SI

LEÇOXS D^ALakuiB» 25

• Supposons le multiplicande et le midtiplicateur tous deux complexes. Par exemple,, soit

Imaginons qu^on ait effectue les opérations indiquées dans le polynôme a+ô-^c, et qu'il ait pour valeur T. Le produit à effectuer^ deviendra T'XC'w— n+/>). Alors l'un deâ facteurs étant monôme , on aura, par ce qui vient d'être dit,

(à + b'^c)X{m^n + p)=:TX{m — n + p)

=::Tm—Tn+Tp.

Puisque T représente la valeur du polyn&me a"+6 — c y Tm est égal au produit àe a-^-b •-' c par m ; et, d'après ce qui précède , ce produit est am -{-ùm — cm.

De même Tn est égal au produit de a-|-& — c par /i, lequel est an -|- ^«— en.

Et pareillement; Tp est égal au produit de fl+6 — c par/;, Ou à apr^-bp — cp.

Or , de Tm on doit retrancher Tn , et ensuite on doit ajouter ^p; donc il faudra^ à la suite des termes du premier produit, écrire tous ceux du second avec des signes contraires {3a), et tous ^cux du troisième avec leurs signes (3i). En conséquence, on ^ura

(a+Ô— C)X('W 72 +/?) = + ÛW2 +^m — C7?2

— an — ^71 + CM + ^P + ^/^ — <^P'

De là on tire cette règle : Pour effectuer la multiplication des poJjrnômeSy on multiplie successivement tous les termes du mul" ^^pîican de par chaque terme du multiplicateur ^ en ayant soin de conserver tous les signes du multiplicande quand le terme du ^^hiplicateur a le signe + , ê/ de les changer tous quand ce ^^rme a le signe — ,

Si, dans les deux polynômes, onTegarde tous les termes, pris avec leurs signes, comme des monômes isolés, si alors on multiplie successivement les premiers par chacun des seconds, etsiensmte on ajoute tous les produits*, il est évident qu'on aura le ^ême résultat que par la règle précédente.

26 LEÇONS B^ALGiBBI.

381 Maintenant il faut démontrer que cette règle conyienl à tous les cas ^ mais auparavant je ferai deux remarques.

La première , c'est que, de quelque manière qu'on intervertisse Tordre des termes dans deux poljuomes , le résultat qu'on trouvfren* leur appliquant cette règle ne changera pas de valeur. En «ffet , d'après cette règle même , il est évident qu'il contiendra, toujours les mêmes termes : seulement ils y seront dans un ordr^ difiérent , ce qui n'altère en rien sa valeur.'

La seconde remarque , c'est qu'en changeant tous les signes d^ l'un des polynômes ^ les termes du résultat changeront de signes ^ et par suite la valeur représentée par ce résultat en changera également. A quoi j'ajouterai , comme conséquence immédiate , que si on changeait aussi les signes de l'autre polynôme, les termes du résultat ne seraient point altérés : car, après le premier changement, ils devraient en subir un second qui rétablirait le résultat tel qu'il était d'abord.

Gela posé , je nommerai ^l'ensemble des termes qu'on obtient en appliquant la règle à deux polynômes quelconques , et je vais prouver que le produit de ces polynômes est toujours égal à K* D'abord supposons que ces polynômes aient des valeurs positives, mais qu'en effectuant les additions et les soustractions qui y sont indiquées on doive passer par des quantités négatives avant d'arriver à la dernière opération. Comme on peut changer l'ordre des termes d'un polynôme sans changer sa valeur, j'écrirai dans chaque facteur, tous les termes positifs aux premiers rangs , et à leur suite tous les termes négatifs : alors la difficulté dont il s'agit disparaîtra, et la règle fera trouver le produit cherché. Or, d'après notre première remarque , ce produit est égal à K.

