Quand on ordonne par rapport aux puissances ascendatiUi
LBÇ0V6 d'auuIhuu Sg
e lettre , Fimpossibilité de la diTifiion se manifeste d'une ma- : analogue. Alors le dernier terme du dividende divisé par le lier terme du diviseur doit donner le terme du quotient où ï lettre a le plus haut exposant^ donc , si le calcul .aminé au ient cette lettre avec un exposant plus tort , la division sera >ssible , puisque les calculs suivans amèneraient des exposans •re plus forts.
\, Je citerai ici deux exemples de division qui conduisent à 'ésultats remarquables, dont nous ferons usage pins tard. 5 premier exemple sera la division de «"*— û"* par x— a. Si on e les binômes x^-^a^y x^ — a^y x^-^a^y par x — a, on trouve
Ju ^"^ £1
aperçoit une loi fort simple dans ces quotiens : lo tous les es sont additifs^ 2» le premier terme et le dernier sont for* en 6tant une unité aux exposans de x et de a dans le divie y Z^ dans Tîutervalle, les exposans de x vont en diminuant i unité, et ceux de a en augmentant d'une unité, de telle que la somme des exposans de x et de a, dans chaque terme, )nstamment la même.
L suivant cette loi, si on désigne par m un nombre entier [f quelconque, on devrait conclure
n nnt
=z x"^^+ax"^'''^''x'^^ . . . .+a'^*x4"û*"'-
points indiquent ici une lacune qui doit être remplie par ermes qu'on sous-entend, et qui sont soumis à la même loi les précédens. Ce quotient n'est éubli que sur une simple >gie. A la vérité, on pourrait y parvenir en divisant immédiate- : x"" — û"* par j:— a , et en faisant attention à la manière chaque terme du quotient se trouve formé ; mais il sera plus le de le yérifier en le multipliant par le diyiseur x-^a* U ^alors t
LEÇOKfl D ALGEBRE.
— ax"^* — a^jf^'^ — û'***j:— û"*.
Or , il est évident que dans la première ligne chaque terme , à partir du second , doit avoir au-dessous de lui un. terme égal et de signe contraire par lequel il est détruit , de sorte qu'après la réduction on retrouve le dividende «™ — a"*.
Le deuxième exemple sera la division du polynôme ar^-f-px"^'
x'^J^paT'^ 4.^a^»..,.-f-/jf-Hii|
y^^..4.ûr•
En divisant a:"* par^r, on a jt"*— * pour, le i" terme du quotient.
Dans le premier reste, la partie en Ar"*~* est (a+/^) x*^* : on la divise par x^ et on trouve {«+/?) x"^* au quotient.
Dans le reste suivant, la partie en sT^"^ est [a^-^-pa^^oe"^* \ on la divise par x^ et on obtient (a*-4i^^-4~?]^^^''^^ ^^ quotient.
En continuant de la même manière, et en considérant toujours comme un seul terme tous ceux qui renferment la même puissance de x^ on aperçoit clairement que chaque terme du quotient se forme du précédent en le multipliant par a, en ajouta^nt au produit le terme qui a la même puissance de x dans le dividende, et en divisant ensuite par x.
Il suit de là que, dans le quotient, la partie indépendante de x sera û''^'4-/'«'"'"'+î^'"*"*« • •+'• Si on multiplie le diviseur par cette quantité, la partie en x détruira celle qui doit se trouver ckps le dernier dividende partiel, et il viendra, pour reste.
-4-/7^*»— » + qa""^^. , , -j- /a -4- w.
La division s^arrête ici , et l'on doit remarquer que ce reste n'est
autre chose que le dividende dans lequel on remplacerait x partf •
Lorsque ce reste est nul; la division se fait exactement. Aio^iy
LEcoirs d'algeule. 4i
^n peut déjà regarder comme démontrée ia proposition suivante, dont l'importance sera reconnue plus tard : Si a est une quantité qui, mise à la place de x, rende le polynôme x"*+px"*"'-|- etc., égal à zéro y ce polynôme sera divisible pars, — a.
Fractions algébriques,
54* On donne le nom infractions algébriques à des exprès-
siens telles que —, — \ / ^ q^i indiquent le quotient d^une di-
ylsion, soit quW puisse TelFectuer ou qu^on ne le puisse pas.
