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En réduisant chaque terme entier en fraction de même dénomi-' nateur que celle dont il est suiyi , puis renversant la quantité fractionnaire qui sera en diviseur, pour la mettre en multiplicateory cette expression devient
2/1* — h^ ab — b^ g 4-^ 2a a-^b b
Après qu^on aura multiplié les numérateurs entre eux et les dénominateurs eptre eux, il est facile d^apercevoir que*^ et a 4"^ ^^* ront des facteurs communs aux deux termes de la fraction r^ul*^ tante. On peut donc les supprimer, et on- aura
Si on juge à propos d'effectuer la multiplication , il viendra
aà^ — 7,a^b — ab^+b^ lia '
et même, sHl y avait quelque utilité à diviser par 2a tous les UxuM du numérateur, on pourrait écrire
a^^-'ob^^ 1 .
Comme exercice, je proposerai encore au lecteur dWectuer b tiansformation suivante :
V b'^ a)\ia "^ 2/y / {a^^ab^b^) (g+jj .
(a^^bJr^Y-^^—:)^ 2a6'Ca 6)
LEÇOifS D'jkLGJSBaE. Ifi
De ¥ exposant zéro et des exposons négatifs.
58. Quand on divise Tune par l'autre deat puissances de la même quantité , telles que o^ et â'*^ la règle des exposans .(34) donne
•BIi"— 1>
Les raîsonnemens qui ont conduit à cette règle supposent Fexposant du dividende plus grand que celui du diviseur; mais je vais moulrer comment, au moyen de conventions nouvelles, la même r^e peut s'étendre aux autres cas»
Supposons d^abord qu'on applique cette règle an cas où les deux eiposans >6ont égaux : on trouvera a^ pour résultat. Or, Pexposant d^one lettre indiquant le nombre de fois que cette lettre est prise comme facteur (lo) et, l'expression a^ ne pouvant recevoir de cette définition aucune interprétation , on reste maître de lui donner tel sens qu''on veut. Mais comme elle vient d'une division dans laquelle le diviseur est égal au dividende, et qu'alors le quotient est toujours Funilé , on est convenu de regarder l'expression a** comme équivalente à l'unité. Ainsi désormais, toute quantité qui aura V exposant zéro sera (^gale à i.
Supposons, en second lieu , que l'exposant de a dans le diviseur surpasse celui du dividende, et qu'on ait n=m'-\-p» En appli- I quant encore la règle des exposans, on aurait pour quotient a^P^ etcette expression, dans laquelle l'exposant est négatif, ne peut ellemême avoir aucune signification , si ce n'est en vertu de quelque convention nouvelle. Toutefois, il est convenable que cette con* Tention permette de considérer la puissance négative a—P comme le quotient de a"* par a"*+/'. Or, si on remarque que ce quotient
peut se représenter par la fraction ■ ^ . ■■ , qu'on peut le simplifier eu divisant les deux termes de cette fraction par a"*, et qu'alors il devient — , on est naturellement conduit h regarder l'expres-
[* sioû a— ^ comme équivalent à —: c'est-à-dire que toute quart*
^6 LlÇCmS »^AL6âBlE.
tité affectée êHxm exposant négatif équivaut au quotient de T unité divisée par cette même quantité^ après qu^on a changé le signe de son exposant.
Au moyen des uotrvelles conventions qu^on yient de faire connaitre, on aura toujours, m et /z étant des nombres entiers poiitifs quelconques ,
Par suite y on aura aussi
5g. On emploie qudquefois Feicposant zéro pour conserver la trace d'une lettre que le calcul fait disparaître^ et Fexposant négatif, pour présenter une quantité fractionnaire sous forme entière. (Test ainsi qu'on écrira
aux* a o x"* '
rï-L = 3û4i» X - X 4 = 3û4è»c"-»d:-«..
6o. Puisque les exposans négatifs sont admis dans les exprèssions algébriques , il faut chercher les règles suivant lesquelles ils doivent se combiner dans les calculs. Or, il est digne de remarque que ces règles sont toutes comprises dans les mêmes énoncés que celles qui ont été trouvées pour les exposans positifs. Rien de plus simple à démontrer.
Par la nature des exposans négatifs, on a
û'-^Xû'-'* = -i X -^ = — \- = rt"-"*^.
ar a"" aM-»:
Dans chacun de ces produits Texposaut de a est la somme des exposans des facteurs. Ainsi, dans la multiplication des puissances d'une quantité , l'exposant de cette quantité est toujours la somme des exposans des facteurs. Par une conséquence nécessaire , on conclut, que dans la diyisiou; Fexposant du quotient s'obtiendra
LEÇ0H8 D^iJiGBBlB. fyf
tonjours en retranchant celui du diviseur de celui du dividende.
6i. Tout ce qui a été dit daus la division des polyn6nie» repose principalement sur cette proposition que , si deui.polyn&mes et leur produit sçnt ordonnés par rapport aune même lettre, le premier terme du produit est le produit des premiers termes des deux facteurs, et le dernier terme est le produit des derniers termes de ces facteurs. Or, celte proposition subsiste également quand il y a des exposans négatifs , et dès-lors la théorie de la division n^aura aucune modification à souffrir.
Quand en ordonne des polynômes par rapport aux exposans décroissans d'une lettre quelconque x, il faut bien faire attention à roidre qu'on est convenu d'établir entre les grandeurs selon leors signes. D'après le n"" 20, les exposans négatifs devront venir apiès *•, c'est-à-dire après les termes qui ne contiennent point j:; et, pumi ces exposans, ceux qui sont les plus forts en valeur àbsolne devront être rangés les derniers. Exemple :
Cela posé, si la proposition dont il s'agit ne semble point assez éndente , on pourra la démontrer comme il suit. Soieut A et £ deux polynômes quelconques ordonnés comme ci-dessus, et désiguons par k un nombre positif supérieur au plus grand exposant Q^atif quise trouve dans ^ et B. Si on multiplie ^ et ^ par x^^ sans troubler l'ordre des termes, on aura deux noveaux polynômes A' et B^ qui ne renfermeront plus que des exposans positifs, et qui seront encore ordonnés par rapport aux puissances descendantes de X* De plus, il est clair que si les premiers termes de A et B sont ax^ et ôx"^ {m et n pouvant être des nombres négatifs ) , ceux de A^ et B^ seront ax™+^ et ^jf"+*; donc, en multipliant les
I nouveaux polynômes l'un par l'autre, le premier terme du produit
I sera
; ^1 Semblablement, si les derniers termes de A et B sont fxP etgx^y anc^l eeux des nouveaux polynômes serontyà:''+* et gx^'^j et par suite DEocsl le dernier terme de leur produit sera
48 LEçojrs d'ilcebee.
Le produit des noaveaux polynômes est égal à Ja:^y<,i jtBx*^ , et il est évident qu'en le divisant par x** on revien produit. AB des polynômes primitifs. I^Iais par là le proc cesse pas d'être ordonné ^ et ses deux termes extrêmes se sent à
or, c'est précisément ce qui était à démontrer.