Quand l'un des deux polynômes a une valeur négative , c'est que la somme de ses termes négatifs l'emporte sur celle de ^^ termes positifs. En changeant les signes de tous ses termes, la valeur de ce polynôme deviendra positive, sans autre altération: alors on pourra appliquer la règle , et, d'après la seconde remarque, on aura un produit de signe contraire à /^. Mais, puisqu'on a pris positivement un facteur qui devait être négatif, ce produit doit être de signe contraire au*produit cherché (25) \ donc >^eftt le produit «cherché*

Enfin, quand les deux poljm^mes ont des Talemrs négatWes , on changera les signes de tous leurs termes , ce qui donnera deux polynômes dont les valeurs seront positives , et dont on pourra trouver le produit par la règle du n° précédent. D'après la seconde X'emarque, ce produit aura les mêmes termes que V] mais les valeurs des deux facteurs ayant changé de signe, leur produit n'a pas dii en changer; donc le produit cherché est encore égal à F.

39» Pour plus de facilité, on ordonne les polynômes qu'on doit multiplier. Un exemple montrera comment on dispose l'opération*.

Multiplicande Za} — ^a^b — ^ab^

Multiplicateur —2a* — Zab +è'.

T. , . (— 6a5+ioû46+ a^b^

Produits I X7 . ^' a,- . , «,!i

partiels ) - ^a^b +i5aH- + ia-b'

Produit. . . —6^54. a^O ^iga^^^^a^b^ -^iaù^

La première ligne des produits partiels a été trouvée eu multipliant tous les termes du multiplicande par le premier terme — aa* du multiplicateur. Les signes du multiplicande ont été changés, parce que ce terme' a le signe -«-.

La seconde ligne des produits partiels a été trouvée en multipliant les termes du multiplicande par le second terme — 3ab du multiplicateur 3 et on a dû changer encore tous les signes du multiplicande.

La troisième ligne des produits partiels renferme les produits de tous les termes du multiplicande par le troisième terme -[" ^* ^^ multiplicateur; et comme ce termje a le signe -}-, on a conservé les signes du multiplicande.

£nQn , en opérant les réductions entre tous ces produits , on remplace +ïoa^b—ga^b par +a^bf +a3Z>>-j-i5a3^'+3a^6» par 4-i9a3^», +Ta*^^— 5a*^^ par — |a*^^ Alors on a le produit cherché, tel qu'il est écrit plus haut.

^o. Quand on veut ordonner des polynômes par rapport à une lettre, il peut arriver qu'il y ait plusieurs termes où cette lettre ' «oit affectée du même exposant. Dans ce cas on ordonnera ces termes entrQ eux par rapport à une autre lettre , comme on le voit dans le poljaftme ox V»x*4^*,r^«uc— «• Il contient deux i&aasM

28 LEÇONS' D^iXQEBRE.

en x^ qu'on a ordonnés entre eux par rapport à ûy et aussi deux termes en x qu'on a ordonnés de la même manière.

Mais le plus souvent on réunit les termes qui contiennent une même puissance de or en un produit dont cette puissance sera un facteur. Ainsi on remarquera que le produit (a — i ) x' = ax^ — ar*, . que (a' — -a) x^^a^x — ax; et en conséquence le polynôme cidessus s'écrira sous cette forme : {a — t) a:'+(a' — a) x — a.

Pour offrir Fexemple d'une multiplication dans laquelle on emploie cette seconde manière d'ordonner, je prendrai le suivant:

On considère dans .<ihaque polyn&me tous les termes *qui c<>n«* tiennent une mên!ie puissance de x comme n'en formant qu'un seul , et on suit la règle générale du n® 87. Mais alors, parmi les opérations partielles , il y a des multiplica rions de polynômes. Ainsi, pour multiplier le multiplicande par (âr-f-i)j;^, qui est la première partie du multiplicateur, on aura à multiplier a — i ,â* — a et — a par û+i. On trouve que ces produits sont û* — i, a} — a, — {a^ 4" û) î c^ ce sont eux qui^r dans la première ligne des produits partiels, sont placés devant les puissances x^^ x^^ x*. On forme de même la seconde ligne. Les çommençans doivent surtout avoir grand soin de ne point commettre d'erreur dans les signes. 41 • Au moyen de la. multiplication , on démontre plusieurs propositions d'un usage très-fréquent. Effectuons les multiplica^ tiôus ci-après : •

fl-f"^ ^ — b CL — b.