Si les numérateurs et les dénominateurs étaient des nombres entiers, il est évident que ces fractions devraient entrer dans les cal- . cols par les mêmes règles que les fractions de Farithmétique. Mais comme ces numérateurs et ces dénominateurs peuvent représenter des quantités quelconques, M. Reyuaud observe avec raison que quelques explications nouvelles sont nécessaires.
55. Désignons par a ^ih deux quantités quelconques, et par q leur quotient, on aura
T^^qy d'où a=^bq* Si on multiplie a et bq par une quantité quelconque m, il vient am^=-bqm ou am=iq^bmi donc -: — = î*
Mais q représente le quotient de a par b ^ donc
am a
bm """ 6*
De là on conclut , comme en arithmétique , qu'une fraction ne change pas de valeur quand ou multiplie ou quand on divise ses deux termes par une même quantité.
De ce principe résultent aussi , comme en arithmétique, la simplification des fractions et leur réduction au même dénominateur.
La simplification d'une fraction s'opère en supprimant les fac« teurs communs à ses deux termes. Ainsi
l'ia^bc^ 2C a* — ^b* a — 26
iEMc^ "^ 3a ' 9.a + /{b '^ 2
4a LEÇONS" d'algèbre.
La réduction des fractions au même dénominateur peut se faire en multipliant les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres. Mais il convient de rappeler que s'il y a des facteurs <}ui appartiennent à plusieurs dénominateurs, on obtiendra un dénominateur commun plus simple en prenant chacun des facteurs qui.entrent dans les dénominateurs des fractions proposées, et donnant à chacun la plus haute puissance dont il soit affecté dans ces dénominateurs. Par exemple, soient les fractions
4oA»c' i8a»c3' 45a>^'»*
Les trois dénominateurs peuvent s'écrire ainsi :
a^xSx^'c, 3»X2XaVV 3»x5Xa'**.
Alors, on prendra chacun des facteur^ avec son plus haut exposanty et le dénoniinateur commun sera
2^X3'X5X«'^V, ou 36oa=»^»c3 f).
Pour réduire les fractions à ce dénominateur, on le divise d'abord par chaque dénominateur successivement, ce qui donne les trois quo tiens
ensuite on multiplie les trois numérateurs respectivement par ces trois quotiens; enfin on place sous les produits le dénominateur commun 36oa*^»c^, et les trois fractions deviennent
3boa*/;»c3 ' 36Ôâ»^\J* 36Ô^?F?'
Si avec les frâRïtions on a des quantités de forme entière , on pourra leur donner le dénominateur commun , après les avoir multipliées préalablement par ce dénominateur.
{^) En arithmétique, pour trouver le plus petit nombre divisible par des nonor bres donnés, sans les décomposer eu facteurs, ons'éLève successivement aux multiples de Vun d'eux, jusqu'à ce qu'on en trouve un qui soit divisible par chacun des autres noinbres. Pour abréger, ce sont les multiples du plus grand nombre qu'il convient d'essayer.
LEÇÛH» D'ALOlUUb 43
56. Qaand on veut réduire en une seule fraction plusieurs termes qui ont des dénominateurs dtfférenSyOn commence par les réduire au même dénominateur, et alors on aura d^s expressions
telles que celle-ci
mm m
Jans laquelle les lettres désignent telles quantités qu^on voudra. Si on multiplie chaque fraction par m, l'expression entière sera multipliée par m, et on aura a-^b — c. Or, en divisant ce produit par m^ on doit revenir à la première quantité ^ donc '
• Ainsi , après avoir réduit les fractions au même dénominateur, on &it, sur les numérateurs, les additions et les soustractions qu'on devait faire sur les fractions , puis on donne au résultat le dénominateur commun.
Considérons • les multiplications et les divisions de fractions.
Soient
Oq devra avoir /?^=a, qd^=^c; donc pb^qdsstayc,c^ ou pqy<J)d
=ac. De là on tu'e
ac
donc on multiplie des fractions entre elles en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. De cette règle on conclut celle de la division. En effet , elle
donne
ad c adc a ^
bc d bcd b '
ad ^ . . 1 û c , ..^ , cid
— est le quotient de j- par — : or, la quantité —
^e au produit t X - ; <lonc on divise une fraction par une
fraction en multipliant la fraction dividende par la fraction divi- «eïir renversée.
44 LCÇOirS D^ALGiBILC.
Les quantités entières seront comprises dans les fractions en leur donnant ]%inité pour dénominateur.
57. Pour donner un exemple de calcul algébrique 9 je proposerai de simplifier cette expression
