ sans aucun signe, quand il n'en résulte point d'âmbiguité. Pai.T exemple, si on doit multiplier a*b par c, et le produit par d^, on écrira a*b ^c^d*, ou a*b.c*d*^ ou simplement û'iccf*.

S'il fallait multiplier a* par un nombre déterminé, tel qcsLe 3 ou y, ce nombre deviendrait le coefficient de a*, et on écrira^it 3a»ou|a\

Si on avait à indiquer la multiplication de a*b par cd*^ on pourrait écrire indifféremment a*bp<, cd*^ ou a'6.c<i'. Mais ^>^ ne devrait pas supprimer le signe \ car alors on aurait Texpressi^^n a*bcd*y dans laquelle on doit voir que a*b est multiplié par ^9 et que le produit a*b€ est lui-même multiplié par d*i or, ce n'^s* point là ce qu'on voulait indiquer. A la vérité, les deux expr^^~ sions a*bX cd* et a*bçd* sont équivalentes , mais il faut le pro'»^verj et'c'est ce qu'on fait en rappelant que , d'après un prli^" çipe démontré en arithmétique , on peut multiplier une quanCÎte par un produit de plusieurs facteurs, en multipliant cette quai.^* tité successivement par chacun des facteurs (*).

34. Les règles des signes ayant été établies (n*^ 26), on laissai"* ici les signes de coté. Soient d'abord deux quantités telles que ^' et a^. D'après la définition de l'exposant , a* et a^ sont la mêine chose que aa et aaa 5 donc a* X <ût^ = <3fl X aaa. Or, par fe

(*) Soit m une quantité qu'on doit multiplier parle produit ahc. Puisque 1^ produit ne change pas , quel que soit Tordre des facteurs,on aura m X abc^ àbcm ss ma&c s c'est le principe dont il s'agit.

pe rappelé plus haaty on a âa X oiui tst aaaaa^ donc

n prenait d^autres exposans , il est clair qu'il faudrait ea- ;s ajouter pour avoir Texposant du produit. Donc, en généand on multiplie dès puissances d'une même quantité^ on onner à cette quantité un exposant égal à la somme de ^es facteurs,

lettre sans exposant doit être regardée comme ayant l'ex- I : car, par exemple, on aurait a' X ^t = a^, A présent, considérons des monômes quelconques* Soit à 3r le produit

ia^b^c X 'ja^cd^.

ux monômes peuvent être écrits ainsi, 3Xa*XMXc et <cX^*; et, par le principe déjà cité, le produit est ^al à .

3Xa'Xi^XcX7Xa5XcXrf'.

Qgeant Tordre des facteurs , il devient

3X7Xa'Xû3xMXcXcX^'.

lieu de 8X7 on peut mettre ai; au lieu des deux facteurs is fl" et û^, on peut mettre leur produit qui, d'après la »uvée plus haut, est a^'y au lieu des-deux facteurs égaux à îttra leur produit c* ; et quant âwix facteurs M et ^, on les iu produit sans aucune altération. Alors oi^aura

;ut faire des raisonnemens analogues sur tels monômes udra ; donc , abstraction faije du signe , le produit de mômes s'obtiendra en multipliant les coejfficiens entre donnant à chaque lettre commune aux deux monômes îant égal à la somme de ceux dont elle est affectée dans )mes , et en prenant les autres lettres sans changer leurs

oubinant cette règle avec celle des signes qui a été établie y on troave rar-le^cbamp

^4 LtCùSi D^ALQàBRK.

Multiplication des polynômes*

36. Si l'on a des polynômes tels que a^-^ab-^z et 2a — £^^ et qu^cfn veuille indiquej leur produit y on devra employer dê^s parenthèses ou des crochets , et écrire

(a' — ab-^-n) (2a — 6), ou [a* — ûi-J-a] [aa — 6]..

Quelquefois aussi, mais rarement, ou emploie des barres, commis ci-dessous :

87. Pour effectuer de pareilles multiplications, je raisonnenati d^abord comme si les soustractions qui sont indiquées dans l^s polynômes ne devaient jamais amener de quantités négatives^ c^ t je prouverai ensuite que la règle , à laquelle on arrive, dans cet^< hypothèse, s'étend à tous les cas. . '

Supposons, en premier lieu, qu'un seul facteur soit complexe , comme dans l'expression

Si on avait simplement à multiplier a par ttz, le produit ser0i.it am^ Quand c'est a-^b qu'on doit -multiplier par m,. il est évide «3t qu'on aura le yoduit en prenant séparément m fois la quantité a, m fois la quantité 6 , et en ajoutant les deux produits : or ces produits partiels sont exprixnéspara/wetim; donc (a+$)>C ^' ssam-^bm. Mais quand c'est a 4"^ — ^ ^^^ ^^^ ^^ multiplicancJc, la quantité a-^b étant diminuée de c , il s'ensuit qu'en multipliant a^b par m , on doit avoir un produit trop grand de m fois c; donc de ce produit, qui est am -^bm^ il faut retrancher celui de c par 772, qui est C772 ; donc enfin

(a-j-6 — c)X'w== am -f- brn — cm. 1^

.Kl

En quelque nombre que soient les termes du polynôme , on voit que dans le produit chacun d'eux se trouvera multiplié par m, et conservera le signe qu'il avait dans le polynôme. t^