a^-^-ab a' — ab a^-^-ab

+ab + b^ —ab + b^ -^ab— b*

a^'\'2ab+b^, a^-^zab+b^, a^"'b\

Le premier produit est le carré de « + ^ / ^^ comme les lettre» « et ^ peuvent représenter telles quantités qu'on voudra^ on con dut que le carré de la somme de deux quantités contient le carré

LEÇOjrS D'ALQilRI. 2g

d€ la première j plus deux fois le produit de la premihre par la seconde^ plus le carré de la seconde.

*Seinblablement, la deuxième multiplication prouve que le carré de la différence de deux quantités est égal au carré de la pre^ ' miire^ moins deuxflis le produit des deux quantités y plus le carré de la seconde.

Enfin , la troisième multiplication démontre que le produit de ' la somme de deux quantités par leur différence est égal à la dif^ férence des carrés de ces deux quantités.

Si on multipliait par a+^ le carré de û+i, on trouverait comment le cube de la somme de deux quantités se compose avec ces deux quantités. En multipliant le cube par a-^b^ on reconnaîtrait de quelles parties se compose la quatrième puissance, et ainsi de suite.

4 2. Ces propositions peuvent souvent abr^er les calculs. Sup« posons qu'on ait à effectuer le produit

{Sa^b + 2a«*» + ab^ — A4) CSa^ô + i^a^b^ — ai» + Ç4).

Le premier facteur est la somme des deux quantités

3a3A + 2a»é« et aôî — M,

tandis que le second facteur en est la différence ^ donc , en vertu de la troisième règle du n^ précédent , le produit demandé est égal à la différence des carrés de ces deux quantités. Or, Tun de ces carrés étant celui d^une somme, et Tautre celui d'une différence, on peut les former par les deux premières règles. De cette manière, on trouve sur-le-champ le produit cherché

ga^b^ + 1 2a^b^ + 4^464 ^ a^b^ + 2abl — J».

Diwision des monômes*

43. Les règles des signes étant connues (26), je supposerai que les monômes soient positifs, et je proposerai, par exemple, d'effectuer la division indiquée dans l'expression

irsf ' ■

.3a LEÇONS D^A^GÈBRE.

plus haut exposant que tous les autres produits partiels. Donc ce produit partiel doil se retrouver dans le terme A sans aucune altération. Aiusi, en prenant le terme du dividende oii une lettre a le plus haut exposant , et en le divisant par Je terme du diviseur où cette lettre a le plus haut exposant^ on sera sur d'avoir un terme du quotient. On peut même remarquer que ce terme est aussi celui qui , dans le quotient, doit renfermer cette même lettre au plus haut exposante

Gomme le dividende ji provient de Taddition des termes quW ohtient en multipliant tous les termes de B par chaque terme de Cj il s'ensuit qu'en multipliant le diviseur par le terme qui yient d'être trouvé du quotient^ et en retranchant ce produit du dividende, le reste sera égal au produit du diviseur par les autres termes du quotient qui sont encore inconnus.

Il est évident qu'on peut raisonner sur ce reste, après y avoir fait les réductions qu'amène la soustraction , comme sur le dividende j4. Par conséqtjent, on conclura que si on divise le terme (ftà^ dans ce nouveau dividende , contient une lettre au plus haut exposant par le terme qui, au diviseur, contient aussi cette lettre au plus haut exposant, on connaîtra un second terme du quotient. ^ On fera le produit du diviseur par ce terme, et on le retranchera du dernier dividende. On 'obtiendra ainsi un second reste, qui lui-même devra être considéré comme un nouveau dividende partiel , et sur lequel on pourra encore répéter les mêmes raisoD>nemens, ce qui fera connaître un troisième terme du quptient.

En continuant de la même manière, il est clair qu'on doit trouver tous les termes du quotient, et on sera averti, qu'il n'y en a plus à connaître, quand'on sera parvenu à un reste zéro.

Il est important de remarquer que les raisonnémens precédens subsisteraient encore si, au lieu des termes où une lettre aies plus hauts exposans, on considérait ceux où elle est affectée des^ moin-* dres exposans. Par conséquent , dans les divisions partielles, oâ j peut se servir de ces derniers aussi bien que des premiers.

On facilitera beaucoup les calculs en ordonnant les polyn&tttf de manière que les exposans d'une même lettre aillent en croif** sant ou en décroissant. De cette manière, les termes du dividende et du diviseur, qui doivent être divises l'un par Faulre, ce trouve'

ront les premiers sur la ganche; et la même chose arrive encore dans les autres divisions. partielles, si on a soin de laisser toujours les restes ou dividendes partiels ordonnés comme le dividende primitif. La déposition des calculs est d^ailleurs la même qu^en arithmétique.

S*il restait quelques nuages dans l'esprit du lecteur , Tezemple suivant achèvera de les dissiper.

Ditfidende» Diviseur*

lia*— a7a^&-l-aia'&*— 3a*i' — aai*

!•' reste... ■ — 6a*fc-+- 'ja^b* — 3a'&* — ^ab^

-»- ^a^b^—^a^b^-^iab*^ 3* leste ... o o o

a«* — Stfft-vafc»

Quotient.

7a*— 3a**— ai»

Après avoir ordonné les polynômes par rapport aux exppsans décroissans de la lettre a , et en supposant que le quotient soit aussi ordonné de la même manière, on est certain que le i*> terme 140^ du divi<lende est le produit du i^^ terme 2a' du diviseur par le i** terme du quotient; de sorte qu'en divisant i^^ par 2a' ou connaîtra le i*' terme du quotient. Ce terme doit être positif, comme résultant de la division de deux termes positifs (26) : il est %al à 7a*.

Alors on multiplie le diviseur par 7^^, et on soustrait le produit du dividende. A cet effet, on écrit les termes de ce produit, en changeant leurs signes, au-dessous du dividende, puis on fait les réductions. On obtient ainsi le i'*^ reste.

Dans ce reste, le i«' terme est — Ga^, et en le divisant par 2û* on obtient — 3a^ù pour le 2« terme du quotient. On multiplie encore le diviseur par ce terme , on pose encore les produits partiels, en changeant leurs signes, au-dessous du i*'^ reste, et après la réduction , on a le 2< reste.

£nfin, le i*' terme *de ce reste est— 2a^^*, et en le divisant par 2a*, on trouve que le 3« terme du quotient est — ab*. On forme le 4** i^este de la même manière que les précédcns; mais ici ce reste étant zéro , ou en conclut que Topération est terminée , •t <pic le quotient cherché est 'ja^^^ia^b'^ab*.

34 LBÇOiri D'jaoiSBRE.

Continuation. Division dans les cas plus compliqués.

46. Quand on ordonne , par rapport à une lettre , les poly^ n6mes qu'on veut diviser, il peut arriver que plusieurs termes contiennent cette lettre au même degré. Alors on doit avoir soin d'ordonner ces termes entre eux par rapport à une autre lettre. Par exemple, s'il s'agit des termes ûftj:*-4"^*-^'— ^*^*, qui contiennent tous trois ;c*, on les ordonnera par rapport à a, et on les disposera' horizontalement, de l'une de ces deux manières,

a^x^ + ûix» — b*x% ( a» + ûô — i») x» 5

ou bien verticalement, de l'une de ces deux*ci.

-J- abx^ + ab — i»x% — *»

Quelle que soit celle qu'on adopte, on y reconnaît avec la même facilité que a^x^ est le i*' terme, que '•^bx^ est le 2% et que "^b^x* est le 3«.

Alors on pourra suivre tout-à-fait , pour la division , la marche qui a été tracée dans rarlicle précédent; car il est clair que dans chaque division partielle le i'" terme du dividende devrar toujours être le produit du i"' terme du diviseur par le 1^'^ de ceux qui sont à trouver au quotient. On obtiendra ainsi tous les termes du quotient , ordonnés entre eux de la même maqière que le dividende et le diviseur.

47. On peut encore se représenter dans la pensée tous les termes de chaque polyn6me , qui contiennent une même puissance de la lettre par laquelle on a ordonné d'abord, comme ne formant qu'un seul terme ; et alors les divisions partielles pourront être dles-mêmes des divisions complexes qu'il faudra effectuer à part*

Pour nous convaincre de l'exactitude de ce procédé , prenons deux polynômes ordonnés par rapport à x , tels que

jix^ + Bx*+Cx + Dj Mx^'{'Nx + Pj

et supposons que les lettres AjB.,.yPy représentent des quantit4§0

LEÇ0JC8 D^ALQJSBll. 3S

compIeTes qui ne cod tiennent point x. Il est clair que, dans le produit des deux polynômes*, la partie qui contient x au plus haut degré est égale à Ax^^Mx*] donc, réciproquement, en divisant cette partie par Ax^^ on retrouY.era là partie i^x*, qui contient les termes de l'autre facteur dans lesquels :zr a le plus haut exposant. On voit que le raisonnement est exactement le même que fii les diverses puissances de x notaient multipliées que par des monômes. L'exemple suivant lèvera toutes les difficultés.

jy. B, Les termes affectés de la même puissance de x sont ordonnés en co^ lonne ; et , pour abréger, on n'écrit pas les termes qui doivent détruire la i'« colame de chaque dividende partiel. Par la même raison, on sous-entend dans diaque reste, les colonnes du dividende qui devraient s'y placer sans altération.

a* -ab^

x^-ha^ —a*b

—a^bA H- a'b^

— a'^b \x^ — a^b ^ ab^

«Ma:' —abX

a^b la: 4-6* ab^

a^b''\x'''>fa}b^ x.

— ab^ \

— a^b^x-ha^'b^

j*« division partielle

a*—a^b-ha*b*'-ab^ a*'i-a^b

-^a^b'—ab^ —a^b^'-^ab^

a*--ab

2* division partielle

—a^b -ha^b^ -¥a^b —a^b*

'-a^b^+a^'b^ -\ra^b*—a^b^

\—a^b'-ab''

3* division partielle

—a^b^-^ab^

«' — ab

36 LEÇôifS d'algîbae.

48. Gomme dernier cas de la division , je mentionnerai celui ou , le diviseur ne contient point une lettre Xy par rapport à laquelle on a ordonné le dividende. Soient ^x^-^- Bx-^-'Cce dividende, et M le diviseur qui ne contient point x. Pour que le quotient multiplié par iRf reproduise le dividende, il faudra que ce quotient contienne les mêmes puissances de x que le dividende, et qu'en multipliant par M les parties de ce quotient qui renferment ces puissances, on retrouve les quantités j4x^, Bxy C. Donc, pour faireJa division proposée , on doit diviser séparément par le diviseur les parties du dividende affectées des diverses puissances de x,

4g* .Quelquefois on peut décomposer le dividende en facteurs, de manière que le diviseur y soit en évidence^ et il suffit alors de le supprimer pour avoir le quotient. Par exemple , soit à diviser

x^ — /{ûx^ + 4û'x' — 4^''^* P^^** ^* — ^ax'^^bx.

On observera que les trois premiers termes du dividende sont le carré de x^ — 2ax (40 j et que de ce carré on retranche /^ù^x* qui est le carré de 2bx. Le dividende est donc la différence des carrés des deux quantités x^ — 2ax et i^bx : par conséquent il est égal au produit de la somme de ces deux quantités, multipliée par leur différence (40) ^^7 ^° ^^ bornant à indiquer la multiplication, il peut s^écrire ainsi

{x* — 2aX'^'2bpc) (a:* — 2ax — nbx).

Le premier facteur est le diviseur proposé ^ donc l'autre facteur est le quotient. Il u'j a qu'une très-grande habitude du calcul qai j puisse suggérer de pareilles décompositions. ;

Continuation, A quels symptômes on reconnaît la possibilité ou Pimpossi»

bitité de la division,

5b. Dans le n* f[5j pour découvrir le procédé de la division, on a supposé que le dividende était un produit du diviseur par od ' polju6me inconnu. Je vais montrer qu'on peut reconnaître, par ce procédé même , si cette condition a lieu ou non : c'est-à dire, en d'autres termes, qu'on apprendra si la division est possible ou si elle ne Test pas.

LIÇONS D'ALQEfiBE. Zj

Supposons j pour ûxer les idées , qu^on ait ordonné par rapport aux puissances descendantes de la lettre x. Il est clair que dans le i'' terme.de chacun des restes successifs, l'exposant de x est moindre que'dans le i*' terme du reste précédent^ çt, par conséquent, on doit nécessairement arriver à un reste nul, ou à un reste dont le i*' terme contienne x à un exposant moindre que le i«r terme du diviseur.

Dans le premier cas , la division est possible. En effet , c'est en retranchant du dividende les produits du diviseur par les difiérens termes de la quantité placée au quotient qu'on est arrivé au reste zéro : or, c'est la somme de ces produits partiels qui contpose le produit du diviseur par la quantité écrite au quotient ; donc le diyidende est égal à ce produit.

Dans le second cas, il est évident que le i^^ terme du reste ne pourra pas se diviser par le i^'" terme du diviseur. Or, quand on suppose que le dividende est un produit du diviseur, on a vu dans les raisonnemens du n" 4^ que celte division doit donner un terme du quotient; donc, puisque cette division est impossible, celle des polynômes proposés l'est également. Ainsi , la.division ci-dessous est impossible, et la raison en est que le i^^' terme du reste 3x — i ne peut plus se diviser par le i" terme x* du diviseur.

Quelquefois Finipossibilité de la division se manifestera sans pousser l'opération aussi loin , attendu qu'il peut y avoir dans le v^ terme du diviseur différentes lettres qui empêchent les divisions partielles. 11 convient même, avant de commencer l'opération , de porter son attention sur chacune des lettres communes aux deux polynômes proposés; et si, pour l'une d'elles, il arrive que les termes qui , dans le dividende et le diviseur, la contiennent respectivement au plus haut exposant ou bien au plus faible, ne soient pas divisibles l'un par l'autre , on sera certain que la division proposée est impossible. Cette observation doit s'appliquer aussi aux ^iyisions partielles auxquelles le calcul peut conduire.

38 LBÇ0V8 B^JlLGieBfiE.

Bans le dernier exemple, on peut, si on veut, compléter le quotient en lui -ajoutant une expression fractionnaire dans laquelle sera indiqaée la division du dernier reste pslr le diviseur , et alors on aura

a:' + 20: — 3 * ar*+2o: — 3

Le second membre de cette égalité est souvent employé à la place du premier; et ce qui rend cette transformation remarquable, c'est que, dans la partie fractionnaire, le numérateur ne contient plus o: à un aussi haut degré que le dénominateur. En cela^ elle a quelque analogie avec Textraction des entiers en arithmétique.

5i. Il y a, pour reconnaître l'impossibilité de la division, un autre symptôme , qui se fonde sur ce que le terme du dividende dans lequel une lettre a le moindre exposant doit provenir, sans réduction, de la multiplication des termes du diviseur et du quotient dans lesquels cette lettre a le moindre exposant. De là il suit qu'après avoir ordonné par rapport aux exposans décroissant d'une lettre, si on divise le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur , on doit obtenir le dernier du quotient, c'est-à-dire, celui ou cette lettre a le plus faible exposant. P^r conséquent, lorsque les opérations successives conduisent à placer au quotient cette lettre avec un exposant plus faible, on sera cer-' tain que la division est impossible : car les opérations subséquentes ne donneront que des exposans moindres.

Dans Texemple suivant, si la division était possible , le dernier terme du quotient devrait être — x^ : or le calcul conduit à mettre au quotient le terme — x^, sans que la division se termine; on est donc assuré qu'elle ne doit pas se terminer , et dès-lors il est à inutile de la continuer, à moins qu'on ne veuille effectuer la transformation dont j'ai parlé à la fin du numéro précédent.